2025年全国1卷数学试卷及答案

2025年全国1卷数学试卷及答案

一、单项选择题1.已知集合\(A=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x|0<x<5,x\inN\}\)，则\(A\cupB\)等于（）A.\(\{1,2\}\)B.\(\{1,2,3,4\}\)C.\(\{0,1,2,3,4\}\)D.\(\{1,2,4\}\)答案：B2.已知复数\(z=\frac{1+2i}{1-i}\)，则\(z\)的虚部为（）A.\(\frac{3}{2}\)B.\(\frac{3}{2}i\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{1}{2}i\)答案：A3.函数\(f(x)=\ln(x+1)-\frac{2}{x}\)的零点所在的大致区间是（）A.\((0,1)\)B.\((1,2)\)C.\((2,e)\)D.\((3,4)\)答案：B4.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,m)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,-2)\)，且\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\perp\overrightarrow{b}\)，则\(m\)等于（）A.-8B.-6C.6D.8答案：D5.等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(a_3+a_5+a_7=15\)，则\(S_9\)的值为（）A.60B.45C.36D.27答案：B6.已知直线\(l\)过点\((1,0)\)且垂直于\(x\)轴，若\(l\)被抛物线\(y^2=4ax\)截得的线段长为\(4\)，则抛物线的焦点坐标为（）A.\((1,0)\)B.\((2,0)\)C.\((0,1)\)D.\((0,2)\)答案：A7.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，则\(\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})\)等于（）A.\(\frac{1}{7}\)B.7C.-\(\frac{1}{7}\)D.-7答案：C8.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为\(2\)，则球的表面积是（）A.\(8\pi\)B.\(12\pi\)C.\(16\pi\)D.\(20\pi\)答案：B9.函数\(y=A\sin(\omegax+\varphi)(A>0,\omega>0)\)的部分图象如图所示，则（）A.\(A=2,\omega=\frac{\pi}{3},\varphi=\frac{\pi}{6}\)B.\(A=2,\omega=\frac{\pi}{3},\varphi=-\frac{\pi}{6}\)C.\(A=2,\omega=\frac{\pi}{6},\varphi=\frac{\pi}{6}\)D.\(A=2,\omega=\frac{\pi}{6},\varphi=-\frac{\pi}{6}\)答案：B10.已知\(f(x)\)是定义在\(R\)上的偶函数，且在\([0,+\infty)\)上单调递增，则满足\(f(x-1)<f(3)\)的\(x\)的取值范围是（）A.\((-2,4)\)B.\((-1,4)\)C.\((-3,3)\)D.\((-3,4)\)答案：A二、多项选择题1.下列说法正确的是（）A.若\(a>b\)，则\(ac^2>bc^2\)B.若\(a<b<0\)，则\(a^2>ab>b^2\)C.若\(a>b\)，\(c<d\)，则\(a-c>b-d\)D.若\(a>b\)，\(c>d\)，则\(ac>bd\)答案：BC2.已知函数\(f(x)=\sinx\cosx\)，则（）A.\(f(x)\)的最小正周期为\(\pi\)B.\(f(x)\)的图象关于直线\(x=\frac{\pi}{4}\)对称C.\(f(x)\)的图象关于点\((\frac{\pi}{2},0)\)对称D.\(f(x)\)在区间\((0,\frac{\pi}{2})\)上单调递增答案：AB3.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)为三条不同的直线，\(\alpha\)，\(\beta\)为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若\(a\parallelb\)，\(b\subset\alpha\)，则\(a\parallel\alpha\)B.若\(a\subset\alpha\)，\(b\subset\alpha\)，\(a\parallel\beta\)，\(b\parallel\beta\)，则\(\alpha\parallel\beta\)C.若\(a\perp\alpha\)，\(a\parallelb\)，则\(b\perp\alpha\)D.若\(\alpha\perp\beta\)，\(\alpha\cap\beta=a\)，\(b\subset\beta\)，\(b\perpa\)，则\(b\perp\alpha\)答案：CD4.已知圆\(C\)：\((x-1)^2+(y-2)^2=25\)，直线\(l\)：\((2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0\)，则（）A.直线\(l\)恒过定点\((3,1)\)B.直线\(l\)与圆\(C\)可能相离C.直线\(l\)被圆\(C\)截得的弦长最短时，直线\(l\)的方程为\(2x-y-5=0\)D.直线\(l\)被圆\(C\)截得的弦长最短时，直线\(l\)的方程为\(x+2y-5=0\)答案：AC5.已知函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，当\(x\geqslant0\)时，\(f(x)=x^2-2x\)，则（）A.\(f(-1)=1\)B.当\(x<0\)时，\(f(x)=-x^2-2x\)C.函数\(f(x)\)有两个零点D.函数\(f(x)\)在\([-1,1]\)上单调递减答案：ABD6.已知椭圆\(C\)：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的左、右焦点分别为\(F_1,F_2\)，离心率为\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)，过\(F_2\)的直线\(l\)交椭圆\(C\)于\(A,B\)两点，若\(\triangleAF_1B\)的周长为\(4\sqrt{3}\)，则下列说法正确的是（）A.椭圆\(C\)的方程为\(\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\)B.椭圆\(C\)的焦距为\(2\)C.直线\(l\)斜率为\(1\)时，弦\(AB\)的长为\(\frac{4\sqrt{3}}{3}\)D.点\(A\)到直线\(x+y-4=0\)的距离的最大值为\(\frac{5\sqrt{2}}{2}\)答案：ACD7.已知\(a\)，\(b\)均为正数，且\(a+b=1\)，则（）A.\(a^2+b^2\geqslant\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant4\)C.\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\leqslant\sqrt{2}\)D.\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geqslant8\)答案：ABCD8.已知函数\(f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-3x+1\)，则（）A.函数\(f(x)\)在\(x=-1\)处取得极大值\(\frac{8}{3}\)B.函数\(f(x)\)在\(x=3\)处取得极小值\(-8\)C.函数\(f(x)\)的单调递增区间为\((-\infty,-1)\)和\((3,+\infty)\)D.函数\(f(x)\)的单调递减区间为\((-1,3)\)答案：ABCD9.已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且\(S_n=2a_n-1\)，则（）A.\(a_1=1\)B.\(a_n=2^{n-1}\)C.\(S_n=2^n-1\)D.\(\{a_n\}\)是等比数列答案：ABCD10.已知函数\(y=f(x)\)的图象关于直线\(x=1\)对称，且在\((1,+\infty)\)上单调递增，设\(a=f(-\frac{1}{2})\)，\(b=f(2)\)，\(c=f(3)\)，则（）A.\(a<b<c\)B.\(b<a<c\)C.\(b<c<a\)D.\(c<b<a\)答案：B三、判断题1.若\(y=\sqrt{x}\)，则\(y^\prime=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)。（）答案：对2.若\(a\)，\(b\)，\(c\)成等比数列，则\(b^2=ac\)。（）答案：对3.空间中，垂直于同一条直线的两条直线一定平行。（）答案：错4.若\(x>0\)，\(y>0\)，且\(x+y=1\)，则\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geqslant4\)。（）答案：对5.函数\(y=\sinx\)的图象向左平移\(\frac{\pi}{2}\)个单位长度后得到\(y=\cosx\)的图象。（）答案：对6.若\(A\)，\(B\)为互斥事件，则\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)。（）答案：对7.已知直线\(l_1\)：\(A_1x+B_1y+C_1=0\)，\(l_2\)：\(A_2x+B_2y+C_2=0\)，若\(A_1A_2+B_1B_2=0\)，则\(l_1\perpl_2\)。（）答案：对8.若\(a>b>0\)，则\(\frac{b}{a}<\frac{b+1}{a+1}\)。（）答案：对9.双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)。（）答案：对10.若\(f(x)\)是奇函数，且\(f(x)\)在\(x=0\)处有定义，则\(f(0)=0\)。（）答案：对四、简答题1.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，\(a_3=5\)，\(S_6=36\)。求数列\(\{a_n\}\)的通项公式。答案：设等差数列\(\{a_n\}\)的公差为\(d\)。由\(a_3=5\)可得\(a_1+2d=5\)；由\(S_6=36\)，根据等差数列求和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}\)，可得\(6a_1+\frac{6\times5d}{2}=36\)，即\(6a_1+15d=36\)。联立方程组求解得\(a_1=1\)，\(d=2\)。所以\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。2.已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+2\)。求函数\(f(x)\)的单调区间。答案：对\(f(x)=x^3-3x^2+2\)求导，得\(f^\prime(x)=3x^2-6x\)。令\(f^\prime(x)=0\)，即\(3x^2-6x=0\)，因式分解得\(3x(x-2)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。当\(x<0\)或\(x>2\)时，\(f^\prime(x)>0\)，函数\(f(x)\)单调递增；当\(0<x<2\)时，\(f^\prime(x)<0\)，函数\(f(x)\)单调递减。所以\(f(x)\)的单调递增区间为\((-\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)，单调递减区间为\((0,2)\)。3.已知圆\(C\)的圆心在直线\(y=x\)上，且与\(x\)轴相切于点\((1,0)\)。求圆\(C\)的