中国数学高考真题及答案

中国数学高考真题及答案

一、单项选择题1.已知集合\(A=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x|0<x<5,x\inN\}\)，则满足条件\(A\subseteqC\subseteqB\)的集合\(C\)的个数为（）A.1B.2C.3D.4答案：D2.已知\(i\)是虚数单位，若复数\(z=\frac{2i}{1+i}\)，则\(|z|=（）\)A.1B.\(\sqrt{2}\)C.\(\sqrt{3}\)D.2答案：B3.已知\(\tan\alpha=2\)，则\(\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}\)的值为（）A.\(\frac{1}{3}\)B.-\(\frac{1}{3}\)C.3D.-3答案：A4.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(a_3+a_5=8\)，则\(S_7=（）\)A.28B.32C.56D.112答案：A5.已知函数\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)，则\(f(x)\)的图象的一条对称轴方程是（）A.\(x=-\frac{\pi}{12}\)B.\(x=\frac{\pi}{6}\)C.\(x=\frac{\pi}{3}\)D.\(x=\frac{5\pi}{12}\)答案：B6.已知\(a=\log_20.3\)，\(b=2^{0.3}\)，\(c=0.3^{2}\)，则\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小关系是（）A.\(a<b<c\)B.\(a<c<b\)C.\(c<a<b\)D.\(b<c<a\)答案：B7.已知圆\(C\)：\((x-1)^2+(y-2)^2=25\)，直线\(l\)：\((2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0\)，则直线\(l\)被圆\(C\)截得的弦长的最小值为（）A.\(2\sqrt{5}\)B.\(4\sqrt{5}\)C.\(6\sqrt{5}\)D.\(8\sqrt{5}\)答案：B8.已知\(F_1,F_2\)是椭圆\(C\)：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的两个焦点，\(P\)为椭圆\(C\)上一点，且\(\overrightarrow{PF_1}\perp\overrightarrow{PF_2}\)，若\(\trianglePF_1F_2\)的面积为\(9\)，则\(b=（）\)A.3B.4C.5D.6答案：A9.已知函数\(f(x)=\begin{cases}2^x-1,x\leq0\\f(x-1)+1,x>0\end{cases}\)，把函数\(g(x)=f(x)-x\)的零点按从小到大的顺序排成一个数列\(\{a_n\}\)，则该数列的通项公式为（）A.\(a_n=\frac{n(n-1)}{2}\)B.\(a_n=n-1\)C.\(a_n=n(n-1)\)D.\(a_n=2^{n-1}\)答案：B10.已知三棱锥\(S-ABC\)的所有顶点都在球\(O\)的球面上，\(\triangleABC\)是边长为\(1\)的正三角形，\(SC\)为球\(O\)的直径，且\(SC=2\)，则此三棱锥的体积为（）A.\(\frac{\sqrt{2}}{6}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{6}\)C.\(\frac{\sqrt{2}}{3}\)D.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)答案：A二、多项选择题1.下列函数中，既是偶函数又在\((0,+\infty)\)上单调递增的是（）A.\(y=x^3\)B.\(y=|x|+1\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=2^{|x|}\)答案：BD2.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(m,1)\)，若\(\vec{a}\perp\vec{b}\)，则\(m\)的值可以是（）A.-2B.2C.\(\frac{1}{2}\)D.-\(\frac{1}{2}\)答案：A3.对于函数\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)，以下说法正确的是（）A.最小正周期为\(\pi\)B.图象关于点\((\frac{\pi}{3},0)\)对称C.在\([-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]\)上单调递增D.图象可由\(y=\sin2x\)的图象向左平移\(\frac{\pi}{12}\)个单位得到答案：AD4.已知数列\(\{a_n\}\)是等比数列，下列结论正确的是（）A.若\(a_1a_2>0\)，则\(a_2a_3>0\)B.若\(a_1+a_3<0\)，则\(a_1a_3<0\)C.若\(a_2>a_1>0\)，则\(a_1+a_3>2a_2\)D.若\(a_1a_2<0\)，则\((a_2-a_1)(a_2-a_3)<0\)答案：AC5.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)满足\(c<b<a\)，且\(ac<0\)，那么下列选项中一定成立的是（）A.\(ab>ac\)B.\(c(b-a)<0\)C.\(cb^2<ab^2\)D.\(ac(a-c)<0\)答案：AD6.已知直线\(l\)过点\((0,-1)\)，且与曲线\(y=x\lnx\)相切，则直线\(l\)的方程可以是（）A.\(x-y-1=0\)B.\(x+y+1=0\)C.\(2x-y-1=0\)D.\(x-2y-2=0\)答案：A7.已知\(F_1,F_2\)是双曲线\(C\)：\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的左、右焦点，点\(P\)在双曲线\(C\)上，且\(|PF_1|=2|PF_2|\)，则下列说法正确的是（）A.双曲线的离心率\(e\)的取值范围是\((1,3]\)B.若\(\angleF_1PF_2=90^{\circ}\)，则双曲线的离心率\(e=\sqrt{5}\)C.若\(\angleF_1PF_2=60^{\circ}\)，则双曲线的离心率\(e=\sqrt{3}\)D.若双曲线的离心率\(e>\sqrt{3}\)，则\(\angleF_1PF_2\in(0,\frac{\pi}{3})\)答案：ABD8.已知函数\(f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2+ax-1\)有两个极值点\(x_1,x_2\)，则（）A.\(a<1\)B.若\(x_1<x_2\)，则\(f(x_1)\)是极大值，\(f(x_2)\)是极小值C.\(f(x_1)+f(x_2)<-\frac{8}{3}\)D.\(f(x_1)+f(x_2)>-\frac{8}{3}\)答案：ABC9.已知圆\(C_1\)：\((x-2)^2+(y-3)^2=1\)，圆\(C_2\)：\((x-3)^2+(y-4)^2=9\)，\(M\)，\(N\)分别是圆\(C_1\)，\(C_2\)上的动点，\(P\)为\(x\)轴上的动点，则\(|PM|+|PN|\)的值可能为（）A.\(5\sqrt{2}-4\)B.\(\sqrt{17}-1\)C.\(6-2\sqrt{2}\)D.\(\sqrt{17}\)答案：A10.已知函数\(f(x)=\begin{cases}e^x+a,x\leq0\\3x-1,x>0\end{cases}\)，若函数\(f(x)\)在\(R\)上有两个零点，则\(a\)的值可以是（）A.-1B.-\(\frac{1}{e}\)C.-\(\frac{1}{3}\)D.0答案：AB三、判断题1.若\(a>b\)，则\(a^2>b^2\)。（×）2.函数\(y=\sinx\)在区间\([0,2\pi]\)上的图象关于直线\(x=\pi\)对称。（×）3.向量\(\vec{a}=(1,2)\)与向量\(\vec{b}=(2,4)\)共线。（√）4.若直线\(l\)垂直于平面\(\alpha\)内的无数条直线，则\(l\perp\alpha\)。（×）5.数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n=n^2+1\)，则\(a_n=2n-1\)。（×）6.函数\(y=\log_2(x^2+1)\)的值域是\([0,+\infty)\)。（√）7.椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的离心率\(e=\frac{c}{a}\)，其中\(c^2=a^2-b^2\)。（√）8.若\(a\)，\(b\)，\(c\)成等比数列，则\(b^2=ac\)。（√）9.函数\(y=2^x\)与函数\(y=\log_2x\)的图象关于直线\(y=x\)对称。（√）10.若\(x>0\)，\(y>0\)且\(x+y=1\)，则\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值是\(4\)。（√）四、简答题1.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，\(a_3=5\)，\(S_6=36\)。求数列\(\{a_n\}\)的通项公式。答案：设等差数列\(\{a_n\}\)的公差为\(d\)。由\(a_3=5\)可得\(a_1+2d=5\)；由\(S_6=36\)可得\(6a_1+\frac{6\times5}{2}d=36\)，即\(6a_1+15d=36\)。将\(a_1=5-2d\)代入\(6a_1+15d=36\)，得\(6(5-2d)+15d=36\)，解得\(d=2\)，则\(a_1=1\)。所以\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。2.已知函数\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})+\sin(2x-\frac{\pi}{3})+2\cos^2x-1\)，求函数\(f(x)\)的最小正周期和单调递增区间。答案：化简\(f(x)\)，\(\sin(2x+\frac{\pi}{3})+\sin(2x-\frac{\pi}{3})=2\sin2x\cos\frac{\pi}{3}=\sin2x\)，\(2\cos^2x-1=\cos2x\)，所以\(f(x)=\sin2x+\cos2x=\sqrt{2}\sin(2x+\frac{\pi}{4})\)。最小正周期\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。由\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq2x+\frac{\pi}{4}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}(k\inZ)\)，得\(k\pi-\frac{3\pi}{8}\leqx\leqk\pi+\frac{\pi}{8}(k\inZ)\)，即单调递增区间是\([k\pi-\frac{3\pi}{8},k\pi+\frac{\pi}{8}](k\inZ)\)。3.已知抛物线\(y^2=2px(p>0)\)的焦点为\(F\)，过\(F\)的直线\(l\)交抛物线于\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)两点。若\(x_1+x_2=3p\)，求\(|AB|\)的值。答案：由抛物线定义知，抛物线上点到焦点距离等于到准线距离。抛物线\(y^2=2px(p>0)\)准线方程为\(x=-\frac{p}{2}\)。则\(|AF|=x_1+\frac{p}{2}\)，\(|BF|=x_2+\frac{p