2025年二次函数考试试题及答案

2025年二次函数考试试题及答案

一、单项选择题1.二次函数\(y=2(x-3)^2+1\)的顶点坐标是（）A.（3，1）B.（-3，1）C.（3，-1）D.（-3，-1）答案：A2.二次函数\(y=x^2+2x-3\)的对称轴是（）A.\(x=1\)B.\(x=-1\)C.\(x=2\)D.\(x=-2\)答案：B3.抛物线\(y=-3x^2\)与\(y=3x^2\)的关系是（）A.关于\(x\)轴对称B.关于\(y\)轴对称C.关于直线\(y=x\)对称D.关于原点对称答案：A4.二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）的图象经过点（0，3），则\(c\)的值为（）A.0B.1C.2D.3答案：D5.把二次函数\(y=x^2-4x+3\)化成\(y=a(x-h)^2+k\)的形式是（）A.\(y=(x-2)^2-1\)B.\(y=(x+2)^2-1\)C.\(y=(x-2)^2+1\)D.\(y=(x+2)^2+1\)答案：A6.已知二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\lt0\)）的图象如图所示，当\(y\gt0\)时，\(x\)的取值范围是（）A.\(x\lt-1\)或\(x\gt3\)B.\(-1\ltx\lt3\)C.\(x\lt-3\)或\(x\gt1\)D.\(-3\ltx\lt1\)答案：B7.二次函数\(y=-2x^2+4x+1\)的最大值是（）A.3B.4C.5D.6答案：A8.二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）的图象的一部分如图所示，已知它的顶点\(M\)在第二象限，且经过点\(A(1,0)\)和点\(B(0,1)\)，则以下结论：①\(a-b+c=0\)；②\(ab\lt0\)；③\(a\lt-1\)；④\(4a-2b+c\lt0\)，其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C9.抛物线\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）的对称轴为直线\(x=1\)，与\(x\)轴的一个交点坐标为（-1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①\(4ac\ltb^2\)；②方程\(ax^2+bx+c=0\)的两个根是\(x_1=-1\)，\(x_2=3\)；③\(3a+c\lt0\)；④当\(y\gt0\)时，\(x\)的取值范围是\(-1\ltx\lt3\)；⑤当\(x\lt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大，其中正确的个数是（）A.5个B.4个C.3个D.2个答案：B10.已知二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）的图象如图所示，对称轴是直线\(x=1\)，下列结论：①\(abc\gt0\)；②\(2a+b=0\)；③\(a-b+c\lt0\)；④\(4a+2b+c\gt0\)；⑤\(b^2-4ac\gt0\)，其中正确的结论有（）A.5个B.4个C.3个D.2个答案：B二、多项选择题1.下列函数中，是二次函数的有（）A.\(y=3x^2-1\)B.\(y=3(x-1)^2\)C.\(y=2x^2+x+1\)D.\(y=\frac{1}{x^2}\)答案：ABC2.二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A.\(a\lt0\)B.\(b\gt0\)C.\(c\gt0\)D.\(b^2-4ac\gt0\)答案：ACD3.把抛物线\(y=2x^2\)向上平移\(3\)个单位，再向右平移\(1\)个单位，所得到的抛物线是（）A.\(y=2(x-1)^2+3\)B.\(y=2(x+1)^2+3\)C.\(y=2(x-1)^2-3\)D.\(y=2(x^2-2x+1)+3\)答案：AD4.二次函数\(y=x^2-2x-3\)的图象与\(x\)轴的交点坐标是（）A.（3，0）B.（-1，0）C.（0，-3）D.（0，3）答案：AB5.对于二次函数\(y=-x^2+2x+3\)，下列说法正确的是（）A.开口向下B.对称轴是直线\(x=1\)C.当\(x\gt1\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大D.函数有最大值答案：ABD6.二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）的图象经过点（-1，0），（3，0），（0，3），则下列说法正确的是（）A.对称轴是直线\(x=1\)B.\(a=-1\)C.\(b=2\)D.\(c=3\)答案：ABCD7.已知二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A.\(abc\lt0\)B.\(b^2-4ac\gt0\)C.\(a+b+c\gt0\)D.\(a-b+c\gt0\)答案：ABD8.二次函数\(y=2(x-1)^2+3\)的性质有（）A.开口向上B.顶点坐标为（1，3）C.当\(x\gt1\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大D.对称轴是直线\(x=1\)答案：ABCD9.二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）的图象与\(x\)轴有两个交点\(A(x_1,0)\)，\(B(x_2,0)\)，则下列说法正确的是（）A.\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)B.\(x_1x_2=\frac{c}{a}\)C.当\(a\gt0\)时，若\(x_1\ltx\ltx_2\)，则\(y\lt0\)D.当\(a\lt0\)时，若\(x\ltx_1\)或\(x\gtx_2\)，则\(y\gt0\)答案：ABC10.下列二次函数中，图象以直线\(x=2\)为对称轴，且经过点（0，1）的是（）A.\(y=(x-2)^2+1\)B.\(y=(x+2)^2+1\)C.\(y=(x-2)^2-3\)D.\(y=2(x-2)^2-7\)答案：ACD三、判断题1.二次函数\(y=3x^2\)的图象开口比\(y=x^2\)的图象开口大。（）答案：错误2.二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）的对称轴公式是\(x=-\frac{b}{2a}\)。（）答案：正确3.抛物线\(y=2(x-3)^2+4\)的顶点坐标是（3，4）。（）答案：正确4.二次函数\(y=-x^2+2x-1\)的图象与\(x\)轴只有一个交点。（）答案：正确5.把二次函数\(y=x^2\)的图象向左平移\(2\)个单位，再向下平移\(3\)个单位，得到的函数解析式是\(y=(x+2)^2-3\)。（）答案：正确6.二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)），当\(a\gt0\)时，在对称轴左侧\(y\)随\(x\)的增大而减小。（）答案：正确7.抛物线\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）与\(y\)轴的交点坐标是（0，c）。（）答案：正确8.二次函数\(y=2x^2-4x+1\)的最小值是\(-1\)。（）答案：错误9.二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）的图象是一条抛物线。（）答案：正确10.若二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）的图象经过点（1，0），则\(a+b+c=0\)。（）答案：正确四、简答题1.已知二次函数\(y=x^2-4x+3\)，求其对称轴、顶点坐标，并指出当\(x\)在什么范围内时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。答案：对于二次函数\(y=x^2-4x+3\)，将其化为顶点式\(y=(x-2)^2-1\)。对称轴为直线\(x=2\)，顶点坐标是（2，-1）。因为二次项系数\(a=1\gt0\)，开口向上，所以当\(x\gt2\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。2.二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象经过点（1，0），（0，3），且对称轴是直线\(x=2\)，求该二次函数的解析式。答案：已知图象过点（0，3），则\(c=3\)。对称轴\(x=2\)，即\(-\frac{b}{2a}=2\)，又过点（1，0），可得\(a+b+c=0\)。把\(c=3\)代入\(a+b+c=0\)得\(a+b=-3\)，结合\(-\frac{b}{2a}=2\)，即\(b=-4a\)，代入\(a+b=-3\)，得\(a-4a=-3\)，解得\(a=1\)，\(b=-4\)，所以解析式为\(y=x^2-4x+3\)。3.已知二次函数\(y=-x^2+2x+4\)，求它的最大值。答案：对于二次函数\(y=-x^2+2x+4\)，其二次项系数\(a=-1\lt0\)，图象开口向下，有最大值。将其化为顶点式\(y=-(x-1)^2+5\)，所以当\(x=1\)时，\(y\)有最大值，最大值为\(5\)。4.抛物线\(y=ax^2+bx+c\)经过点\(A(-1,0)\)，\(B(3,0)\)，\(C(0,3)\)，求此抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标。答案：因为抛物线过\(A(-1,0)\)，\(B(3,0)\)，设抛物线解析式为\(y=a(x+1)(x-3)\)，把\(C(0,3)\)代入得\(a(0+1)(0-3)=3\)，解得\(a=-1\)，所以解析式为\(y=-(x+1)(x-3)=-x^2+2x+3\)。化为顶点式\(y=-(x-1)^2+4\)，顶点坐标是（1，4）。五、讨论题1.二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）的图象与\(x\)轴的交点个数与\(b^2-4ac\)有什么关系？请举例说明。答案：当\(b^2-4ac\gt0\)时，二次函数图象与\(x\)轴有两个不同交点。例如\(y=x^2-3x+2\)，这里\(a=1\)，\(b=-3\)，\(c=2\)，\(b^2-4ac=(-3)^2-4×1×2=1\gt0\)，令\(y=0\)，即\(x^2-3x+2=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)，有两个交点。当\(b^2-4ac=0\)时，有一个交点，如\(y=x^2-2x+1\)，\(b^2-4ac=0\)，与\(x\)轴交于