高等代数考研真题及答案

高等代数考研真题及答案

一、单项选择题1.设\(A\)是\(n\)阶方阵，\(\lambda_1,\lambda_2\)是\(A\)的两个不同的特征值，\(\xi_1,\xi_2\)分别是属于\(\lambda_1,\lambda_2\)的特征向量，则下列结论正确的是（）A.当\(k_1=k_2=0\)时，\(k_1\xi_1+k_2\xi_2=0\)B.对任意的\(k_1,k_2\)，\(k_1\xi_1+k_2\xi_2\)都是\(A\)的特征向量C.当\(k_1,k_2\)不全为\(0\)时，\(k_1\xi_1+k_2\xi_2\)不可能是\(A\)的特征向量D.存在不全为\(0\)的\(k_1,k_2\)，使得\(k_1\xi_1+k_2\xi_2\)是\(A\)的特征向量答案：C2.设\(A\)为\(n\)阶可逆矩阵，\(\lambda\)是\(A\)的一个特征值，则\(A^\)的一个特征值是（）A.\(\frac{\vertA\vert}{\lambda}\)B.\(\frac{\lambda}{\vertA\vert}\)C.\(\vertA\vert\lambda\)D.\(\frac{1}{\vertA\vert\lambda}\)答案：A3.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(A\)与\(B\)相似，则（）A.\(\lambdaE-A=\lambdaE-B\)B.\(A\)与\(B\)有相同的特征值和特征向量C.\(A\)与\(B\)都相似于一个对角矩阵D.对任意常数\(t\)，\(tE-A\)与\(tE-B\)相似答案：D4.设\(A\)是\(n\)阶实对称矩阵，\(P\)是\(n\)阶可逆矩阵，已知\(n\)维列向量\(\alpha\)是\(A\)的属于特征值\(\lambda\)的特征向量，则矩阵\((P^{-1}AP)^T\)属于特征值\(\lambda\)的特征向量是（）A.\(P^{-1}\alpha\)B.\(P^T\alpha\)C.\(P\alpha\)D.\((P^{-1})^T\alpha\)答案：B5.设\(A\)是\(3\)阶方阵，将\(A\)的第\(1\)列与第\(2\)列交换得\(B\)，再把\(B\)的第\(2\)列加到第\(3\)列得\(C\)，则满足\(AQ=C\)的可逆矩阵\(Q\)为（）A.\(\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&1&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)答案：D6.设\(A\)，\(B\)为同阶可逆矩阵，则（）A.\(AB=BA\)B.存在可逆矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP=B\)C.存在可逆矩阵\(C\)，使得\(C^TAC=B\)D.存在可逆矩阵\(P\)和\(Q\)，使得\(PAQ=B\)答案：D7.设\(A\)是\(n\)阶方阵，\(r(A)=n-1\)，\(\alpha_1,\alpha_2\)是齐次线性方程组\(Ax=0\)的两个不同的解向量，则\(Ax=0\)的通解为（）A.\(k\alpha_1\)，\(k\)为任意常数B.\(k\alpha_2\)，\(k\)为任意常数C.\(k(\alpha_1-\alpha_2)\)，\(k\)为任意常数D.\(k(\alpha_1+\alpha_2)\)，\(k\)为任意常数答案：C8.设\(A\)是\(m\timesn\)矩阵，\(B\)是\(n\timesm\)矩阵，则（）A.当\(m>n\)时，必有\(\vertAB\vert\neq0\)B.当\(m>n\)时，必有\(\vertAB\vert=0\)C.当\(n>m\)时，必有\(\vertAB\vert\neq0\)D.当\(n>m\)时，必有\(\vertAB\vert=0\)答案：B9.设\(A\)是\(n\)阶正定矩阵，\(B\)是\(n\)阶反对称矩阵，则\(A-B^2\)是（）A.正定矩阵B.反对称矩阵C.非正定矩阵D.不可逆矩阵答案：A10.设\(A\)是\(n\)阶方阵，\(A^2=A\)，则下列结论中不正确的是（）A.\(A\)的特征值只能是\(0\)或\(1\)B.\(A\)一定可对角化C.\(r(A)+r(A-E)=n\)D.\(A\)是可逆矩阵答案：D二、多项选择题1.设\(A\)是\(n\)阶方阵，下列条件中能推出\(A\)可对角化的有（）A.\(A\)有\(n\)个不同的特征值B.\(A\)是实对称矩阵C.\(A\)的每个特征值的几何重数等于它的代数重数D.\(A\)的最小多项式没有重根答案：ABCD2.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(A\)与\(B\)合同，则（）A.\(A\)与\(B\)等价B.\(A\)与\(B\)相似C.\(r(A)=r(B)\)D.\(A\)与\(B\)有相同的正惯性指数答案：ACD3.设\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)是齐次线性方程组\(Ax=0\)的一个基础解系，则下列向量组中也可作为\(Ax=0\)的基础解系的有（）A.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1\)B.\(\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)C.\(\alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1\)D.\(\alpha_1+2\alpha_2,\alpha_2+2\alpha_3,\alpha_3+2\alpha_1\)答案：ABD4.设\(A\)是\(n\)阶方阵，\(\lambda\)是\(A\)的一个特征值，\(\xi\)是属于\(\lambda\)的特征向量，则（）A.\(A^k\xi=\lambda^k\xi\)，\(k\)为正整数B.\(f(A)\xi=f(\lambda)\xi\)，\(f(x)\)为任意多项式C.若\(A\)可逆，则\(\lambda\neq0\)且\(A^{-1}\xi=\frac{1}{\lambda}\xi\)D.若\(A\)可逆，则\(\lambda\neq0\)且\(A^\xi=\frac{\vertA\vert}{\lambda}\xi\)答案：ABCD5.设\(A\)是\(m\timesn\)矩阵，\(Ax=b\)为非齐次线性方程组，则（）A.若\(r(A)=r(A\vertb)\)，则\(Ax=b\)有解B.若\(Ax=b\)有解，则\(r(A)=r(A\vertb)\)C.若\(Ax=b\)有唯一解，则\(r(A)=n\)D.若\(Ax=b\)有无穷多解，则\(r(A)<n\)答案：ABC6.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶正交矩阵，则（）A.\(AB\)是正交矩阵B.\(A^{-1}\)是正交矩阵C.\(A^T\)是正交矩阵D.\(kA\)（\(k\neq0\)）是正交矩阵答案：ABC7.设\(A\)是\(n\)阶方阵，下列关于\(A\)的行列式的性质正确的有（）A.\(\vertA^T\vert=\vertA\vert\)B.\(\vertkA\vert=k^n\vertA\vert\)C.\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\)D.若\(A\)可逆，则\(\vertA^{-1}\vert=\frac{1}{\vertA\vert}\)答案：ABCD8.设\(A\)是\(n\)阶方阵，\(A\)的伴随矩阵为\(A^\)，则（）A.\(AA^=\vertA\vertE\)B.若\(\vertA\vert\neq0\)，则\(A^=\vertA\vertA^{-1}\)C.\(r(A^)=\begin{cases}n,&r(A)=n\\1,&r(A)=n-1\\0,&r(A)<n-1\end{cases}\)D.\(\vertA^\vert=\vertA\vert^{n-1}\)答案：ABCD9.设\(A\)是\(n\)阶方阵，下列说法正确的是（）A.若\(A\)是上三角矩阵，则\(A\)的特征值就是主对角线上的元素B.若\(A\)是实对称矩阵，则\(A\)的不同特征值对应的特征向量正交C.若\(A\)可对角化，则\(A\)的最小多项式无重根D.若\(A\)的所有特征值都为\(0\)，则\(A=0\)答案：ABC10.设\(A\)是\(n\)阶方阵，\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)是\(A\)的\(n\)个线性无关的特征向量，对应的特征值分别为\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)，令\(P=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)，则（）A.\(AP=P\begin{pmatrix}\lambda_1&0&\cdots&0\\0&\lambda_2&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&\lambda_n\end{pmatrix}\)B.\(A=P\begin{pmatrix}\lambda_1&0&\cdots&0\\0&\lambda_2&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&\lambda_n\end{pmatrix}P^{-1}\)C.\(A\)与对角矩阵\(\begin{pmatrix}\lambda_1&0&\cdots&0\\0&\lambda_2&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&\lambda_n\end{pmatrix}\)相似D.\(A\)的特征多项式为\(f(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\cdots(\lambda-\lambda_n)\)答案：ABCD三、判断题1.若\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(A\)与\(B\)相似，则\(A\)与\(B\)的特征多项式相同。（）答案：对2.设\(A\)是\(n\)阶方阵，若\(A\)的行列式\(\vertA\vert=0\)，则\(A\)的列向量组线性相关。（）答案：对3.若\(A\)是实对称矩阵，则\(A\)一定可正交对角化。（）答案：对4.齐次线性方程组\(Ax=0\)只有零解的充分必要条件是\(A\)的列向量组线性无关。（）答案：对5.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，若\(A\)与\(B\)合同，则\(A\)与\(B\)有相同的秩和相同的正惯性指数。（）答案：对6.若\(A\)是\(n\)阶方阵，\(\lambda\)是\(A\)的一个特征值，\(\xi\)是属于\(\lambda\)的特征向量，则对于任意非零常数\(k\)，\(k\xi\)也是属于\(\lambda\)的特征向量。（）答案：对7.设\(A\)是\(n\)阶方阵，若\(A\)的所有特征值都为\(1\)，则\(A=E\)。（）答案：错8.非齐次线性方程组\(Ax=b\)有解的充分必要条件是\(r(A)=r(A\vertb)\)。（）答案：对9.若\(A\)是\(n\)阶正定矩阵，则\(A\)的主对角线元素都大于\(0\)。（）答案：对10.设\(A\)是\(n\)阶方阵，\(A\)的伴随矩阵为\(A^\)，若\(r(A)=n-1\)，则\(r(A^)=1\)。（）答案：对四、简答题1.简述矩阵可相似对角化的条件。答案：一个\(n\)阶方阵\(A\)可相似对角化的充分必要条件是\(A\)有\(n\)个线性无关的特征向量。或者\(A\)的每个特征值的几何重数等于它的代数重数。若\(A\)有\(n\)个不同的特征值，那么\(A\)一定可相似对