（人教A版）选择性必修一高二数学上册同步讲义+达标检测3.3.1 抛物线及其标准方程（解析版）

第第页3．3.1抛物线及其标准方程知识点一抛物线的定义1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．2．焦点：定点F.3．准线：定直线l.知识点二抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))x＝eq\f(p,2)x2＝2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))y＝eq\f(p,2)【题型目录】题型一、抛物线的定义命题点1抛物线定义的理解命题点2利用抛物线定义求动点轨迹命题点3抛物线上的点到定点的距离及最值命题点4抛物线上的点到定点和焦点的距离和、差最值题型二、求抛物线的标准方程命题点1根据焦点或准线写出抛物线的标准方程命题点2根据定义求抛物线的标准方程命题点3根据抛物线上的点求标准方程题型一、抛物线的定义命题点1抛物线定义的理解1．已知抛物线的焦点为，若抛物线上的点与点间的距离为3，则（

）.A． B． C．或 D．4或【答案】C【分析】结合抛物线的定义求得正确答案.【详解】抛物线开口向左，依题意，抛物线上的点与点间的距离为3，所以，抛物线方程为，令，得，解得，故选：C2．若曲线上一点P到焦点的距离为4，则点P到y轴的距离为______.【答案】3【分析】根据抛物线定义，可得点P到抛物线准线的距离，进而即得.【详解】因为点P到焦点的距离为4，所以点P到抛物线准线的距离为4，所以点P到y轴的距离为3.故答案为：3.3．已知抛物线的焦点为F，点A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线C上，若，则__________.【答案】【分析】由抛物线的性质以及三角形中几何关系，利用正弦定理即可求解.【详解】过作准线的垂线，垂足为，易知：，可得，如图所示：在中，可得，，由抛物线的性质可得，所以，在中，由正弦定理可得：，所以.故答案为：命题点2利用抛物线定义求动点轨迹4．在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据抛物线的定义判断轨迹，再由抛物线焦点、准线得到方程即可.【详解】由题意知动点到直线的距离与定点的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以，轨迹方程为，故选：D5．已知圆C经过点，且与直线相切，则其圆心到直线距离的最小值为（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】利用已知可推出圆心C的轨迹为抛物线，利用抛物线的几何性质求解即可.【详解】解：依题意，设圆C的圆心，动点C到点P的距离等于到直线的距离，根据抛物线的定义可得圆心C的轨迹方程为，设圆心C到直线距离为d，，当时，，故选：D．6．若点满足方程，则点P的轨迹是______．【答案】抛物线【分析】根据轨迹方程所代表的意义判断点的轨迹满足曲线的定义.【详解】由得，等式左边表示点和点的距离，等式的右边表示点到直线的距离.整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等，其轨迹为抛物线.故答案为：抛物线命题点3抛物线上的点到定点的距离及最值7．已知函数的图象上一点，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】函数转化为，，作出图像，利用抛物线的定义可得，由此能求出的最小值．【详解】函数转化为，，又，，如图所示，为抛物线的焦点坐标，过作准线，交准线于点，交抛物线于点，此时由抛物线的定义可得，当点不在此位置时，由三角形两边之和大于第三边可得，即，所以的最小值为．故选：C．8．已知为抛物线C：上一动点，过C的焦点F作：的切线，切点为A，则线段FA长度的最小值为（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】由切线长公式得切线长，再由抛物线的性质可得最小值．【详解】由已知，由切线长公式得，，所以．故选：B．9．已知抛物线，为该抛物线上一点，B为圆上的一个动点，则的最小值为___________.【答案】3【分析】确定圆心坐标以及抛物线的焦点和准线，结合图形的结合性质可得，结合抛物线定义可得，即可得的最小值.【详解】由题意得：,抛物线焦点为，准线为，则,当A,F,C三点共线时取等号，而，故的最小值为，故答案为：3命题点4抛物线上的点到定点和焦点的距离和、差最值10．已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，此时最小，再根据点到直线距离公式即可求解.【详解】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，如下图所示，此时最小，为点到直线的距离.，则．故选：B．【点睛】抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．11．已知抛物线的焦点为，定点，点为抛物线上一点，则的最小值为（

）A．8 B． C．6 D．【答案】A【分析】由抛物线的几何性质知：，由图知为的最小值，求长度即可【详解】点是抛物线的焦点，其准线方程为，作于，作于，∴，当且仅当为与抛物线的交点时取得等号，∴的最小值为.故选：A12．（多选）已知A（a，0），M（3，-2），点P在抛物线上，则（

）A．当时，最小值为1B．当时，的最小值为3C．当时，的最小值为4D．当时，的最大值为2【答案】ACD【分析】当时，得到为抛物线焦点，利用焦半径求出，从而判断A选项；作辅助线，得到当N，P，M三点共线时，取得最小值，求出最小值，判断C选项；延长AM交抛物线于点，此时为的最大值，求出最大值，判断D选项；当时，利用两点间距离公式和配方求出最小值，判断B选项.【详解】当时，为抛物线的焦点，设，则，故的最小值为1，A正确；设抛物线的准线为，过点P作PN⊥l于点N，此时，故当N，P，M三点共线时，取得最小值，此时，C正确；当时，，连接AM，并延长AM交抛物线于点，此时为的最大值，当在其他位置时，根据三角形两边之差小于第三边，可知均小于，因为，故D正确；此时当时，，B错误.故选：ACD13．如图所示，已知P为抛物线上的一个动点，点，F为抛物线C的焦点，若的最小值为3，则抛物线C的标准方程为______.【答案】【分析】根据定义将转化为点P到点Q和准线的距离之和，由最小值为3可得p，然后可得抛物线标准方程.【详解】过点P、Q分别作准线的垂线，垂直分别为M、N，由抛物线定义可知，当P，M，Q三点共线时等号成立所以，解得所以抛物线C的标准方程为.故答案为：14．若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为________.【答案】【分析】作出图象，结合题意可知A，P及P到准线的垂足三点共线时，所求距离之和最小，此时P点的纵坐标为1，代入抛物线即可求得P点的坐标.【详解】根据题意，由y2＝－4x得p＝2，焦点坐标为(－1，0)，作出图象，如图，.因为等于到准线的距离，所以，可知当A，P及P到准线的垂足三点共线时，点P与点F、点P与点A的距离之和最小，此时点P的纵坐标为1，将y＝1代入抛物线方程求得，所以点P的坐标为.故答案为：.15．设是抛物线上的一个动点，点是焦点．(1)求点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值；(2)若，求的最小值．【答案】(1)；(2)4【分析】（1）利用抛物线定义将问题转化为求抛物线上一点到点的距离与其到点的距离之和的最小值，连接交抛物线于点，即可求得答案；（2）作垂直准线于点，交抛物线于点，连接，利用抛物线定义将转化为,即可求得答案.【详解】（1）抛物线的焦点为，准线是．由抛物线的定义，知点到直线的距离等于点到焦点的距离，所以问题转化为求抛物线上一点到点的距离与其到点的距离之和的最小值，如图，当A，，共线时上述距离之和最小，连接交抛物线于点，此时所求的最小值为．（2）由题意，可知，故点B在抛物线内部（焦点所在一侧），如图，作垂直准线于点，交抛物线于点，连接，此时,当点与点重合时，的值最小，此时，即的最小值为4．题型二、求抛物线的标准方程命题点1根据焦点或准线写出抛物线的标准方程16．以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根据抛物线的概念以及几何性质即可求抛物线的标准方程.【详解】依题意设抛物线方程为．因为焦点到准线的距离为4，所以，所以，所以抛物线方程为或．故选：C．17．焦点在x－y－1＝0上的抛物线的标准方程是______．【答案】或【分析】先根据抛物线是标准方程可确定焦点的位置，再由直线与坐标轴的交点可得到焦点坐标可得到标准方程．【详解】因为抛物线焦点坐标即为直线与坐标轴的交点,所以其焦点坐标为和，当焦点为时，设抛物线标准方程为，可知，所以其方程为，当焦点为时，设抛物线标准方程为,可知其方程中的，所以其方程为，故答案为：或．18．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为_____【答案】【分析】先求出双曲线的半焦距c，进而得到实数的值.【详解】解：由得双曲线，则，所以，抛物线的焦点为，，，故答案为：4.19．已知抛物线的准线方程为，点是抛物线的焦点.(1)求抛物线的方程；(2)斜率为的直线过点，且与交于，两点，求线段的长.【答案】(1)；(2)10【分析】（1）由准线方程的公式可求得，从而写出抛物线的方程（2）写出直线方程，与抛物线联立，根据焦点弦的计算方法求出线段的长【详解】(1)由准线方程可得，即，所以抛物线的方程为(2)由题得：直线的方程为，设，，联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，所以，由抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以弦长命题点2根据定义求抛物线的标准方程20．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则此抛物线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】作，，根据抛物线定义和长度关系可得，由可构造方程求得，根据比例关系可求得，即的值，由此可得结果.【详解】作，，垂足分别为，设与轴交于点，由抛物线定义知：，，设，则，，，则，，又，，，，，即，抛物线方程为：.故选：C.21．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，到准线的距离为，且，则抛物线的方程为____________.【答案】【分析】根据抛物线的几何意义结合三角形种的关系求解即可【详解】依题意可得，所以抛物线的方程为.故答案为：22．设抛物线的焦点为F，准线为l，过第一象限内的抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设与相交于点D．若，且的面积为，则直线的斜率________，抛物线的方程为________．【答案】

【分析】由抛物线定义可得四边形为平行四边形，故可得点即得抛物线方程.【详解】解：如图所示，，．所以．轴，，，所以四边形为平行四边形，，．，解得，代入可取，，解得．故答案为：；23．已知曲线上任一点与点的距离与它到直线的距离相等.(1)求曲线的方程；(2)求过定点，且与曲线只有一个公共点的直线的方程.【答案】(1)；(2)或或【分析】（1）根据抛物线的定义可得曲线方程；（2）分类讨论：斜率为0，即与抛物线的对称轴平行；斜率不存在与抛物线相切，斜率存在且与抛物线相切（应用判别式为0），分别求解可得．【详解】（1）设的坐标，由抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线，且焦点在轴上，焦点坐标，所以的轨迹方程为.故曲线C的方程为：（2）当直线过点，且斜率为0时，即直线与拋物线的对称轴平行时，直线与曲线有一个公共点，此时直线的方程为；当过的直线的斜率不存在时，即直线的方程为，显然与拋物线相切；当过的直线斜率存在时，设直线的方程为，联立，整理可得，则，即，解得，此时直线的方程为，综上所述，满足条件的直线的方程为或或.命题点3根据抛物线上的点求标准方程24．若点是抛物线上一点，点到该抛物线焦点的距离为6，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】先由点在抛物线上得，再结合抛物线的定义及到抛物线焦点的距离即可解出.【详解】由题意知：，解得，抛物线的准线为，由抛物线的定义知，点到该抛物线焦点的距离为，解得.故选：D.25．顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点的抛物线方程为________.【答案】【分析】设抛物线方程为，代入点求出即可得抛物线方程.【详解】依题意，设抛物线方程为，于是得，解得，所以所求抛物线方程是.故答案为:.26．如图抛物线型拱桥，当拱桥的顶点距离水面3米时，水面宽12米，则水面上升1米后，水面宽度为___________米.【答案】【分析】先根据抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，根据条件得抛物线上一点得坐标，代入后可得抛物线得方程，再令对应得y值可得上升水面后得横坐标得值，即得解.【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为，将A（6，-3）代入，得，∴，代入B得，故水面宽为米，故答案为：．27．已知抛物线C：，经过点．(1)求抛物线C的方程及准线方程；(2)设O为原点，直线与抛物线相交于A，B两点，求证：OA⊥OB．【答案】(1)，；(2)证明见解析【分析】（1）把点代入抛物线方程即可求解；（2）设，，联立，利用根于系数的关系，由平面向量的数量积证明，即可得证【详解】（1）因为点在抛物线上，所以，解得，故抛物线的方程为，准线方程为；（2）设，联立得，，因为所以所以28．如图，是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口圆的直径为12m，镜深2m．(1)建立适当的坐标系，求抛物线的焦点位置；(2)若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求容器的每根铁筋的长度．【答案】(1)；(2)6.5m【分析】（1）如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径，则可求得点的坐标，设抛物线方程为，然后将点的坐标代入，可求出，从而可求出焦点坐标，（2）根据抛物线的定义求解.【详解】（1）如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径．由已知，得A点坐标是，设抛物线方程为，则，解得p＝9，则抛物线的标准方程是，焦点坐标是，所以焦点在经过抛物面顶点且与镜口圆面垂直的直线上，距顶点4.5m的抛物面内部，（2）因为盛水的容器在焦点处，所以A、F两点间的距离即为每根铁筋长，所以每根铁筋长为米.1．在平面上，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1，则动点的轨迹是（

）A．抛物线 B．直线C．抛物线或直线 D．以上结论均不正确【答案】C【分析】根据题意，分定点不在定直线上和定点在定直线上，两种情况分类讨论，结合抛物线的定义，即可求解.【详解】由题意，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1，可得该动点到定点和定直线距离相等，当定点不在定直线上时，动点的轨迹是抛物线；当定点在定直线上时，动点的轨迹是经过该定点且垂直于定直线的直线；故选C．2．抛物线的焦点到准线的距离为（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】C【分析】利用抛物线的标准方程可得，由焦点到准线的距离为，从而得到结果.【详解】抛物线的焦点到准线的距离为，由抛物线标准方程可得，故选：C.3．已知抛物线的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且若，则（

）A．2 B． C． D．4【答案】D【分析】根据抛物线的定义，结合图象求得.【详解】由抛物线的定义可知，为等边三角形，设准线l与x轴交于点H，则，，所以.故选：D4．已知圆C与过点且垂直于x轴的直线仅有1个公共点，且与圆外切，则点C的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据外切关系结合抛物线定义，分析得到的轨迹为抛物线，由此求解出抛物线的方程.【详解】由题意得，直线，且圆，设点到直线的距离为，则点到与点到的距离相等，都是，故点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，故方程为.故选：A.5．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据抛物线的性质进行求解即可.【详解】由可知该抛物线的焦点坐标为，设，准线方程为，设，垂足为，因为点是抛物线上一动点，所以点到抛物线准线的距离等于，当三点在同一条直线上时，点到点的距离与到抛物线准线的距离之和最小，最小值为，故选：D6．已知抛物线的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆上，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，再根据三点共线求最小距离.【详解】如图，过点向准线作垂线，垂足为，则，当垂直于抛物线的准线时，最小，此时线段与圆的交点为，因为准线方程为，，半径为，所以的最小值为.故选：C7．如图，正方形和正方形的边长分别为，（），原点为边的中点，抛物线经过，两点，则（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】由题意确定点C,F的坐标，代入抛物线方程，整理可得，即可求得答案.【详解】由题意，得点的坐标为，点的坐标为，∵，两点都在抛物线上，∴，即，即，解得或，又，∴,故选:A8．（多选）已知F是抛物线的焦点，P是抛物线上一动点，Q是上一动点，则下列说法正确的有（

）A．的最小值为1 B．的最小值为C．的最小值为4 D．的最小值为【答案】AC【分析】根据抛物线的性质判断A，根据圆的性质判断B，结合抛物线的定义判断C，D.【详解】抛物线焦点为，准线为，作出图象，对选项A：由抛物线的性质可知：的最小值为，选项A正确；对选项B：注意到F是定点，由圆的性质可知：的最小值为，选项B错误；对选项CD：过点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，由抛物线定义可知，故，的最小值为点Q到准线的距离，故最小值为4，从而选项C正确，选项D错误．故选：AC.9．已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，，则的最小值为___________.【答案】4【分析】利用抛物线的定义求解.【详解】解：如图所示：设点M在准线上的射影为D，由抛物线的定义知，∴要求的最小值，即求的最小值，当D，M，P三点共线时，最小，最小值为.故答案为：410．已知直线，抛物线C：上一动点P到直线l与到y轴距离之和的最小值为______，P到直线l距离的最小值为______．【答案】

1

【分析】将P到y轴距离转化为P到准线的距离减1，再由抛物线的定义转化为，再由点到直线的距离求解即可；先求出平行于直线l且与抛物线相切的直线方程，再由两平行线间的距离求解即可.【详解】设抛物线C：上的点P到直线的距离为，到准线的距离为，到y轴的距离为，由抛物线方程可得：焦点F的坐标为，准线方程为，则，，因此，因为的最小值是焦点F到直线的距离，即，所以的最小值为；设平行于直线l且与抛物线C：相切的直线方程为，由，得，因为直线与抛物线C：相切，所以，解得，因此该切线的方程为，所以两平行线间的距离为，即P到直线l距离的最小值为．故答案为：1；.11．已知抛物线的焦点是，是的准线上一点，线段与交于点，与轴交于点，且，（为原点），则的方程为___________.【答案】【分析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，结合图形，利用抛物线的定义和性质，根据直角三角形的边角关系求出的值，即可写出抛物线的标准方程.【详解】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义知，，又，所以，所以，所以.又，所以，所以，则，所以抛物线的方程为.故答案为：.12．已知动点是曲线上任一点，动点到点的距离和到直线的距离相等，求的方程，并说明是什么曲线；【答案】曲线的方程为，表示以为焦点，直线为准线的抛物线【分析】由抛物线的定义可得出曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，进而可求得曲线的方程；【详解】解：因为曲线上任意一点到点的距离和到直线的距离相等，满足抛物线定义，所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故曲线的方程为：.13．已知点，点Q在曲线上．(1)若点Q在第一象限内，且，求点Q的坐标；(2)求的最小值．【答案】(1)；；(2).【分析】设，则.(1)利用两点间的距离公式可得，联立，即可解得点Q的坐标；(2)，其中，从而可得，利用二次函数的单调性及可求得答案.【详解】（1）解：设，则，由已知条件得，将代入上式，并变形得，解得x＝0（舍去）或x＝2．当x＝2时，，只有x＝2，y＝2满足条件，所以；（2）解：，其中，所以，所以当x＝1时，．14．在两个条件①点；②点中任选一个，补充在下面的问题中．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在此抛物线上移动，求：(1)点P到点F与它到______的距离之和的最小值；(2)点P到点与它到准线l的距离之和的最小值；(3)点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值．【答案】(1)选①：4；选②：；(2)；(3)【分析】（1）（2）（3）数形结合，利用抛物线定义对所求距离之和进行转化为两点之间的距离，或点到直线的距离可得.【详解】(1)过点B、P分别作准线的垂线，垂足为E、D.选①：如图1由抛物线定义可得，所以点P到点F与它到B的距离之和的最小值为4.选②：由图2可知，所以点P到点F与它到B的距离之和的最小值为(2)如图2，由抛物线定义可得，点P到点与它到准线l的距离之和的最小值为.(3)记P到直线的距离为d，F到直线的距离为m.由图2结合抛物线定义可知，则.所以点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值为1．已知抛物线：上一点到其焦点的距离等于，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线距离，列方程求出的值.【详解】依题意可知，，故选：C2．已知点､，若过､两点的动抛物线的准线始终与圆相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是（

）A．椭圆 B．圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】A【分析】由抛物线的定义可转化等于A,B到准线距离的和，再由圆与准线相切及O是AB的中点，可得，再结合椭圆的定义即可得解.【详解】由题设知，抛物线焦点F到定点A和B的距离之和等于A和B分别到准线的距离和，等于的中点O到准线的距离的二倍，由抛物线准线与圆相切知和为，所以，所以抛物线焦点的轨迹方程C是以A和B为焦点的椭圆.故选：A3．抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，再由到其焦点的距离求得横坐标，进一步求得纵坐标，则答案可求.【详解】由题意知，焦点坐标为，准线方程为，由到焦点距离等于到准线距离，得，则，，可得，故选：A.4．已知过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，Q为AB的中点，P为C上一点，则的最小值为（

）A． B． C．8 D．5【答案】A【分析】根据给定条件，求出点Q的横坐标，再借助抛物线的定义求解作答.【详解】抛物线的焦点，准线，直线：，由消去y并整理得：，设，则，线段AB的中点Q的横坐标，过点Q作准线的垂线，垂足为D，交抛物线C于点P，连PF，如图，于是，在抛物线C上任取点，过作准线的垂线，垂足为，连，则有，当且仅当点与点P重合时取等号，所以的最小值为.故选：A5．已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据抛物线的定义即可求解.【详解】由抛物线的定义可知，，所以．故选：C.6．某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为图2所示的抛物线形，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点处，已知卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，卫星接收天线的轴截面的上、下顶点分别记为，，则由题意可得，代入抛物线方程求出，从而可求得焦点坐标，进而可求得答案【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，卫星接收天线的轴截面的上、下顶点分别记为，，设轴截面所在的抛物线的标准方程为，由已知条件，得点，所以，解得，所以所求焦点坐标为，因此卫星接收天线的轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为．故选：B7．（多选）设抛物线C：的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（

）A．准线l的方程是 B．的最大值为2C．的最小值为7 D．以线段为直径的圆与y轴相切【答案】AD【分析】根据抛物线方程求得直线方程，结合三角形的知识求得的最大值，结合抛物线的定义求得的最小值以及判断出以线段为直径的圆与y轴相切.【详解】由题意得，则焦点，准线l的方程是，故A正确；，当点M在线段的延长线上时等号成立，∴的最大值为，故B错误；如图所示，过点M，E分别作准线l的垂线，垂足分别为A，B，则，当点M在线段上时等号成立，∴的最小值为5，故C不正确；设点，线段的中点为D，则，∴以线段为直径的圆与y轴相切，D正确.故选：AD8．（多选）已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且的最小值为1，M是线段AB的中点，是平面内一定点，则（

）A．B．若，则M到x轴距离为3C．若，则D．的最小值为4【答案】ABD【分析】根据给定的条件，求出抛物线的方程，结合抛物线定义，逐项分析计算即可判断作答.【详解】抛物线上的点A到抛物线焦点F距离的最小值为1，则有，解得，A正确；抛物线的方程为，焦点，准线，设，对于B，点，由抛物线的定义知，，有，所以M到x轴距离，B正确；对于C，，由得：，即，又，即，则，解得，于是得，C不正确；对于D，抛物线中，当时，，因此点在抛物线上方，过点P作于，交抛物线于点Q，连QF，过A作于，连AF，AP，，如图，显然，当且仅当点A与Q重合时取等号，所以，D正确.故选：ABD9．从抛物线在第一象限内的一点引抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线的焦点为，则直线的斜率为___________.【答案】【分析】根据抛物线的性质，可得抛物线上的点到焦点的距离，结合题意，作图，构造直角三角形，利用勾股定理以及锐角三角函数，可得所求直线倾斜角的正切值，可得答案.【详解】由题意作图如下：则，，在中，，则，即，即直线的斜率为，故答案为：.10．已知动圆M与直线相切，且与定圆C：外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为_______.【答案】【分析】根据动圆与直线相切，且与定圆C：外切，可得动点到的距离与到直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程．【详解】解：方法一：由题意知，设，则，，解得.方法二：由题意知，动点M到的距离比到的距离多1，则动点M到的距离与到的距离相等，根据抛物线的定义，为准线，为焦点，设抛物线为，，，故.故答案为：.11．抛物线上任意一点P到点的距离最小值为___________.【答案】【分析】设（），则，将代入化简可求出其最小值【详解】设，则，因为，所以，当时取得最小值4，故答案为：412．已知为抛物线上的一个动点，为圆上的一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和的最小值是______.【答案】【分析】根据题意可得抛物线的焦点坐标、准线方程及圆的圆心坐标、半径，利用抛物线的定义可得点到抛物线准线的距离即为点到焦点的距离，进而得到动点位于线段上时距离最小，计算即可求解.【详解】解：由题可知，抛物线的准线方程为，焦点坐标为，圆的圆心坐标为，半径为，设点到抛物线准线的距离为