2026届高三一轮复习讲义(基础版)数学第三章3.4导数与函数的极值

§3.4导数与函数的极值课标要求1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会利用极值点(极值)求参数.1.函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f'(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.

2.函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f'(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧，右侧，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.

3.极小值点、极大值点统称为，极小值和极大值统称为.

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有.()(2)函数的极小值一定小于函数的极大值.()(3)单调函数没有极值.()(4)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点.()2.如图是f(x)的导函数f'(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A.1 B.2C.3 D.43.函数f(x)＝x3－12x2－14x的极小值点为，极大值为.4.若函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有两个极值点，则实数a的取值范围是___________________________.解题时灵活应用以下几个关键点(1)极值点不是点，若函数f(x)在x＝x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1).(2)极值是个“局部”概念，只能在定义域内部取得.(3)有极值的函数一定不是单调函数.(4)f'(x0)＝0是x0为可导函数f(x)的极值点的必要不充分条件.例如，f(x)＝x3，f'(0)＝0，但0不是极值点.题型一根据函数图象判断极值例1(多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数g(x)＝xf'(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.f(x)有两个极值点B.f(0)为f(x)的极大值C.f(x)有两个极小值点D.f(－1)为f(x)的极小值思维升华由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f'(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f'(x)的图象可以看出y＝f'(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.跟踪训练1已知定义在(0，3]上的函数f(x)的图象如图，则不等式f'(x)<0的解集为()A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.0，1题型二求已知函数的极值点、极值例2已知函数f(x)＝ln(1＋x)－mx，求函数f(x)的极值.思维升华运用导数求函数f(x)极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求导函数f'(x).(3)解方程f'(x)＝0，求出导函数在定义域内的所有零点.(4)判断f'(x)的正负，求f(x)的单调区间.(5)求出极值.跟踪训练2(1)函数f(x)＝x3(3x－4)的极值点是()A.0 B.1C.1或0 D.(1，－1)(2)(2025·惠州模拟)已知函数f(x)＝eax＋1x(a≥0).设g(x)＝f'(x)·x2，求函数g(x)的极大值题型三已知极值(点)求参数例3(1)(2025·肇庆模拟)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝－2处取极小值，则c等于()A.－6 B.－2C.－6或－2 D.－4(2)(2024·苏州质检)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)在(0，＋∞)上有两个极值，则实数a的取值范围为.

思维升华根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)验证：求解后验证根的合理性.跟踪训练3(1)已知函数f(x)＝aex＋bx在x＝0处取得极小值1，则f'(2)等于()A.e2－2 B.2－e2C.e2－1 D.e2(2)(2024·北京模拟)若函数f(x)＝2＋axlnx存在极大值，则实数a的取值范围是()A.a<0 B.a>0 C.a≤0 D.a≥0三次函数的性质三次函数是一类重要的函数，其规律性强，内容相对独立，且有一些独有的结论和技巧.如果能得当运用三次函数的有关结论，可以大大简化解题过程.典例(多选)已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，则下列选项正确的是()A.三次函数的对称中心是-B.若函数f(x)关于点(m，n)对称，则y=f'(x)的图象关于直线x=m对称C.若函数y=f(x)有极值，则对称中心是两个取极值的点的中点D.若f(x)=0的三个根分别为x1，x2，x3，则x1+x2+x3=-b2

答案精析落实主干知识1.f'(x)<0f'(x)>02.f'(x)>0f'(x)<03.极值点极值自主诊断1.(1)√(2)×(3)√(4)√2.A[由导函数f'(x)的图象知，在x＝－2处，f'(－2)＝0，且其两侧导数f'(x)的符号为左正右负，所以－2是f(x)的极大值点；在x＝－1处，f'(－1)＝0，且其两侧导数f'(x)的符号为左负右正，所以－1是f(x)的极小值点；在x＝0处，f'(0)＝0，且其两侧导数f'(x)的符号均为正，所以0不是f(x)的极值点；在x＝2处，f'(2)＝0，且其两侧导数f'(x)的符号为左正右负，所以2是f(x)的极大值点.综上，f(x)的极小值点的个数为1.]3.73解析由f(x)＝x3－12x2－14xf'(x)＝3x2－x－14＝(x＋2)(3x－7)，令f'(x)>0，解得x>73或x<－2令f'(x)<0，解得－2<x<73故f(x)在(－∞，－2)，73，＋∞故f(x)在x＝73处取得极小值，在x＝－2故f(x)极大值＝f(－2)＝－8－2＋28＝18.4.(－∞，－6)∪(6，＋∞)解析f'(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f'(x)有两个变号零点，即方程3x2－2ax＋2＝0有两个不等实根，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，解得a>6或a<－6.探究核心题型例1BC[根据g(x)＝xf'(x)的图象，可得当x<－2时，g(x)＝xf'(x)>0，可得f'(x)<0，即f(x)单调递减，当－2<x<0时，g(x)＝xf'(x)<0，可得f'(x)>0，即f(x)单调递增，当0<x<1时，g(x)＝xf'(x)<0，可得f'(x)<0，即f(x)单调递减，当x>1时，g(x)＝xf'(x)>0，可得f'(x)>0，即f(x)单调递增，因此f(x)在x＝－2和x＝1处取得极小值，在x＝0处取得极大值，共3个极值点，A错误，C正确；f(0)为f(x)的极大值，B正确；f(－1)不是f(x)的极小值，D错误.]跟踪训练1B[观察图象可得函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，2)上单调递减，在区间(2，3]上单调递增，则1为函数f(x)的极大值点，2为函数f(x)的极小值点，所以当x∈(1，2)时，f'(x)<0；当x∈(0，1)∪(2，3]时，f'(x)>0；当x＝1或x＝2时，f'(x)＝0，所以不等式f'(x)<0的解集为(1，2).]例2解f(x)＝ln(1＋x)－mx，则f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f'(x)＝11＋x－m(x>－①当m≤0时，f'(x)>0，则f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)无极值.②当m>0时，由f'(x)>0，得－1<x<1m－1由f'(x)<0，得x>1m－所以f(x)在-1，1m-1故当x＝1m－1时，f(x)有极大值f

1m-1＝m－1－ln无极小值.综上所述，当m≤0时，f(x)无极值；当m>0时，f(x)有极大值m－1－lnm，无极小值.跟踪训练2(1)B[函数f(x)＝x3(3x－4)的定义域为R，导函数为f'(x)＝12x3－12x2＝12x2(x－1)，令f'(x)＝0，可得x＝0或x＝1，当x<0时，f'(x)<0，函数f(x)在(－∞，0)上单调递减；当0<x<1时，f'(x)<0，函数f(x)在(0，1)上单调递减；当x>1时，f'(x)>0，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，函数f(x)取得极小值，函数f(x)没有极大值，所以函数f(x)＝x3(3x－4)的极值点是1.](2)解因为函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f'(x)＝aeax－1x则g(x)＝f'(x)·x2＝ax2eax－1(x≠0)，则g'(x)＝2axeax＋a2x2eax＝ax(ax＋2)eax(x≠0)，当a＝0时，g(x)＝－1，此时函数g(x)无极值；当a>0时，令g'(x)>0，则x<－2a或x>0令g'(x)<0，则－2a<x<0所以函数g(x)在-∞，-2a，(0在-2所以g(x)的极大值为g-2a综上所述，当a＝0时，函数g(x)无极大值；当a>0时，g(x)的极大值为4ae例3(1)A[由函数f(x)＝x(x－c)2，可得f'(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)(3x－c)，因为函数f(x)在x＝－2处取得极小值，可得f'(－2)＝0，解得c＝－2或c＝－6，当c＝－2时，令f'(x)>0，解得x<－2或x>－23；令f'(x)<0，解得－2<x<－2所以函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在-2，-2所以f(x)在x＝－2处取极大值，不符合题意，舍去；当c＝－6时，令f'(x)>0，可得x<－6或x>－2；令f'(x)<0，可得－6<x<－2，所以函数f(x)在(－∞，－6)上单调递增，在(－6，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，所以f(x)在x＝－2处取极小值，符合题意，综上可得，c＝－6.](2)0解析f'(x)＝lnx＋1－2ax，由题意知方程lnx＋1－2ax＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实根，则2a＝lnx设g(x)＝lnx＋1x则g'(x)＝－lnx当0<x<1时，g'(x)>0，g(x)单调递增；当x>1时，g'(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)的极大值为g(1)＝1，又当x>1时，g(x)>0，当x→＋∞时，g(x)→0，当x→0时，g(x)→－∞，所以0<2a<1，即0<a<12跟踪训练3(1)C[由f(x)＝aex＋bx，得f'(x)＝aex＋b，因为f(x)在x＝0处取得极小值1，所以f'(0)＝ae0＋b＝0,f(0)＝当x>0时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当x<0时，f'(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)在x＝0处取得极小值，故a＝1，b＝－1满足题意，于是有f'(2)＝e2－1.](2)A[函数f(x)＝2＋axlnx的定义域为(0，＋∞)，又f'(x)＝a(lnx＋1)，当a＝0时，f(x)＝2为常数函数，不存在极值，故舍去；当a>0时，令f'(x)＝0，解得x＝1e则当0<x<1e时，f'(x)<0当x>1e时，f'(x)>0所以f(x)在0，1e则f(x)在x＝1e当a<0时，令f'(x)＝0，解得x＝1e则当0<x<1e时，f'(x)>0当x>1e时，f'(x)<0所以f(x)在0，1e则f(x)在x＝1e处取得极大值，符合题意综上可得，a<0.]微拓展典例ABC[对于A，设f(m－x)＋f(m＋x)＝2n，得[a(m－x)3＋b(m－x)2＋c(m－x)＋d]＋[a(m＋x)3＋b(m＋x)2＋c(m＋x)＋d]＝2n，整理得(6ma＋2b)x2＋(2am3＋2bm2＋2cm＋2d)＝2n.根据多项式恒等对应系数相等，可得m＝－b3a且n＝am3＋bm2＋cm＋d，从而三次函数是中心对称曲线，且由n＝f(m)知其对称中心(m，f(m))仍然在曲线上.故对称中心为-b3a，f-b3a，A正确；对于B，由y＝f(x)的图象关于点(m，n)对称，得f(x)＋f(2m－x)＝2n.求导可得f'(2m－x)＝f'(x)，即y＝对于C，设f'(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－2b3a，x1x2＝c3a.设f(x)的两个取极值的点分别为A(x1，f(x1))，B(x2，f则f(x1)＋f(x2)＝(ax13＋bx12＋cx1＋d