学科数学考研试卷及答案

学科数学考研试卷及答案

一、单项选择题1.已知集合\(A=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x|0<x<6,x\inN\}\)，则\(A\capB\)等于（）A.\(\{1,2\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{3,4\}\)D.\(\{1,5\}\)答案：A2.函数\(y=\log_2(x-1)\)的定义域是（）A.\((1,+\infty)\)B.\([1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((-\infty,2)\)答案：A3.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-2,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，则\(m\)的值为（）A.-1B.-4C.4D.1答案：B4.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(a_3=5\)，\(S_3=9\)，则\(a_5\)的值为（）A.7B.9C.11D.13答案：C5.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，则\(\cos\alpha\)的值为（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)答案：B6.直线\(3x+4y-12=0\)与\(x\)轴、\(y\)轴分别交于\(A\)、\(B\)两点，则\(\vertAB\vert\)的值为（）A.5B.6C.7D.8答案：A7.抛物线\(y^2=8x\)的焦点坐标是（）A.\((2,0)\)B.\((-2,0)\)C.\((0,2)\)D.\((0,-2)\)答案：A8.函数\(f(x)=x^3-3x\)的单调递增区间是（）A.\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)B.\((-1,1)\)C.\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)D.\((-1,0)\)和\((0,1)\)答案：A9.已知\(m\)，\(n\)是两条不同直线，\(\alpha\)，\(\beta\)是两个不同平面，下列命题正确的是（）A.若\(m\parallel\alpha\)，\(n\parallel\alpha\)，则\(m\paralleln\)B.若\(m\perp\alpha\)，\(n\subset\alpha\)，则\(m\perpn\)C.若\(m\parallel\alpha\)，\(m\parallel\beta\)，则\(\alpha\parallel\beta\)D.若\(m\subset\alpha\)，\(\alpha\perp\beta\)，则\(m\perp\beta\)答案：B10.从\(5\)名男生和\(3\)名女生中选\(3\)人参加某项活动，至少有\(1\)名女生的选法种数为（）A.20B.30C.46D.60答案：C二、多项选择题1.下列函数中，是偶函数的有（）A.\(y=x^2+1\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=\frac{1}{x^2}\)答案：ABD2.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)满足\(c<b<a\)，且\(ac<0\)，则下列结论正确的是（）A.\(ab>ac\)B.\(c(b-a)>0\)C.\(cb^2<ab^2\)D.\(ac(a-c)<0\)答案：ABD3.对于等差数列\(\{a_n\}\)，下列说法正确的有（）A.若\(a_1=2\)，\(d=1\)，则\(a_5=6\)B.若\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，则\(d=2\)C.若\(a_1=2\)，\(a_5=10\)，则\(S_5=30\)D.若\(a_3=5\)，\(a_7=13\)，则\(a_1=1\)答案：ABD4.已知圆\(C\)：\((x-1)^2+(y-2)^2=25\)，直线\(l\)：\((2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0\)，则以下说法正确的是（）A.直线\(l\)恒过定点\((3,1)\)B.直线\(l\)与圆\(C\)可能相离C.直线\(l\)被圆\(C\)截得的弦长最短时直线\(l\)的方程为\(2x-y-5=0\)D.直线\(l\)被圆\(C\)截得的弦长最长时直线\(l\)的方程为\(x+y-4=0\)答案：ACD5.已知函数\(f(x)=\sin(2x+\varphi)\)，\(0<\varphi<\frac{\pi}{2}\)，则以下说法正确的是（）A.若\(f(x)\)的图象关于直线\(x=\frac{\pi}{6}\)对称，则\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)B.若\(f(x)\)在区间\([0,\frac{\pi}{6}]\)上单调递增，则\(\varphi\)的取值范围是\([0,\frac{\pi}{6}]\)C.若\(f(x)\)的图象关于点\((\frac{\pi}{6},0)\)对称，则\(\varphi=\frac{\pi}{3}\)D.若把\(f(x)\)的图象向右平移\(\frac{\pi}{6}\)个单位长度后得到\(g(x)=\sin2x\)，则\(\varphi=\frac{\pi}{3}\)答案：ABD6.已知双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的离心率\(e=\frac{5}{4}\)，则下列说法正确的是（）A.双曲线的渐近线方程为\(y=\pm\frac{3}{4}x\)B.双曲线的渐近线方程为\(y=\pm\frac{4}{3}x\)C.若\(a=4\)，则双曲线的虚轴长为\(6\)D.若\(a=4\)，则双曲线的焦距为\(10\)答案：ACD7.已知\(a\)，\(b\)为正实数，且\(a+b=1\)，则下列说法正确的是（）A.\(ab\leqslant\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant4\)C.\(a^2+b^2\geqslant\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\leqslant\sqrt{2}\)答案：ABCD8.已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，则以下说法正确的是（）A.函数\(f(x)\)的极大值为\(2\)B.函数\(f(x)\)的极小值为\(-2\)C.函数\(f(x)\)在区间\((-\infty,0)\)上单调递增D.函数\(f(x)\)在区间\((2,+\infty)\)上单调递增答案：ABCD9.已知三棱锥\(P-ABC\)，下列说法正确的是（）A.若\(PA=PB=PC\)，则点\(P\)在平面\(ABC\)上的射影是\(\triangleABC\)的外心B.若\(PA\perpPB\)，\(PB\perpPC\)，\(PC\perpPA\)，则点\(P\)在平面\(ABC\)上的射影是\(\triangleABC\)的垂心C.若\(PA\perp\)平面\(ABC\)，\(AB\perpBC\)，则\(PC\perpBC\)D.若\(PA=PB=PC\)，\(\angleBAC=90^{\circ}\)，则点\(P\)在平面\(ABC\)上的射影是\(BC\)的中点答案：ABCD10.从\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)，\(6\)这六个数字中任取两个不同的数字，下列说法正确的是（）A.取到的两个数字都是偶数的概率为\(\frac{1}{5}\)B.取到的两个数字之和为偶数的概率为\(\frac{2}{5}\)C.取到的两个数字之积为偶数的概率为\(\frac{4}{5}\)D.取到的两个数字中至少有一个奇数的概率为\(\frac{4}{5}\)答案：ABC三、判断题1.空集是任何集合的真子集。（×）2.函数\(y=a^x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）是\(R\)上的增函数。（×）3.向量\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则\(\vec{a}=\vec{0}\)或\(\vec{b}=\vec{0}\)。（×）4.若\(a>b\)，则\(a^2>b^2\)。（×）5.等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)。（√）6.圆\(x^2+y^2=r^2\)的圆心坐标是\((0,0)\)，半径是\(r\)。（√）7.若直线\(l_1\)：\(A_1x+B_1y+C_1=0\)与直线\(l_2\)：\(A_2x+B_2y+C_2=0\)平行，则\(\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq\frac{C_1}{C_2}\)。（√）8.函数\(y=\sinx\)的最小正周期是\(2\pi\)。（√）9.若\(m\)，\(n\)是两条不同直线，\(\alpha\)，\(\beta\)是两个不同平面，\(m\subset\alpha\)，\(n\subset\beta\)，\(m\paralleln\)，则\(\alpha\parallel\beta\)。（×）10.从\(n\)个不同元素中取出\(m\)（\(m\leqslantn\)）个元素的组合数\(C_{n}^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)。（√）四、简答题1.求函数\(y=\log_3(x^2-2x-3)\)的定义域。答案：要使函数有意义，则\(x^2-2x-3>0\)，即\((x-3)(x+1)>0\)。解不等式可得\(x<-1\)或\(x>3\)。所以函数\(y=\log_3(x^2-2x-3)\)的定义域为\((-\infty,-1)\cup(3,+\infty)\)。2.已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，求\(a_n\)的通项公式及前\(n\)项和\(S_n\)。答案：设等差数列\(\{a_n\}\)的公差为\(d\)，因为\(a_3=a_1+2d\)，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，所以\(5=1+2d\)，解得\(d=2\)。则\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(1+2n-1)}{2}=n^2\)。3.已知圆\(C\)的圆心在直线\(y=x\)上，且过点\((2,0)\)和\((0,2)\)，求圆\(C\)的方程。答案：设圆\(C\)的圆心坐标为\((a,a)\)，半径为\(r\)。因为圆\(C\)过点\((2,0)\)和\((0,2)\)，则\((a-2)^2+a^2=r^2\)，\(a^2+(a-2)^2=r^2\)。所以\((a-2)^2+a^2=a^2+(a-2)^2\)，解这个方程可得\(a=1\)。\(r^2=(1-2)^2+1^2=2\)。所以圆\(C\)的方程为\((x-1)^2+(y-1)^2=2\)。4.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)分别为\(\triangleABC\)三个内角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边，且\(a\cosB+b\cosA=2c\cosC\)，求角\(C\)。答案：由正弦定理\(\frac{