2025年高三《第十二单元 计数原理》测试卷（含解析）

第=page33页，共=sectionpages1414页2025年高三《第十二单元计数原理》测试卷一、单选题1.在(1+33x)A.9 B.4 C.3 D.22.已知：(x-2)8=a0+A.56 B.-56 C.448 D.-4483.2025年1月7日9时5分，西藏自治区日喀则市定日县发生6.8级地震，现从各省共抽派7支抢险工作队前往5个灾区县救援，要求每个受灾县至少有一个工作队的方法种数共有(

)A.1800 B.16800 C.14280 D.252004.一只蚂蚁从点A出发沿着水平面的网格线爬行到点B，再由点B沿着长方体的棱爬行至顶点C处，则它可以爬行的不同最短路径条数有

A.40 B.60 C.80 D.1205.五一假期期间，某单位安排5人值5天班，每人值班一天，要求甲不值第一天，乙不值第五天，则不同安排方法的种数有(

)A.42 B.72 C.78 D.966.某小组5人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中抽取一张，则恰有1人抽到自己写的贺年卡的不同分配方式有(

)A.9种 B.11种 C.44种 D.45种7.现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球.若将这些小球排成一排，要求A球排在正中间，且D，E不相邻，则不同的排法有(

)A.8种 B.12种 C.16种 D.32种8.若320+a能被8整除，则a的值可能为(

)A.1 B.2 C.4 D.79.“杨辉三角”是中国古代数学家杨辉杰出的研究成果之一.如图，从杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，则在第10条斜线上，最大的数是(

)

A.35 B.25 C.21 D.2010.已知x+12x2n的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于A.212 B.6316 C.211611.已知fx是定义在R上的函数，且fx-f2-x=0,fA.22024 B.22023 C.21012二、多选题12.在(x22-A.常数项为154 B.各项系数和为-132

C.二项式系数和为64 D.13.在4张奖券中，一、二、三、四等奖各1张，将这4张奖券分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至多2张，则下列结论正确的是(

)A.若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有24种不同的获奖情况

B.若甲获得了一等奖和二等奖，则共有6种不同的获奖情况

C.若仅有两人获奖，则共有36种不同的获奖情况

D.若仅有三人获奖，则共有144种不同的获奖情况14.商场某区域的行走路线图可以抽象为一个2×2的正方体道路网(如图，图中线段均为可行走的通道)，甲、乙两人分别从A，B两点出发，随机地选择一条最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达B，A为止，下列说法正确的是(

)

A.甲从A必须经过C1到达B的方法数共有9种

B.甲从A到B的方法数共有180种

C.甲、乙两人在C2处相遇的概率为425

15.下列关于排列组合数的等式或说法正确的有(

)A.C33+C43+C53+⋅⋅⋅+C103=330

B.已知n>m，则等式Cnmm+116.已知(1-x)2025=aA.展开式的各二项式系数的和为0

B.a1+a2+⋯+a三、填空题17.在(1+x)3+(1+x)4+⋯+(1+x)1018.有3名司机，3名售票员要分配到3辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有

种(填数字)．19.在下图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有

种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是

．

20.已知x8=a0+四、解答题21.已知(x-1)(mx+1(1)若m=-1，求a1+(2)若a2=-70，求m22.学校食堂为学生配餐，现准备了6种不同的荤菜和n种不同的素菜．(1)当n=4时，若每份学生餐有1荤3素，则共有多少种不同的配餐供学生选择？(2)若每位学生可以任选2荤2素，要保证至少有200种以上的不同选择，求n的最小值．23.已知在2x-1xnn∈N*的展开式中，第(1)求展开式中的常数项，并指出是第几项；(2)求展开式中的所有有理项．24.从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛．(1)若男、女同学各2名，有多少种不同选法？(2)若男、女同学分别至少有1名，有多少种不同选法？

(3)在(2)的前提下，若男同学甲与女同学乙不能同时选出，有多少种不同选法？25.设数列{an}是等比数列，a1=C(1)求a1(2)用n，x表示数列{an}的通项an和前(3)若An=Cn1S1+C答案和解析1.【答案】C

【解析】(1+33x)8展开式的通项为Tr+1=C8r33x2.【答案】B

【解析】因为x-28=x-1-18，

其展开式的通项为Tr+1=C8rx-13.【答案】B

【解析】从各省共抽派7支抢险工作队前往5个灾区县救援，要求每个受灾县至少有一个工作队，

则可将7人分为1，1，1，1，3或1，1，1，2，2五组即可，

则不同的分组方法有C74+C72C52A22=35+105=140种，【解析】由题意，从A到B最短路径有C53=10(条)，

由点B沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点C，最短路径有A33=6(条)，

∴它可以爬行的不同的最短路径有10×6=60(条5.【答案】C

【解析】根据题意甲不值第一天，乙不值第五天，

若甲排在第五天，则其余4人进行全排列，有A44=24种排法，

若甲不排在第五天，则甲有3种排法，乙有3种排法，其余三人有A33=6种排法，

∴3×3×A36.【答案】D

【解析】由题意，恰有1人抽到自己写的贺年卡，即其他4人都取到不是自己写的贺年卡，

先分析其他4人都取到不是自己写的贺年的情况，

设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类：乙取a，则接下来丙、丁取法都是唯一的，乙取c或d(2种方式)，不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的根据加法原理和乘法原理，共有3×(1+2)=9种情况，

则恰有1人抽到自己写的贺年卡的不同分配方式有5×9=45种7.【答案】C

【解析】因为A球要排在正中间第三个位置，所以A球的位置是固定的，只有1种排法．剩下B、C，D、E进行全排列，排列数为A44=24种.但是这里多算了D当D、E相邻时，把D、E看成一个整体放在1，2位置或者4，5位置，

有A22×A22=2×2=4种排法，

B、C全排列有A2那么D、E不相邻的排法有24-8=16种.则满足题意的不同的排法有16种．故选：C．8.【答案】D

【解析】3==1+a+∵C101∴1+a也能被8整除，

∴a的值可能为7．

故选：D．9.【答案】C

【解析】找寻数字的排列规律，第1条斜线上的数是1，第2条斜线上的数是C10，第3条斜线上的数是C20，C11，第4条斜线上的数是C30，C21，第5条斜线上的数是C40，C31，C22，⋯，

第n条斜线上的数是Cn-10，Cn-21，Cn-32，Cn-43，⋯，

发现规律是从10.【答案】A

【解析】依题意，Cn2+Cnn-2=72则(x+12x由9-3k=0，解得k=3，所以该展开式中的常数项为(1故选：A．11.【答案】B

【解析】因为fx-f2-x=0，

即fx=f2-x又因为fx+f2+x=0，所以f2-x+f2+x所以f2+x=-f2-x=-fx，

所以f4+x=-f又因为f-1=1，

所以f0=0,f1所以∑1012k=1[(-1)k故选：B．12.【答案】AC

【解析】(x22-1x)6的展开式的通项Tk+1=C6k(x22)6-k·(-1x)k=(-1)k·(12)6-kC6kx12-3k，

13.【答案】ACD

【解析】若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有A44= 24种不同的获奖情况，A正确；

若甲获得了一等奖和二等奖，则其他三人有一人获得2个奖项或者有两人各获得1个奖项，

共有A31+A32=9种不同的获奖情况，B错误；

若仅有两人获奖，则有两人各获得2个奖项，

共有C42C22A22A14.【答案】ACD

【解析】对于A，结合题意可得，从点A到点C1，需要向上走2步，向前走1从点C1到点B，需要向右走2步，向前走1所以，甲从A必须经过C1到达B的方法数为C32对于B，从点A到点B，一共要走6步，其中向上2步，向前2步，向右2步，所以，甲从A到B的方法数为C62C对于C，甲从点A运动到点C2再从点C2运动到点B所以，甲从点A运动到点B，且经过点C2，不同的走法种数为A乙从点B运动到点A，且经过点C2，不同的走法种数也为36所以，甲、乙两人在C2处相遇的概率为36×3690×90=对于D，若甲、乙两人相遇，则甲、乙两人只能在点C1、C2、C3、E、F、G

甲从点A运动到点C1，需要向上走2步，向前走1步，再从点C1运动到点B，需要向前走1步，向右走所以甲从点A运动到点B且经过点C1的走法种数为(C32)2，

同理，乙从点B运动到点所以甲、乙两人在点C1处相遇的走法种数为(同理可知，甲、乙两人在点C3、E、F、G、H处相遇的走法种数都为(因此，甲、乙两人相遇的概率为6×(C32故选：ACD．15.【答案】ABD

【解析】对A：由

CnmC33A正确；对B：若

n>m

，则

CnmB正确；对C：

∵n-1Ann=n-1则

2A3故

x=A9090×(∵A90902故

x=A90902-1

对D：

∵1+xn

的展开式通项为

Tr+1故

x+1nx+1n

展开式的

xn

的系数为

Cn0Cnn+同理可得：

1+x2n

的展开式通项为

Tr+1=C2nr×12n-r由于

x+1nx+1n=1+x2n

，故故选：ABD．16.【答案】BCD

【解析】A选项，展开式中各二项式系数的和为22025，故A错误；

B选项，令x=0，得a0=1，

令x=1，得a0+a1+a2+⋯+a2025=0，

所以a1+a2+⋯+a2025=-1，故B正确；

C选项，22025a0+22024a117.【答案】330

【解析】在(1+x)3+(1+x)4+⋯+(1+x)10故答案为：330．18.【答案】36

【解析】先将3个司机安排在3辆车上，再安排3个售票员，

故有A33A3319.【答案】24；112

【解析】设aiji,j=1,2,3,4表示第i行第j列数，

第一行在a1jj=1,2,3,4中选1个，有4种选法；

不妨设第一行选了a11，则第二行只能在a2jj=2,3,4中选1个，有3种选法；

不妨设第二行选了a22，则第三行只能在a3jj=3,4中选1个，有2种选法；

不妨设第三行选了a33，则第四行只选a10203040102030401020304010203040选4个方格，且每行和每列均恰有一个方格被选中，则选中方格的4个数之和为100，

而所给数表是：10+120+130+140+010+220+230+340+210+320+230+340+310+520+430+440+4所以问题转化为在数表中，1110223232335444选4个方格，且每行和每列均恰有一个方格被选中，则选中方格的4个数之和最大．

因为在数表中，1110223232335444选中满足条件的方格的4个数之和的最大值为5+3+3+1=12，

所以在题目所给的数表中，选中满足条件的方格的4个数之和的最大值为100+12=112．20.【答案】255

【解析】由

x8=令

x=2

，可得

i=08a又

[1+x-1]上式二项展开的通项为：

Tr+1=C8rx-1r

.令

∴

i=07a故答案为：255．21.【解析】(1)在(x-1)(-x+1)7=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8中，

取x=1，得a0+a1+a2+⋯+a8=0

22.【解析】(1)当n=4时，学校共有6种不同的荤菜和4种不同的素菜，若每份学生餐有1荤3素，由分步乘法计数原理可知，不同的选择方法为C61C(2)6种不同的荤菜和n种不同的素菜，任取2荤2素，不同的选择方法为C62C由题意，得C62Cn2≥200，整理可得n(n-1)≥80因为n∈N*，5×4<803，6×

23.【解析】(1)依题意可得第2项的二项式系数为Cn1，第3项的二项式系数为Cn2，

所以Cn1Cn2=25，即nn(n-1)2×1=25，则n2-6n=0，

∴n=6或n=0(舍去)，

∴n=6；

所以(2x-1x)6展开式的通项为：Tr+1=C6r(2x)6-r(-x-12)r=(-1)r26-rC6rx6-32r(0≤r≤6,r∈N)，

令6-32r=0，解得r=4，

所以