《机器人学简明教程》课件第4章

第4章机器人逆运动学4.1逆运动学问题的可解性4.2欧拉变换解4.3

PUMA560逆运动学

4.1逆运动学问题的可解性

1.解的存在性

逆运动学问题解是否存在完全取决于机械臂的工作空间。所谓工作空间是指机械臂末

端执行器所能达到的空间位姿的集合。一般来说，对于给定的机械臂，其工作空间是固定的。而对于少于6个自由度的机械臂，它在三维空间内不能达到全部位姿。所以通用工业机器人一般都设计成6个自由度。当期望位姿位于机械臂的工作空间之外时，逆运动学问题无解。如图4－1所示期望平面机械臂末端达到B点，显然该逆运动学问题是无解的。

图4－1期望机械臂末端达到B点

2.多解问题

逆运动学求解的另一个问题是多解问题。如图4－2所示的平面机械臂有两个解，虚线表示另外一个解。逆运动学解的个数取决于机械臂关节的数量，同时与连杆参数和关节运动范围有关。PUMA560工业机器人一般存在8个解。图4－2平面机械臂有两个解

3.逆运动学问题解法

前面强调，从运动学方程中求解关节变量θ1,θ2,…,θn是一个非线性方程组求解问题。而非线性方程组求解方法分为封闭（解析）解法和数值解法两大类。数值解法随着计算机技术的发展已经成为非线性方程组求解的基本方法。然而，对于逆运动学问题，数值解法并不适用，一是机械臂操作需要频繁求解逆运动学问题，数值解法计算量比较大；二是数值解法不能保证求出全部解。所以逆运动学问题一般只采用封闭（解析）解法。机器人逆运动学问题涉及一个复杂的非线性方程组求解，而从数学角度分析一般的非线性方程组经常没有封闭（解析）解。不过对于机械臂逆运动学问题存在合适的解决方案，因为机械臂是人造机构，只需将其设计成存在封闭解的结构即可解决该问题。理论上已经证明，对于6自由度机械臂，存在封闭解的充分条件是有相邻的三个关节轴相交于一点。因此，已经设计出来的6自由度机械臂几乎都有三个相交的关节轴，例如PUMA560的4、5、6轴交于一点。

对于平面机械臂的逆运动学问题，可以采用3.3节介绍的几何方法进行求解。下面首先介绍欧拉变换的求解方法，然后以PUMA560为例介绍6自由度机械臂的逆运动学问题求解方法。

4.2欧拉变换解

式（2－43）给出了采用欧拉角表示的坐标变换，其逆问题是给定旋转矩阵Rzyz，确定对应的欧拉角。假设给定的旋转矩阵如下:根据欧拉变换方程式（2－40）可得如下9个方程:(4－1)

1.双变量反正切函数

在三角函数求解时，通常采用双变量反正切函数atan2(y,x)来确定角度。atan2提供两个自变量，即纵坐标和横坐标，见图4－3。当-π≤θ≤π时，由atan2反求角度过程中，同时检查y和x的符号来确定其所在象限。该函数也能检验什么时候x或y为0，并反求出正确的角度。atan2的精确程度对其整个定义域都是一样的。高级编程语言如C和Matlab等提供标准库函数供编程者调用。图4－3双变量反正切函数

2.欧拉变换解

根据式（2－39）和式（2－40）可知:即(4－2)式中，矩阵两边对应（2，3）元素相等得 4.3

PUMA560逆运动学

本节将研究PUMA560的逆运动学封闭解，一般的6自由度工业机器人逆运动学问题可以参考该方法进行求解。已知变换矩阵，计算各关节变量θ1,θ2,…,θ6。各连杆坐标系变换关系如下:与欧拉角求解类似，根据第3章PUMA560运动学式（3－21）和式（3－23）得(4－6)式（3－22）的最后三个数如下:(4－7)令式（4－6）两边元素（2,4）相等，得到-pxs1+pyc1=d3

（4－8）为了求解式（4－8），做三角恒等变换px=

cos

py=

sin

（4－9）式中，将式（4－9）代入式（4－8）得所以因此最后θ1的解可以写为(4－10)式（4－10）的正负号表明θ1有两种解。现在θ1已知，因此式（4－6）的左边均为已知。令式（4－6）两边的元素（1，4）和（3，4）对应相等，得(4－11)将式（4－8）和式（4－11）平方后相加，经复杂的运算得(4－12)式中，采用与解式（4－8）相同的方法可以得到θ3的两种解。(4－13)在θ1和θ3均已知，根据运动学关系可以得到下面等式即(4－14)令式（4－14）两端的元素（1，4）和（2，4）相等，得到两个方程(4－15)联立上述两个方程可以解出s23和c23，结果为(4－16)两式中分母相等，且为正值，因此可以得θ23的值:因θ23=θ2+θ3,故可得θ2的值:

2=

23-

3

（4－17）现在式（4－14）的左边均为已知。令式（4－14）两边的元素（1，3）和（3，3）对应相等，得(4－18)若s5≠0，可以解出(4－19)当θ5=0时，和欧拉角方程求解一样，属于奇异状态，可以任意指定θ4的值。(4－20)令式（4－20）两边的元素（1，2）和元素（3，3）相等得(4－21)可以确定θ5的值(4－22)现在θ1~θ5均已知，根据运动学关系可以得到下面等式(4－23)令式（4－23）两边元素（1，1）和（3，1）相等可以得到θ6的解由于式（4－10）和式（4－13）的θ