2026届高三一轮复习讲义(基础版)数学第三章3.5导数与函数的最值

§3.5导数与函数的最值课标要求1.理解函数最值与极值的关系.2.掌握利用导数研究函数最值的方法.3.会用导数研究生活中的最优化问题.1.函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.2.求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的.

(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)连续函数f(x)在区间[a，b]上一定存在最值.()(2)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值.()(3)函数的极大值不一定是最大值，但一定不是最小值.()(4)有极值的函数一定有最值，但有最值的函数不一定有极值.()2.函数f(x)＝x3－3x＋1在区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是()A.1，－1 B.1，－17C.3，－17 D.9，193.函数y＝lnxx的最大值为(A.e－1 B.eC.e2 D.104.函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0，2]上的最大值是3，则a的值为.

解题时灵活应用以下几个关键点(1)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.(2)对于一般函数而言，函数的最值必在下列各点中取得：导数为零的点、导数不存在的点、端点.题型一利用导数求函数的最值例1已知函数f(x)＝(x－1)ex－12ax2(1)若a＝e，求f(x)在[0，2]上的最值；(2)若a>0，求函数f(x)在[1，2]上的最小值.思维升华求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.跟踪训练1已知函数f(x)＝x-ax－lnx(a∈R)，求f(x)在(0，e题型二已知函数的最值求参数例2(2024·淮安模拟)已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋alnx，a∈R.若f(x)在[1，e]上的最小值为－2a，求a的取值范围.思维升华含参数最值问题，关键是先讨论函数的单调性，利用单调性画出草图，借助函数图象，分类讨论最值问题，由最值求参数的值时，要注意检验所求的值是否满足分类讨论的条件.跟踪训练2已知函数f(x)＝xlnx－(a＋1)x＋1(a>0)，若f(x)在1，e上的值域为1-2e，-2题型三生活中的优化问题例3我国是一个人口大国，产粮、储粮是关系国计民生的大事.现某储粮机构拟在长100米，宽80米的长方形地面建立两座完全相同的粮仓(设计要求：顶部为圆锥形，底部为圆柱形，圆锥高与底面直径之比为1∶10，粮仓高为50米，两座粮仓连体紧靠矩形一边)，已知稻谷容重为600千克每立方米，粮仓厚度忽略不计，估算两个粮仓最多能储存稻谷(π取近似值3)()A.105000吨 B.68160吨C.157000吨 D.146500吨思维升华解决最优化问题，应从以下几个方面入手(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域.(2)在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点.跟踪训练3(2025·宁德模拟)为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本10万元，每年需另投入流动成本c(x)(单位：万元)与lnx10成正比(其中x(单位：台)表示产量)，并知当生产20台该农机产品时，需要流动成本0.7万元，每件产品的售价p(x)(单位：万元)与产量x(单位：台)的函数关系为p(x)＝－x100＋10x＋5150(其中x≥10).若生产的产品当年能全部售完，则该工厂的最大年利润为万元.(参考数据：取ln2为0.7，ln3为1.1，ln

答案精析落实主干知识2.(1)极值(2)f(a)，f(b)自主诊断1.(1)√(2)×(3)√(4)×2.C[f

'(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f

'(x)>0，得x>1或x<－1，令f

'(x)<0，得－1<x<1，故f(x)在x＝－1处取得极大值，在x＝1处取得极小值，且f(－1)＝－1＋3＋1＝3，f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，所以函数f(x)＝x3－3x＋1在区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是3，－17.]3.A[由题意得函数定义域为(0，＋∞)，令y'＝1-lnxx2＝0⇒当x>e时，y'<0；当0<x<e时，y'>0，所以函数在x＝e处取得极大值为e－1，因为在定义域内只有一个极值，所以ymax＝e－1.]4.1解析由题意可知，f

'(x)＝3x2－2x－1，令f

'(x)＝0，解得x＝1或x＝－13(舍去)当0≤x<1时，f

'(x)<0；当1<x≤2时，f'(x)>0，所以函数f(x)在[0，1]上单调递减，在(1，2]上单调递增.又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，则f(2)最大，所以当x＝2时，函数f(x)在区间[0，2]上的最大值为f(2)＝a＋2＝3，解得a＝1.探究核心题型例1解函数f(x)＝(x－1)ex－12ax2求导得f'(x)＝xex－ax＝x(ex－a).(1)∵a＝e，∴f(x)＝(x－1)ex－12ex2f'(x)＝x(ex－e)，当x∈[0，2]时，令f'(x)＝0，得x＝1(舍去x＝0)，∵f(1)＝－12ef(0)＝－1，f(2)＝e2－2e，∴f(x)min＝f(1)＝－12ef(x)max＝f(2)＝e2－2e.(2)若a>0，则①当lna≥2，即a≥e2时，ex－a≤0，f'(x)≤0，函数f(x)在[1，2]上单调递减，因此函数f(x)在[1，2]上的最小值为f(2)＝e2－2a；②当1<lna<2，即e<a<e2时，函数f(x)在[1，lna)上单调递减，在(lna，2]上单调递增，因此函数f(x)的最小值为f(lna)＝a(lna－1)－12a(lna)2③当lna≤1，即0<a≤e时，ex－a≥0，f'(x)≥0，函数f(x)在[1，2]上单调递增，因此函数f(x)在[1，2]上的最小值为f(1)＝－12a综上，当a≥e2时，f(x)在[1，2]上的最小值为e2－2a；当e<a<e2时，f(x)在[1，2]上的最小值为a(lna－1)－12a(lna)2当0<a≤e时，f(x)在[1，2]上的最小值为－12a跟踪训练1解函数f(x)＝x-ax－lnx(a∈R)的定义域为(0，＋则f'(x)＝ax2－当a≤0时，对任意的x>0，f'(x)<0恒成立，此时函数f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，所以f(x)在(0，e]上单调递减，故f(x)在(0，e]上无最大值.当a>0时，由f'(x)>0，可得0<x<a，由f'(x)<0，可得x>a.此时，函数f(x)的单调递增区间为(0，a)，单调递减区间为(a，＋∞).当a≥e时，函数f(x)在(0，e]上单调递增，所以f(x)max＝f(e)＝－ae当0<a<e时，函数f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，e]上单调递减，所以f(x)max＝f(a)＝－lna.综上，当a≤0时，f(x)在(0，e]上无最大值；当0<a<e时，f(x)在(0，e]上的最大值为－lna；当a≥e时，f(x)在(0，e]上的最大值为－ae例2解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝2x－(2a＋1)＋a＝2＝(2x①当a≤1时，x∈[1，e]，f'(x)>0，所以f(x)在[1，e]上单调递增，f(x)的最小值为f(1)＝－2a，满足题意；②当1<a<e时，令f'(x)>0，则x>a或0<x<12令f'(x)<0，则12<x<a所以f(x)在[1，a]上单调递减，在[a，e]上单调递增，此时，f(x)的最小值为f(a)<f(1)＝－2a，不满足题意；③当a≥e时，x∈[1，e]，f'(x)<0，所以f(x)在[1，e]上单调递减，f(x)的最小值为f(e)<f(1)＝－2a，不满足题意.综上可知，实数a的取值范围是(－∞，1].跟踪训练2解f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝lnx＋x·1x－(a＋1)＝lnx－a当0<x<ea时，f'(x)<0，当x>ea时，f'(x)>0，所以f(x)在(0，ea)上单调递减，在(ea，＋∞)上单调递增.因为a>0，则ea>1，当ea≤e，即0<a≤1时，则f(x)min＝f(ea)＝ealnea－(a＋1)ea＋1＝1－ea＝1－2e，解得a＝1＋ln2(舍去)；当ea>e，即a>1时，f(x)在[1，e]上单调递减，所以f(1)＝－a＝－2，f(e)＝1－ae＝1－2e，解得a＝2，符合题意.综上所述，a＝2.例3A[由于粮仓高50米，顶部为圆锥形，底部为圆柱形，圆锥高与底面直径之比为1∶10，设粮仓顶部圆锥形的高为x米，底面直径为10x米，圆柱的高为(50－x)米，两座粮仓总的容积为V(x)＝2π(5＝100π3x2(75－x)若靠矩形长边建造，则20所以0<x≤5；若靠矩形宽边建造，则20所以0<x≤4.因为V'(x)＝100π(50x－x2)，当0<x≤5时，V'(x)>0，V(x)在(0，5]上单调递增，所以当x＝5时，V(x)取得最大值175000π3两个粮仓最多能储存稻谷175000π3×0.6≈105000(吨).跟踪训练324.4解析记当年销售该产品x台获得的利润为f(x)(单位：万元).依题设，c(x)＝klnx10，k>0当生产20台该农机产品时，需要流动成本0.7万元得，0.7＝kln2010，可得k＝1，∴c(x)＝lnx∴f(x)＝p(x)x－c(x)－1