2026届高三一轮复习练习试题(标准版)数学第八章进阶篇圆锥曲线中的综合问题进阶3与角度、斜率、参数、向量有关的范围(最值)问题

进阶3与角度、斜率、参数、向量有关的范围(最值)问题分值：34分1.(17分)已知椭圆C：x24+y2(1)若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，P为C的上顶点，求△PF1F2的周长；(6分)(2)设过定点M(0，2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围.(11分)2.(17分)双曲线C：y2a2-x2b2=1(a>0，b>0)的焦点为F1，F2(F1在F2下方)，虚轴的右端点为A，过点F2且垂直于y轴的直线l交双曲线于点P(P在第一象限)，与直线AF1交于点B，记△ABF2的周长为m，△BPF1的周长为n，(1)若C的一条渐近线方程为y=2x，求C的标准方程；(6分)(2)已知动直线l'与C相切于点T，过点T且与l'垂直的直线分别交x轴、y轴于M，N两点，Q为线段MN上一点，MQ=λMN，λ∈(0，1).若||QF2|-|QF1||为定值，求λb的最大值.(11分)答案精析1.解(1)由题意得a2=4，b2=1，所以a=2，b=1，c=a2-所以△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=4+23.(2)显然当直线l的斜率k不存在时，直线x=0不满足题意，设直线l的方程为y=kx+2(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y得(1+4k2)x2+16kx+12=0，由Δ=(16k)2-4×12(1+4k2)>0，得k2>3则x1+x2=-16k4k2+1，y1y2=kx1+2kx2+2=k2x1因为∠AOB为锐角，A，O，B不共线，所以cos∠AOB>0，所以OA·OB>0，所以x1x2+y1y2>0，所以x1x2+y1y2=1+k2x1x2+2k=12k2+1=44-k解得0<k2<4，因为k2>3解得-2<k<-32或32<k所以实数k的取值范围为-2，-32.解(1)如图1，依题意，|m-n|=||AB|+|BF2|+|AF2|-(|BP|+|PF1|+|BF1|)|图1=||AB|+(|BP|+|PF2|)+|AF1|-(|BP|+|PF1|+|AB|+|AF1|)|=||PF2|-|PF1||=2a=4，解得a=2，又双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则ab=2，即b所以双曲线C的标准方程为y24-x(2)由(1)知a=2，则双曲线C的方程为y24-x2b2图2设T(x0，y0)，过T的直线l'的方程为y-y0=k(x-x0)，即y=kx+y0-kx0，令m=y0-kx0，显然k≠0，由b2y2-4x2=4b2,y=kx+m消去y得(b2k2-4)x由直线l'与双曲线只有一个公共点，得Δ=(2b2mk)2-4(b2k2-4)(b2m2-4b2)=0，化简得b2k2+m2-4=0，代入m=y0-kx0得(b2+x02)k2-2x0y0k+y由直线l'与双曲线相切，得k=x而y024-x02b2=1，于是k=4方程为y-y0=-b2y04x0(令y=0，得x=(即M(令x=0，得y=(即N0设Q(x，y)，由MQ=λMN，λ∈(0，1)得x即x代入y024-得y2λ2(依题意，该双曲线与双曲线y24-x2则λ2(b