2026届高三一轮复习讲义(提高版)数学第四章4.7三角函数中有关ω的范围问题

§4.7三角函数中有关ω的范围问题重点解读在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点.题型一三角函数的单调性与ω的关系例1已知函数f(x)=2sinωx-π6(ω>0)在0，π3上存在最值，且在2πA.0，23 C.52，83 思维升华确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系建立不等式，即可求ω的取值范围.跟踪训练1已知函数y=sinωx+π3(ω>0)在区间-π6题型二三角函数的对称性与ω的关系例2(2025·杭州模拟)已知ω≠0，函数f(x)=sinωx+π3在0，A.133<ω≤193 B.73<C.-233≤ω<-173 D.-173≤思维升华三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T2，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为T4，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω跟踪训练2(2024·铜川模拟)已知函数f(x)=2sinωx+π3(ω>0)满足f2π3-x=fxA.23 B.12 C.1 D题型三三角函数的最值与ω的关系例3已知函数f(x)=2sinωx在区间-π3，π4上的最小值为-2思维升华利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围.跟踪训练3已知函数f(x)=sinωx+π3(ω>0)，若fπ6=fπ2，且f(x)在区间π题型四三角函数的零点与ω的关系例4(2025·福州模拟)已知函数f(x)=sinωx+π4(ω>0)在[0，2]内有且仅有5个零点，则f(x)在[0，2]内的极值点个数为A.4 B.4或5 C.5 D.5或6思维升华三角函数两个零点之间的“水平间隔”为T2，根据三角函数的零点个数，可以研究ω的取值跟踪训练4(2023·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)=cosωx-1(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是.

答案精析例1C[当0<x<π3时，因为ω>0，则-π6<ωx-π6<ω因为函数f(x)在0，π3上存在最值，则ωπ3-π6当2π3<x<π2πω3-π6<ωx-π6<π因为函数f(x)在2π3则2πωkπ-π2，kπ+所以2πω3-π6解得32k-12≤ω≤k+23(k∈所以32k-12≤k+23(k∈解得k≤73且k∈Z又因为ω>0，则k∈{0，1，2}.当k=0时，0<ω≤23当k=1时，1≤ω≤53当k=2时，52≤ω≤8又因为ω>2，因此ω的取值范围是52，跟踪训练10解析函数y=sinωx+π3(ω>0)当-π6<x<π3时，-πω6+π3<ωx+π3<πω3+π3，而当x=0时，ωx因此-而ω>0，解得0<ω≤12所以ω的取值范围是0，例2C[∵x∈0，①当ω>0时，ωx+π3∈π若f(x)在0，π2上有两个极小值，则f(x)②当ω<0时，ωx+π3∈π又函数f(x)=sinωx+π3∴-7π2≤πω2+π解得-233≤ω<-17综上，-233≤ω<-173跟踪训练2A[由已知可得函数f(x)=2sinωx+π3(ω>0)满足f2π3-即fπ4-x=f所以f(x)的图象关于直线x=π4所以πω4+π3=π2+kπ(k所以ω=4k+23(k∈Z)又ω>0，所以当k=0时，ω取得最小值为23.例3(-∞，-2]∪3解析显然ω≠0.若ω>0，当x∈-π-π3ω≤ωx≤π4因为函数f(x)=2sinωx在区间-π3，所以-π3ω≤-π2，解得ω≥若ω<0，当x∈-ππ4ω≤ωx≤-π3因为函数f(x)=2sinωx在区间-π3，所以π4ω≤-π2，解得ω≤综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是(-∞，-2]∪32跟踪训练31解析由题意知当x=π3时，f(x)即π3ω+π3=2kπ+π2(k∈解得ω=6k+12(k∈Z)又π2-π6=π3<T，即2π所以ω<6，又ω>0，所以ω=12例4D[因为ω>0，当x∈[0，2]时，π4≤ωx+π4≤2ω+由函数f(x)在[0，2]内有且仅有5个零点，得5π≤2ω+π4<6π当5π≤2ω+π4<112π时，函数f(x)在[0，2]内有5个极值点，当112π≤2ω+π4<6π时，函数f(x)在[0，2所以f(x)在[0，2]内的极值点个数为5或6.]跟踪训练4[2，3)解析因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ