2026届高三一轮复习讲义(提高版)数学第一章1.5基本不等式的综合应用

§1.5基本不等式的综合应用课标要求1.会求与基本不等式有关的恒(能)成立问题.2.理解基本不等式在实际问题中的应用.3.掌握基本不等式在其他知识中的应用.题型一与基本不等式有关的恒(能)成立问题例1(1)若不等式1a+2b≥ma+2b恒成立，则实数A.2 B.3 C.4 D.9(2)若两个正实数x，y满足1x+4y=1，且不等式x+y4<m2-3m有解，则实数m的取值范围是A.{m|-1<m<4}B.{m|m<-4或m>1}C.{m|-4<m<1}D.{m|m<-1或m>4}思维升华∃x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a；∃x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a.跟踪训练1(1)已知a>0，若关于x的不等式x+ax+1≥3在x∈(-1，+∞)上恒成立，则a的最小值为(A.1 B.2 C.4 D.8(2)已知正数x，y满足(x-1)(y-2)=2，不等式3x+2y>m恒成立，则实数m的取值范围是()A.(-∞，4+62) B.(6+42，+∞)C.(-∞，7+43) D.(8+43，+∞)题型二基本不等式的实际应用例2随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段(汽车行驶速度不低于60km/h)测试发现：①汽车每小时耗电量P(单位：kW·h)与速度v(单位：km/h)的关系满足P(v)=0.002v2-0.04v+5(60≤v≤120)；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路(最低限速60km/h，最高限速120km/h)匀速行驶到距离为500km的B地，出发前汽车电池存量为75kW·h，汽车到达B地后至少要保留5kW·h的保障电量(假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计).(1)判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由；(2)若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A地与B地间的服务区，服务区充电桩的功率为15kW(充电量=充电功率×时间)，求到达B地的最少用时(行驶时间与充电时间总和).思维升华利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.跟踪训练2某村现有180户村民，且都从事海产品养殖工作，平均每户的年收入为8万元.为探索科技助农新模式，村委会决定调整产业结构，安排x(0<x<180，x∈N*)户村民只从事直播带货工作，其余的只从事海产品养殖工作，预计调整后从事直播带货工作的村民平均每户的年收入为8a-x10(a>0)万元，从事海产品养殖工作的村民平均每户的年收入相比原来提高5x%，若从事直播带货工作的村民不管有多少人，他们的总年收入都不大于从事海产品养殖工作的村民的总年收入，则a的最大值为A.12 B.14 C.22 D.60题型三基本不等式与其他知识交汇的最值问题例3(1)设a>0，b>0，若ln3是ln3a与ln9b的等差中项，则2a+1b的最小值为(A.6 B.8 C.9 D.12(2)(2025·绍兴模拟)原点到直线l：λx+y-λ+1=0(λ∈R)的距离的最大值为()A.25 B.225 C.4思维升华基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题.跟踪训练3已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则sinB的取值范围是.

答案精析例1(1)D[由题意a+2ba+2即5+2ba+2ab又5+2ba+2ab≥5+22ba·故实数m的最大值为9.](2)D[∵不等式x+y4<m2-3m∴x+y4min<m∵x>0，y>0，1x+4y∴x+y4==4xy+≥24xy当且仅当4xy=即x=2，y=8时等号成立，∴m2-3m>4，∴(m+1)(m-4)>0，∴m<-1或m>4，∴实数m的取值范围是{m|m<-1或m>4}.]跟踪训练1(1)C[因为x>-1，x+1>0，所以x+ax+1=x+1+≥2(x+1)·a当且仅当x+1=ax+1，即x=a所以x+ax+1有最小值2a因为不等式x+ax+1≥3在x∈(-1，+∞)上恒成立，所以2a-1≥解得a≥4，所以a的最小值为4.](2)C[因为(x-1)(y-2)=2，x>0，y>0，所以xy=2x+y，即1x+2y所以由基本不等式可得3x+2y=(3x+2y)1=7+2yx≥7+22yx·当且仅当2即x=1+综上所述，3x+2y的最小值为7+43.因为不等式3x+2y>m恒成立，所以实数m的取值范围是(-∞，7+43).]例2解(1)设匀速行驶速度为vkm/h，耗电量为f(v)，则f(v)=P(v)·500v=v+2500v-20(60≤v≤120易知函数f(v)在区间[60，120]上单调递增，所以f(v)min=f(60)=2453>75-5即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车不能在不充电的情况下到达B地.(2)设匀速行驶速度为vkm/h，总时间为th，行驶时间与充电时间分别为t1h，t2h.若能到达B地，则初始电量+充电电量-消耗电量≥保障电量，即75+15t2-f(v)≥5，解得t2≥v15+5003所以t=t1+t2≥500v+v15+=v15+20003v-6≥=223当且仅当v15=20003v，即所以该汽车到达B地的最少用时为223h跟踪训练2B[由题意可得8a-x10x≤(180-x)·8·(1+5x化简可得a≤180x+x20因为180x+x20+8≥2180当且仅当180x=x20，即x所以a≤14，即a的最大值为14.]例3(1)B[∵ln3是ln3a与ln9b的等差中项，∴2ln3=ln3a+ln9b，即ln3=ln(3a·9b)=ln3a+2b=(a+2b)ln3，∴a+2b=1，又a>0，b>0，∴2a+1b=2a+1b(a+2b)=4+ab当且仅当ab=4ba，即a=12，b=(2)D[方法一设原点到直线l的距离为d，由点到直线的距离公式得d=|-λ=1-2显然当λ<0时，有最大值，此时-2λλ2因为(-λ)+-≥2(-λ)当且仅当λ=-1时等号成立，所以2(-λ)+-所以dmax=2.方法二直线l恒过定点(1，-1)，故原点到直线l距离的最大值为2.]跟踪训练30解析因为a，b，c成等差数列，所以2b=a+c，所以cosB=a=a2+c因为a2+c2≥2ac，当且仅当a=c时取等号，所以3(a2+c2)-2ac≥4ac>0，所以cosB=3(a2+c2又y=cosx在区间(0，π)上单调递减，所以0<B≤π3，所以0<sinB≤3微拓展典例(1)A[∵实数x，y满足3x2+4y2=12，∴x24+y∴x24+y23即-5≤2x+3y≤5，当且仅当33x=8y，即当x=-当x=∴z=2x+3y的最小值是-5.](2)45解析∵a=(1，-2)，b=(x，y)，∴a·b=x-2y.由柯西不等式的向量形式可得[12+(-2)2](x2+y2)≥(x-2y)2，即5×16≥(x-2y)2，∴-45≤x-2y≤45，(*)当且仅当b=ka，