（人教A版）必修一高一数学上册期末专题强化练习04 与指数函数、对数函数有关的复合函数（解析版）

第第页强化专题二与指数函数、对数函数有关的复合函数【题型目录】一、判断复合函数的单调性二、已知复合函数单调性求参数范围三、求复合函数的值域四、求复合函数的最值五、与复合函数有关的不等式问题六、判断复合函数的奇偶性【例题详解】一、判断复合函数的单调性1．设，，则是（

）A．奇函数且在上单调递减 B．偶函数且在上单调递减C．奇函数且在上单调递减 D．偶函数且在上单调递减【答案】D【分析】由，可知是偶函数，当时，，则在上单调递减，由此即可选出答案.【详解】依题意，得，且，所以是偶函数．当时，，则单调递减；当时，，则单调递增．故选：D.2．函数的单调递减区间是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】先确定函数的定义域，再根据复合函数的单调性的判定即可确定函数的单调区间.【详解】由题意知的定义域为，又，而函数图象的对称轴为，当时，函数递减，故当时，单调递减，即的单调递减区间是，故选：B3．函数y＝log5(x2＋2x－3)的单调递增区间是______．【答案】(1，＋∞)【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”法则计算即可.【详解】由题意，函数满足，解得或，即函数的定义域为，令，则函数在(－∞，－3)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，再根据复合函数的单调性“同增异减”法则，可得函数的单调递增区间是；故答案为：.4．求下列函数的单调区间：(1)；(2)y＝2|x－1|.【答案】(1)在上是增函数，在上是减函数(2)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数【分析】（1）根据复合函数的单调性结合指数函数、二次函数的单调性得出所求函数的单调区间；（2）讨论和两种情况，结合复合函数的单调性得出所求函数的单调区间；【详解】（1）设u＝－x2＋3x＋2＝－2＋，易知u在上是增函数，在上是减函数，∴a>1时，y＝au在上是增函数，在上是减函数．（2）当时，函数y＝2x－1，因为t＝x－1为增函数，y＝2t为增函数，∴y＝2x－1为增函数；当x∈(－∞，1)时，函数y＝21－x.而t＝1－x为减函数，y＝2t为增函数，∴y＝21－x为减函数．故函数y＝2|x－1|在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．5．求函数（a>0，且a≠1）的单调区间．【分析】根据指数复合函数的单调性的性质，运用分类讨论法，结合二次函数的单调性、指数函数的单调性进行求解即可.【详解】设y＝au，u＝x2＋2x－3，由u＝x2＋2x－3＝（x＋1）2－4，得u在（－∞，－1]上为减函数，在[－1，＋∞）上为增函数．当a>1时，y关于u为增函数；当0<a<1时，y关于u为减函数，∴当a>1时，原函数的增区间为[－1，＋∞），减区间为（－∞，－1]；当0<a<1时，原函数的增区间为（－∞，－1]，减区间为[－1，＋∞）．二、已知复合函数单调性求参数范围1．若函数(且)在区间上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，则，则可得在上递减，在上递增，然后分和两种情况求出的增区间，使为增区间的子集，从而可求出实数的取值范围.【详解】令，则，的对称轴为，则在上递减，在上递增，当时，在定义域内递减，所以在上递增，在上递减，因为在上单调递增，所以，不等式无解，当时，在定义域内递增，所以在上递减，在上递增，因为在上单调递增，所以，解得，综上，实数的取值范围为，故选：C2．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据复合函数单调性的判断方法可知在上单调递增且恒大于；分别在、、和的情况下去掉绝对值符号，结合二次函数单调性可得结果.【详解】令，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递增且恒大于；①当时，若，；若，；当时，，在上单调递增且，满足题意；②当时，，在上单调递增且，满足题意；③当时，若，；若，；当时，，则当时，单调递减，不合题意；当时，若，则，则其对称轴为，若在上单调递增且，则，解得：；综上所述：实数的取值范围为.故选：B.3．已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据对数函数的性质得到不等式组，解得即可.【详解】解：因为，所以为减函数．又由函数在上为减函数，可得函数在上大于零，且，故有，解得．故选：A．4．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为_________．【答案】【分析】根据复合函数的单调性的性质，结合指数函数和二次函数的单调性进行求解即可.【详解】因为函数是实数集上的减函数，所以由复合函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，函数的对称轴为，且开口向下，所以有，解得的取值范围为，故答案为：．5．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】根据指数函数，二次函数及复合函数的单调性求解即可；【详解】解：因为是R上的增函数，在上单调递减，所以，根据复合函数单调性，要使在上单调递减，需，解得，所以，实数的取值范围是．故答案为：6．对于函数，解答下列问题：(1)若函数定义域为，求实数的取值范围；(2)若函数在内为增函数，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由定义域为R得到不等式，分与两种情况进行求解；（2）由复合函数单调性及定义域得到在为减函数，且在的函数值为正，从而建立不等式组，求出实数的取值范围.【详解】(1)函数定义域为，即恒成立，当时，不恒成立，不满足题意，

当时，则，解得：，综上，实数的取值范围为；(2)若函数在内为增函数，则在为减函数，且在的函数值为正，，解得：，故实数的取值范围是．三、求复合函数的值域1．函数的值域是________.【答案】【分析】利用换元法，令，则，然后先求出内层函数的值域，再求外层函数的值域即可【详解】令，则，因为，所以的值域为，因为在是减函数，所以，所以的值域为，故答案为：2．求下列函数的定义域、值域：(1)(2)【答案】(1)定义域为，值域为；(2)定义域为R，值域为（0，16].【分析】（1）根据二次根式的性质进行求解即可；（2）根据指数函数的性质进行求解即可.【详解】(1)由函数解析式可知：，所以函数的定义域为：；因为，所以，因此函数的值域为：；(2)由函数的解析式可知：函数的定义域为R，，因为，所以，因此函数的值域为：（0，16].3．求函数的值域．【答案】【分析】利用换元法结合二次函数的单调性得出值域.【详解】令，，则．因为函数在上单调递增，所以，即函数的值域为．4．已知函数.(1)求的单调区间；(2)若，求的值域.【答案】(1)增区间为，减区间为；(2)【分析】（1）根据复合函数单调性同增异减来求得的单调区间.（2）根据在区间上的单调性来求得对应的值域.【详解】(1)的开口向上，对称轴为，在上递减.根据复合函数单调性同增异减可知，增区间为，减区间为.(2)，由（1）知增区间为，减区间为，所以在区间上的值域为.5．求下列函数的值域：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【分析】（1）求出的范围，然后由对数函数的性质得结论；（2）在定义域内求出的范围，再由对数函数的性质得结论．【详解】(1)，．函数的值域为．(2)设，则，．又在上为减函数，．函数的值域为．四、求复合函数的最值1．设函数，求的最大值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】分别求出分段函数每一段函数得最大值，然后取大者即可的解.【详解】解：当时，，则，当时，，因为，则，所以，综上所述，故选：B2．函数的最大值是______．【答案】9【分析】计算的范围，然后根据指数函数的单调性简单计算即可.【详解】由题可知：，所以，又指数函数为R上的增函数，所以的最大值为故答案为：93．函数，的最大值为______.【答案】-2【分析】通过对数函数的单调性，确定函数在给定区间内的最大值.【详解】因为，则，由于是减函数，所以，故答案为：-24．函数的最小值为___________.【答案】【分析】函数转化为关于的二次函数，结合二次函数性质可得最小值．【详解】函数定义域是，，，所以时，．故答案为：．5．已知函数|.(1)作出图象；(2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x取什么值时函数有最值.【答案】(1)图像见解析；(2)单调递增区间为，单调递减区间为；(3)【分析】（1）首先做出，再根据函数平移规则得到的图象；（2）（3）结合函数图形，即可得解；【详解】(1)解：先作函数的图象，再作函数图象.作法：将函数图象在y轴左侧去掉，保留右侧，再把右侧沿y轴翻折到左侧得到函数图象（下图中虚线），再将函数图象向左平移1个单位得到函数图象，函数图象如下图所示：(2)解：由图象知函数在上是增函数，在上是减函数，即函数的单调递增区间为，单调递减区间为；(3)解：由图象知当时，函数有最大值1，无最小值.五、与复合函数有关的不等式问题1．已知函数，且，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，则可将化为，根据对数函数的单调性解不等式，可得答案.【详解】根据题意，，则，故为偶函数；且当时，为单调增函数，故即，则，所以或，解得或，故实数的取值范围为，故选：D2．已知函数，若，则点的取值范围是______.【答案】【分析】设，先解不等式得，然后再解不等式，注意分类讨论．【详解】设，即为，化为或，解得，即，则或，解得或.故答案为：．3．不等式的解集为__________.【答案】【分析】先将原不等式变形为，然后利用指数函数的单调性求解即可.【详解】由，得，所以，即，得，解得或，所以不等式的解集为，故答案为：4．已知是在定义域上的单调函数，且对任意都满足：，则满足不等式的的取值范围是________.【答案】【分析】由换元法求出的解析式，再解原不等式【详解】由题意得为正常数，令，则，且，解得，原不等式为，可得，解得，故答案为：5．已知函数.(1)若，求的取值范围;(2)当时，求函数的值域.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用换元法令，列不等式先解出的范围，再解出的范围即可；（2）利用（1）中的换元，先得到的范围，再根据的范围求值域即可.【详解】（1）令，，可整理为，则即，解得，所以，解得，所以.（2）当时，，因为，且当，有最小值；当或3时，有最大值4；所以的值域为.6．已知函数，，其中，且.(1)求f（x）在[1，2]上的取值范围；(2)求不等式的解集.【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【分析】(1)对a的取值分类讨论，利用指数函数的单调性求出函数的最大、小值即可；(2)根据题意可得，对a的取值分类讨论，利用指数函数的单调性解不等式即可.【详解】（1）当时，在[1，2]上是减函数，所以，，此时f（x）在[1，2]上的取值范围是.当时，在[1，2]上是增函数，所以，，此时f（x）在[1，2]上的取值范围是.综上，当时，f（x）在[1，2]上的取值范围是；当时，f（x）在[1，2]上的取值范围是.（2）由不等式，得.当时，可得，解得，所以不等式的解集为.当时，可得，解得，所以不等式的解集为.综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.六、判断复合函数的奇偶性1．已知函数(1)求函数的定义域；(2)判断并证明函数的奇偶性；(3)求不等式的解集.【答案】(1)；(2)奇函数，证明见解析；(3)【分析】（1）由对数的真数大于零，解不等式组可求得答案，（2）利用奇偶性的定义判断，（3）利用对数函数的性质直接解不等式即可.【详解】（1）由，得，所以函数的定义域为，（2）函数为奇函数，证明如下：因为函数的定义域为，所以定义域关于原点对称，因为