2025年重要极限试题及答案

重要极限试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.∞D.-12.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=$（）A.0B.1C.eD.-e3.当$x\to0$时，与$x$等价无穷小的是（）A.$\sin2x$B.$x^2$C.$\tanx$D.$\cosx$4.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan3x}{x}=$（）A.0B.1C.3D.$\frac{1}{3}$5.$\lim\limits_{x\to\infty}(1-\frac{2}{x})^{x}=$（）A.$e^2$B.$e^{-2}$C.eD.16.若$\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{x-a}=1$，则$\lim\limits_{x\toa}f(x)$为（）A.0B.1C.aD.∞7.当$x\to0$时，$1-\cosx$是$x^2$的（）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.等价无穷小8.$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}=$（）A.0B.1C.eD.-19.$\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n+1}=$（）A.eB.1C.$e^2$D.$e^{-1}$10.已知$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=2$，则$f(x)$是关于$x$的（）A.一阶无穷小B.二阶无穷小C.三阶无穷小D.四阶无穷小二、多项选择题（每题2分，共10题）1.以下属于重要极限的是（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$B.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e$C.$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}=1$D.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$2.当$x\to0$时，下列哪些是无穷小量（）A.$x$B.$\sinx$C.$x^2$D.$\frac{1}{x}$3.下列极限等于e的是（）A.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}$B.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x+1}$C.$\lim\limits_{x\to\infty}(1-\frac{1}{x})^{-x}$D.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^{x}$4.关于等价无穷小，当$x\to0$时，下列正确的是（）A.$x\sim\sinx$B.$x\sim\tanx$C.$x\sim\ln(1+x)$D.$x\sime^{x}-1$5.下列极限存在的是（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$B.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}$C.$\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}$D.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}$6.当$x\to0$时，$f(x)$与$g(x)$是等价无穷小的条件是（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=1$B.$f(x)-g(x)$是比$x$高阶的无穷小C.$\lim\limits_{x\to0}(f(x)-g(x))=0$D.$\lim\limits_{x\to0}\frac{g(x)}{f(x)}=1$7.利用重要极限可以求解的极限有（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin5x}{x}$B.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{3}{x})^{x}$C.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx}{x}$D.$\lim\limits_{x\to\infty}(1-\frac{1}{x})^{2x}$8.下列说法正确的是（）A.无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量B.无穷大量与有界函数的乘积是无穷大量C.两个无穷小量的和是无穷小量D.两个无穷大量的和是无穷大量9.当$x\to0$时，$x^3$是（）A.比$x$高阶的无穷小B.比$x^2$高阶的无穷小C.比$x^4$低阶的无穷小D.与$x^3$等价的无穷小10.若$\lim\limits_{x\toa}f(x)=0$，$\lim\limits_{x\toa}g(x)=0$，则（）A.$\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}$可能存在B.$\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}$一定存在C.$\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}$可能为无穷大D.$\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}$一定为0三、判断题（每题2分，共10题）1.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin2x}{2x}=1$。（）2.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{2x}=e$。（）3.当$x\to0$时，$x$与$x+x^2$是等价无穷小。（）4.$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}=1$。（）5.无穷小量就是0。（）6.若$\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=1$，则$f(x)$与$g(x)$是等价无穷小。（）7.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=0$。（）8.当$x\to0$时，$1-\cosx$与$\frac{1}{2}x^2$是等价无穷小。（）9.$\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n^2}=e$。（）10.两个无穷小量的商一定是无穷小量。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.简述重要极限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$的应用要点。答案：常用于求含有三角函数且自变量趋于0的极限。将式子变形为$\frac{\sinx}{x}$的形式，利用该极限值为1求解。例如$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}$，变形为$3\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}$来计算。2.如何判断两个无穷小量是等价无穷小？答案：若当自变量趋于某值时，两个无穷小量之比的极限为1，则它们是等价无穷小。即$\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=1$，$f(x)$与$g(x)$在$x\toa$时为等价无穷小。3.利用重要极限$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e$求极限的关键步骤是什么？答案：关键是将所给极限式子凑成$(1+\frac{1}{u})^{u}$的形式，其中$u\to\infty$。如$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^{x}$，令$u=\frac{x}{2}$，则原式化为$\lim\limits_{u\to\infty}[(1+\frac{1}{u})^{u}]^{2}$求解。4.说明无穷小量与无穷大量的关系。答案：在自变量的同一变化过程中，若$f(x)$为无穷大量，则$\frac{1}{f(x)}$为无穷小量（$f(x)\neq0$）；反之，若$f(x)$为无穷小量且$f(x)\neq0$，则$\frac{1}{f(x)}$为无穷大量。五、讨论题（每题5分，共4题）1.在实际问题中，重要极限有哪些应用场景？答案：在物理中，如计算物体运动的瞬时速度、加速度等；在经济领域，计算连续复利问题；在工程上，分析信号的变化趋势等。利用重要极限可简化复杂的极限运算，得出精确结果。2.探讨等价无穷小在极限计算中的优势与局限。答案：优势是能简化极限计算，通过等价替换将复杂式子变简单。局限在于只能在乘除运算中替换，加减运算中随意替换可能出错，需谨慎判断使用条件。3.结合具体例子，说明如何灵活运用两个重要极限求解复杂极限。答案：例如求$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx(1-\cosx)}{x^3}$，可将其拆分为$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\cdot\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}$，前者用$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$，后者变形后求解，综合得出结果。4.分析无穷小量阶的概念在数学分析中的意义。答案：无穷小量阶反映了无穷小量趋于0的“快慢”程度。有助于比较不同无穷小量，在极限计算、函数逼近等方面有重要意义，能