2026届高三一轮复习练习试题(标准版)数学第十章10.5离散型随机变量及其分布列、数字特征

§10.5离散型随机变量及其分布列、数字特征分值：90分一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分，投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得分ξ的所有可能取值的和是()A.8 B.10 C.12 D.142.设随机变量X的分布列为P(X=i)=i2a，i=1，2，3，则a等于(A.3 B.73 C.2 D.3.已知随机变量X的分布列为X-101P1mn若P(X≤0)=12，且2X+Y=1，则D(Y)等于(A.2918 B.4718 C.294.已知随机变量X的概率分布列为P(X=n)=asinπ4n-2(n=1，2)，其中a是常数，则E1aA.23 B.43 C.25.一袋中装有5个白球和3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个，取出后记下颜色，若为红色则停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量ξ，则P(ξ≤2)等于()A.914 B.2556 C.376.某听众打电话参加某广播电视台猜商品名称节目，能否猜对每件商品的名称相互独立，该听众猜对三件商品D，E，F的名称的概率及猜对时获得的奖金如表所示：商品DEF猜对的概率0.80.50.3获得的奖金/元100200300规则如下：只有猜对当前商品名称才有资格猜下一件商品，你认为下列哪个答题顺序获得的奖金的均值最大()A.FDE B.FED C.DEF D.EDF二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.已知离散型随机变量X的分布列为X0125Pa2a+0.2a+0.22a则下列说法正确的是()A.a=0.1 B.D(X)=1.84C.E(X)=2 D.E(2X+6)=98.已知随机变量X的分布列为X-101Pp1p2p2下列结论正确的是()A.若p1=2p2，则p1=1B.若p1=p2，则P(|X|=1)=2C.若E(X)=13，则p2=D.p12-p2(p1p2≠0)的最小值为三、填空题(每小题5分，共10分)9.随机变量ξ的分布列如表所示：ξ234Paba根据随机变量ξ的分布列，计算出E(ξ)=，若D(ξ)=12，则b的数值应是10.根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如表所示：降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数Y的均值为.四、解答题(共28分)11.(13分)(2025·重庆模拟)甲、乙两名围棋手对弈，比赛实行五局三胜制，第一局通过猜子确定甲执黑先行，其后每局交换先行者，直至比赛结束，已知甲先行时他赢下该局的概率为0.6，乙先行时他赢下该局的概率为0.5.(1)求比赛只进行了三局就结束的概率；(5分)(2)已知甲胜了第一局，求比赛进行局数的期望.(8分)12.(15分)某公司为活跃气氛、提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励.规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额.(1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求：①员工所获得的奖励金额为1000元的概率；(3分)②员工所获得的奖励金额的分布列及均值；(5分)(2)公司对奖励金额的预算是人均1000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成.为了使员工得到的奖励金额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励金额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由.(7分)每小题5分，共10分13.设随机变量X的分布列如表所示，则下列说法中错误的是()X123456Pp1p2p3p4p5p6A.P(X≥4)=1-P(X≤3)B.随机变量X的数学期望E(X)可以等于3.5C.当pn=12n(n=1，2，3，4，5)时，p6D.数列{pn}的通项公式可以为pn=1n(n+1)(n=1，2，3，414.设θ∈π6，π3，随机变量ξ的分布列如表所示，则E(ξ123P12sin21A.有最大值52，最小值B.有最大值94，最小值C.有最大值94D.无最大值，有最小值7答案精析1.C2.A3.C[由P(X≤0)=1得m=12-13n=1-P(X≤0)=1则E(X)=-1×13+0×16+1×1D(X)=E(X2)-(E(X))2=1×56+0×16-1由2X+Y=1，得Y=1-2X，所以D(Y)=4D(X)=299.4.C[由P(X=n)=asinπ4n-2(n=1，得P(X=1)=a，P(X=2)=12a由P(X=1)+P(X=2)=1，得a=2于是E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)=2a=4所以E1aX=32E(X)5.D[依题意知，ξ=k表示前k个球为白球，第k+1个球恰为红球，则ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，则P(ξ=k)=A5kA31A8k+1，k=0，所以P(ξ=0)=A50P(ξ=1)=A51P(ξ=2)=A52所以P(ξ≤2)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)=4656=23286.C[按照FDE的顺序获得的奖金的均值为300×0.3×0.2+400×0.3×0.8×0.5+600×0.3×0.8×0.5=138；按照FED的顺序获得的奖金的均值为300×0.3×0.5+500×0.3×0.5×0.2+600×0.3×0.5×0.8=132；按照DEF的顺序获得的奖金的均值为100×0.8×0.5+300×0.8×0.5×0.7+600×0.8×0.5×0.3=196；按照EDF的顺序获得的奖金的均值为200×0.5×0.2+300×0.5×0.8×0.7+600×0.5×0.8×0.3=176.综上所述，按照DEF的顺序获得的奖金的均值最大.]7.AC[由分布列的性质知6a+0.4=1，解得a=0.1，故A正确；故E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.3+5×0.2=2，D(X)=0.1×22+0.4×12+0.3×02+0.2×32=2.6，故B错误，C正确；由离散型随机变量期望的性质可得，E(2X+6)=2E(X)+6=10，故D错误.]8.BC[对于A，由题意得p1+2p2=1，若p1=2p2，则p1=12，对于B，若p1=p2，则p1=p2=1P(|X|=1)=P(X=1)+P(X=-1)=13+13=2对于C，若E(X)=13，则-p1+p2=13，又p1+2p2=1，所以p2对于D，由p1+2p2=1，得0<p2<1p12-p2=(1-2p2)2-p2=4p22-5p2因为0<p2<12，所以p12-p2不存在最小值，9.31解析依题意，a+b+a=2a+b=1，E(ξ)=2a+3b+4a=6a+3b=3(2a+b)=3，D(ξ)=(2-3)2a+(3-3)2b+(4-3)2a=2a=1解得a=14，代入2a+b=1得b=10.3解析由题意可知P(X<300)=0.3，P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4，P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2，P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.所以随机变量Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1所以E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3，所以工期延误天数Y的均值为3.11.解(1)比赛只进行三局，则都是甲赢或都是乙赢，所以概率为0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.4=0.18+0.08=0.26.(2)设比赛进行的局数为X，则X所有可能的取值为3，4，5.当X=3时，则前三局都是甲赢，P(X=3)=0.5×0.6=0.3，当X=4时，则可能的情况是甲乙甲乙乙胜甲乙乙乙甲胜甲甲乙甲甲胜甲乙甲甲P(X=4)=0.5×0.4×0.5+0.5×0.4×0.5+0.5×0.6×0.5=0.35，P(X=5)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-0.3-0.35=0.35，故E(X)=3×0.3+4×0.35+5×0.35=4.05.12.解(1)设员工所获得的奖励金额为X，①P(X=1000)=C31∴员工所获得的奖励金额为1000元的概率为12②X所有可能的取值为400，1000，P(X=400)=C32∴X的分布列为X4001000P112∴员工所获得的奖励金额的均值为E(X)=400×12+1000×12(2)根据公司预算，每个员工的平均奖励金额为1000元，∴先寻找均值为1000元的可能方案，对于面值由800元和200元组成的情况，如果选择(200，200，200，800)的方案，∵1000元是面值之和的最大值，∴均值不可能为1000元，如果选择(800，800，800，200)的方案，∵1000元是面值之和的最小值，∴均值不可能为1000元，因此可能的方案是(800，800，200，200)，记为方案1；同理，对于面值由600元和400元组成的情况，排除(600，600，600，400)和(400，400，400，600)的方案，∴可能的方案是(400，400，600，600)，记为方案2.对于方案1，设员工所获得的奖励金额为X1，X1可取400，1000，1600，P(X1=400)=C22P(X1=1000)=C21P(X1=1600)=C22∴E(X1)=400×16+1000×23+1600×16=1D(X1)=(400-1000)2×16+(1000-1000)2×23+(1600-1000)2×16=120对于方案2，设员工所获得的奖励金额为X2，X2可取800，1000，1200，P(X2=800)=C22P(X2=1000)=C21P(X2=1200)=C22∴E(X2)=800×16+1000×23+1200×16=1D(X2)=16×(800-1000)2+23×(1000-1000)2+16×(1200-1000)由于两种方案的奖励金额都符合预算要求，但方案2的方差比方案1小，∴应选择方案2.13.D[A选项，由已知p1+p2+p3+p4+p5+p6=1，则P(X≥4)=p4+p5+p6=1-(p1+p2+p3)=1-P(X≤3)，A选项正确；B选项，当p1=p2=p3=p4=p5=p6=16时，期望为E(X)=1×16+2×16+3×16+4×16+5×16+6×1C选项，由pn=12