数理统计题库及答案

数理统计题库及答案

一、单项选择题1.设总体\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的样本，则样本均值\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)服从的分布是（）A.\(N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})\)B.\(N(\mu,\sigma^{2})\)C.\(N(0,1)\)D.\(N(n\mu,n\sigma^{2})\)答案：A2.设\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的样本，且\(E(X)=\mu\)，\(D(X)=\sigma^{2}\)，则样本方差\(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)是（）A.\(\mu\)的无偏估计量B.\(\sigma^{2}\)的无偏估计量C.\(\mu\)的有偏估计量D.\(\sigma^{2}\)的有偏估计量答案：B3.设总体\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(\sigma^{2}\)已知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的样本，\(\overline{X}\)为样本均值，则\(\mu\)的置信水平为\(1-\alpha\)的置信区间为（）A.\((\overline{X}-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)B.\((\overline{X}-t_{\alpha/2}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\alpha/2}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)C.\((\overline{X}-z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)D.\((\overline{X}-t_{\alpha}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\alpha}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)答案：A4.在假设检验中，原假设\(H_0\)，备择假设\(H_1\)，则称（）为犯第一类错误。A.\(H_0\)为真，接受\(H_0\)B.\(H_0\)为真，拒绝\(H_0\)C.\(H_0\)不真，接受\(H_0\)D.\(H_0\)不真，拒绝\(H_0\)答案：B5.设总体\(X\)的概率密度函数为\(f(x;\theta)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的样本，\(\theta\)是未知参数，若统计量\(\hat{\theta}(X_1,X_2,\cdots,X_n)\)满足\(E(\hat{\theta})=\theta\)，则称\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的（）A.有效估计量B.一致估计量C.无偏估计量D.最大似然估计量答案：C6.设总体\(X\simB(1,p)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的样本，则\(p\)的矩估计量为（）A.\(\overline{X}\)B.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2\)C.\(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i\)D.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)答案：A7.设\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的样本，总体\(X\)的分布函数为\(F(x)\)，经验分布函数为\(F_n(x)\)，则对于任意实数\(x\)，\(F_n(x)\)依概率收敛于（）A.\(F(x)\)B.\(0\)C.\(1\)D.无法确定答案：A8.设总体\(X\simN(\mu_1,\sigma_1^{2})\)，\(Y\simN(\mu_2,\sigma_2^{2})\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_{n_1}\)是来自总体\(X\)的样本，\(Y_1,Y_2,\cdots,Y_{n_2}\)是来自总体\(Y\)的样本，且两样本相互独立，\(\overline{X}\)，\(\overline{Y}\)分别为两样本均值，\(S_1^{2}\)，\(S_2^{2}\)分别为两样本方差，则检验假设\(H_0:\sigma_1^{2}=\sigma_2^{2}\)所使用的统计量是（）A.\(F=\frac{S_1^{2}}{S_2^{2}}\)B.\(F=\frac{S_2^{2}}{S_1^{2}}\)C.\(t=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{S_1^{2}}{n_1}+\frac{S_2^{2}}{n_2}}}\)D.\(z=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^{2}}{n_1}+\frac{\sigma_2^{2}}{n_2}}}\)答案：A9.设总体\(X\)的均值\(\mu\)与方差\(\sigma^{2}\)都存在，且均为未知参数，而\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是该总体的一个样本，记\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)，则总体方差\(\sigma^{2}\)的矩估计量是（）A.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)B.\(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)C.\(\overline{X}^2\)D.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2\)答案：A10.设\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的样本，总体\(X\)服从指数分布\(E(\lambda)\)，其概率密度函数为\(f(x)=\lambdae^{-\lambdax},x\gt0\)，\(\lambda\gt0\)，则\(\lambda\)的最大似然估计量为（）A.\(\frac{1}{\overline{X}}\)B.\(\overline{X}\)C.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)D.\(\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}X_i}\)答案：D二、多项选择题1.设总体\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的样本，则以下哪些是统计量（）A.\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)B.\(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)C.\(\sum_{i=1}^{n}\frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^{2}}\)D.\(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\)答案：AB2.以下关于点估计和区间估计的说法正确的是（）A.点估计是用一个数值去估计未知参数B.区间估计是给出未知参数的一个取值范围C.点估计不考虑估计的误差D.区间估计能给出估计的精度和可靠性答案：ABCD3.设总体\(X\)的均值\(\mu\)未知，方差\(\sigma^{2}\)已知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的样本，以下哪些可以作为\(\mu\)的估计量（）A.\(\overline{X}\)B.\(X_1\)C.\(\frac{1}{2}(X_1+X_2)\)D.\(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i\)答案：ABC4.在假设检验中，与犯第一类错误的概率\(\alpha\)和犯第二类错误的概率\(\beta\)有关的说法正确的是（）A.\(\alpha\)增大，\(\beta\)可能减小B.\(\alpha\)减小，\(\beta\)可能增大C.在样本容量\(n\)固定时，同时减小\(\alpha\)和\(\beta\)是不可能的D.增大样本容量\(n\)可以同时减小\(\alpha\)和\(\beta\)答案：ABCD5.设总体\(X\)服从正态分布\(N(\mu,\sigma^{2})\)，对总体均值\(\mu\)进行假设检验，当（）时，采用\(t\)检验法。A.\(\sigma^{2}\)已知，检验\(H_0:\mu=\mu_0\)B.\(\sigma^{2}\)未知，检验\(H_0:\mu=\mu_0\)C.大样本情况下，\(\sigma^{2}\)已知，检验\(H_0:\mu=\mu_0\)D.大样本情况下，\(\sigma^{2}\)未知，检验\(H_0:\mu=\mu_0\)答案：BD6.以下哪些分布是数理统计中常用的分布（）A.正态分布B.\(t\)分布C.\(\chi^{2}\)分布D.\(F\)分布答案：ABCD7.设总体\(X\)的概率密度函数\(f(x;\theta)\)依赖于未知参数\(\theta\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的样本，\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的估计量，以下哪些是评价估计量好坏的标准（）A.无偏性B.有效性C.一致性D.充分性答案：ABC8.设总体\(X\simN(\mu_1,\sigma_1^{2})\)，\(Y\simN(\mu_2,\sigma_2^{2})\)，两样本\(X_1,X_2,\cdots,X_{n_1}\)和\(Y_1,Y_2,\cdots,Y_{n_2}\)相互独立，以下哪些统计量可用于比较两总体均值和方差（）A.\(t=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{S_1^{2}}{n_1}+\frac{S_2^{2}}{n_2}}}\)（在一定条件下用于均值比较）B.\(F=\frac{S_1^{2}}{S_2^{2}}\)（用于方差比较）C.\(z=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^{2}}{n_1}+\frac{\sigma_2^{2}}{n_2}}}\)（\(\sigma_1^{2},\sigma_2^{2}\)已知时用于均值比较）D.\(\chi^{2}=\frac{(n_1-1)S_1^{2}}{\sigma_1^{2}}+\frac{(n_2-1)S_2^{2}}{\sigma_2^{2}}\)（用于某种综合比较）答案：ABC9.设总体\(X\)的分布函数\(F(x;\theta)\)含有未知参数\(\theta\)，为了估计\(\theta\)，可以采用的方法有（）A.矩估计法B.最大似然估计法C.区间估计法D.顺序统计量法答案：AB10.以下关于样本均值\(\overline{X}\)和样本方差\(S^{2}\)的性质正确的是（）A.\(E(\overline{X})=E(X)\)B.\(D(\overline{X})=\frac{D(X)}{n}\)C.\(E(S^{2})=D(X)\)D.\(\overline{X}\)与\(S^{2}\)相互独立（当总体服从正态分布时）答案：ABCD三、判断题1.样本均值\(\overline{X}\)是总体均值\(\mu\)的无偏估计量。（√）2.样本方差\(S^{2}\)是总体方差\(\sigma^{2}\)的有偏估计量。（×）3.在假设检验中，犯第一类错误的概率和犯第二类错误的概率之和为1。（×）4.若\(\hat{\theta}_1\)和\(\hat{\theta}_2\)都是\(\theta\)的无偏估计量，且\(D(\hat{\theta}_1)\ltD(\hat{\theta}_2)\)，则\(\hat{\theta}_1\)比\(\hat{\theta}_2\)更有效。（√）5.总体\(X\)的经验分布函数\(F_n(x)\)依概率收敛于总体分布函数\(F(x)\)。（√）6.对于正态总体\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(\sigma^{2}\)未知时，对\(\mu\)进行区间估计使用的是\(z\)分布。（×）7.最大似然估计一定是无偏估计。（×）8.设\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的样本，若\(T(X_1,X_2,\cdots,X_n)\)是统计量，则\(T\)中不含有任何未知参数。（√）9.在方差分析中，组间平方和与组内平方和的比值服从\(F\)分布。（√）10.若总体\(X\)服从均匀分布\(U(a,b)\)，则\(a\)和\(b\)的矩估计量是唯一的。（√）四、简答题1.简述矩估计法的基本