线代b题库及答案

线代b题库及答案一、单项选择题1.若矩阵\(A\)是\(n\)阶可逆矩阵，则\(A\)的行列式\(\vertA\vert\)（）A.等于\(0\)B.大于\(0\)C.小于\(0\)D.不等于\(0\)答案：D2.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶矩阵，且\(AB=O\)，则必有（）A.\(A=O\)或\(B=O\)B.\(A+B=O\)C.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)D.\(\vertA\vert+\vertB\vert=0\)答案：C3.向量组\(\alpha_1=(1,0,0)^T\)，\(\alpha_2=(0,1,0)^T\)，\(\alpha_3=(0,0,1)^T\)的秩为（）A.0B.1C.2D.3答案：D4.设\(A\)为\(m\timesn\)矩阵，齐次线性方程组\(Ax=0\)仅有零解的充分必要条件是\(A\)的（）A.列向量组线性无关B.列向量组线性相关C.行向量组线性无关D.行向量组线性相关答案：A5.设\(A\)为\(n\)阶矩阵，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，则下列结论中不正确的是（）A.若\(\lambda=0\)，则\(A\)不可逆B.若\(\lambda\neq0\)，则\(Ax=0\)有非零解C.\(A\)的行列式\(\vertA\vert=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n\)（\(\lambda_i\)为\(A\)的特征值）D.\(A\)的伴随矩阵\(A^*\)的特征值为\(\vertA\vert/\lambda\)答案：B6.设\(A\)为\(n\)阶实对称矩阵，则\(A\)必相似于（）A.对角矩阵B.实对称矩阵C.可逆矩阵D.正交矩阵答案：A7.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\)的正惯性指数为（）A.0B.1C.2D.3答案：D8.设\(A\)为\(n\)阶矩阵，\(P\)为\(n\)阶可逆矩阵，若\(P^{-1}AP=B\)，则\(A\)与\(B\)（）A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同且不相似答案：C9.已知向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性相关，\(\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)线性无关，则（）A.\(\alpha_1\)能由\(\alpha_2,\alpha_3\)线性表示B.\(\alpha_2\)能由\(\alpha_1,\alpha_3\)线性表示C.\(\alpha_3\)能由\(\alpha_1,\alpha_2\)线性表示D.\(\alpha_4\)能由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表示答案：A10.设\(A\)为\(n\)阶矩阵，\(\lambda_1,\lambda_2\)是\(A\)的两个不同的特征值，\(\xi_1,\xi_2\)是\(A\)的分别属于\(\lambda_1,\lambda_2\)的特征向量，则（）A.\(\xi_1+\xi_2\)是\(A\)的特征向量B.\(\xi_1-\xi_2\)是\(A\)的特征向量C.\(k_1\xi_1+k_2\xi_2\)（\(k_1,k_2\)不全为\(0\)）是\(A\)的特征向量D.\(\xi_1,\xi_2\)线性无关答案：D二、多项选择题1.下列矩阵中，是可逆矩阵的有（）A.单位矩阵B.对角矩阵（对角元素都不为\(0\)）C.上三角矩阵（主对角线下方元素都为\(0\)，且主对角线元素都不为\(0\)）D.下三角矩阵（主对角线上方元素都为\(0\)，且主对角线元素都不为\(0\)）答案：ABCD2.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶矩阵，下列结论正确的有（）A.若\(A\)，\(B\)可逆，则\(A+B\)可逆B.若\(A\)，\(B\)可逆，则\(AB\)可逆C.若\(AB\)可逆，则\(A\)，\(B\)可逆D.若\(A\)可逆，\(k\)为常数，则\(kA\)可逆答案：BD3.向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性相关的充分必要条件是（）A.存在不全为\(0\)的数\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)B.向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示C.向量组的秩小于\(s\)D.向量组中存在某个向量是其余向量的线性组合答案：ABCD4.设\(A\)为\(n\)阶矩阵，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，下列结论正确的有（）A.若\(\lambda=0\)，则\(A\)不可逆B.若\(\lambda\neq0\)，则\(Ax=0\)只有零解C.若\(\lambda\)是\(A\)的单特征值，则其对应的线性无关的特征向量只有一个D.若\(\lambda\)是\(A\)的重特征值，则其对应的线性无关的特征向量至少有一个答案：ACD5.下列二次型中，是正定二次型的有（）A.\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2\)B.\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-2x_2^2+3x_3^2\)C.\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2-3x_3^2\)D.\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3\)答案：AD三、判断题1.若矩阵\(A\)，\(B\)可逆，则\((AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}\)。（）答案：错误2.若向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性相关，则其中任意一个向量都可由其余向量线性表示。（）答案：错误3.若\(n\)阶矩阵\(A\)与\(B\)相似，则\(A\)与\(B\)有相同的特征值和特征向量。（）答案：错误4.二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx\)（\(A\)为实对称矩阵），当\(x\neq0\)时，\(f(x)\gt0\)，则\(f(x)\)是正定二次型。（）答案：错误5.若矩阵\(A\)的秩为\(r\)，则\(A\)中任意\(r+1\)阶子式都为\(0\)。（）答案：正确6.设\(A\)为\(n\)阶矩阵，若\(\vertA\vert=0\)，则\(A\)的列向量组线性相关。（）答案：正确7.若\(n\)阶矩阵\(A\)与\(B\)等价，则\(A\)与\(B\)有相同的秩。（）答案：正确8.若向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性无关，则其延伸组也线性无关。（）答案：正确9.若\(\lambda\)是矩阵\(A\)的特征值，则\(k\lambda\)是\(kA\)的特征值（\(k\)为常数）。（）答案：正确10.若矩阵\(A\)与\(B\)合同，则\(A\)与\(B\)有相同的正负惯性指数。（）答案：正确四、简答题1.简述矩阵可逆的充要条件。矩阵\(A\)可逆的充要条件是\(\vertA\vert\neq0\)，且\(A\)的伴随矩阵\(A^*\)存在，满足\(AA^*=A^*A=\vertA\vertE\)。2.如何求向量组的秩？通过将向量组构成矩阵，对矩阵进行初等行变换化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是向量组的秩。3.特征值和特征向量的定义是什么？设\(A\)是\(n\)阶矩阵，如果存在数\(\lambda\)和非零\(n\)维向量\(x\)，使得\(Ax=\lambdax\)，则称\(\lambda\)是矩阵\(A\)的特征值，\(x\)是\(A\)的属于特征值\(\lambda\)的特征向量。4.正定二次型的判定条件有哪些？正定二次型的判定条件有：一是二次型的标准形的\(n\)个系数都为正；二是矩阵\(A\)的各阶顺序主子式都为正。五、讨论题1.讨论矩阵乘法不满足交换律的原因。矩阵乘法不满足交换律主要是因为矩阵乘法的定义决定的。矩阵乘法是将前一个矩阵的行与后一个矩阵的列进行对应元素相乘再求和。不同的矩阵其元素的排列和结构不同，导致前一个矩阵乘以后一个矩阵的结果与后一个矩阵乘以前一个矩阵的结果可能不同。例如，一个\(m\timesn\)的矩阵与一个\(n\timesp\)的矩阵相乘才有意义，而交换顺序后可能不满足乘法的条件，即使满足条件，结果也可能不同。2.讨论向量组线性相关与线性无关的本质区别。向量组线性相关的本质是存在不全为\(0\)的数使得向量组的线性组合为零向量，这意味着向量组中至少有一个向量可以由其他向量线性表示，向量组的线性关系不独立。而线性无关则是只有当所有系数都为\(0\)时，线性组合才为零向量，向量组的线性关系是独立的，不存在某个向量可以由其他向量线性表示的情况。3.讨论相似矩阵和合同矩阵的异同。相似矩阵和合同矩阵的相同点是都反映了矩阵之间的一种等价关系。不同点在于：相似矩阵是指存在可逆矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP=B\)，相似矩阵具有相同的特征值；而合同矩阵是指存在可逆矩阵\(C\)，使得\(C^TAC=B\