《高等机构学（第2版）》课件-第7章-平面连杆机构的运动分析

高等机构学第七章平面连杆机构的运动分析

机构运动分析是在已知机构的结构和几何尺寸的条件下,在原动件的运动规律给定时,确定从动部分任一运动变量的变化规律。机构运动分析包括位置、速度和加速度分析。其中位置分析方程通常是非线性的，只有简单的二级机构才能列出输出变量和输入变量之间的显函数表达式。而在其它情况下，方程的求解就需要利用各种数值解法。因此连杆机构的运动分析重点在位置求解。至于速度、加速度方程式则全为线性方程，因而求解较为简单。

第七章平面连杆机构的运动分析 7.1、二级机构的运动分析 7.2、复杂平面两杆机构的位置分析

第七章平面两杆机构的运动分析

7.1.1、三转动副（RRR）二级组 7.1.2、内副为移动副的（RPR）二级组 7.1.3、外副之一为移动副的（RRP）二级组

7.1、二级机构的运动分析7.1、二级机构的运动分析

7.1.1、三转动副（RRR）二级组1.位置分析

如图7-1所示的杆组中，P1、P2为运动已知点，其坐标为P1(p1x,p1y),P2(p2x,p2y)。对于铰链四杆机构，若P1为输入构件的端点，则P2为固定点。位置分析可以有几种方法可供选择，下面介绍常用的两种。(1)直接根据几何关系写出各角度的表达式。角，和为相对x轴正向的夹角，逆时针为正。（7-1）其中图7-1RRR二级组故可确定P3点的位置为（7-2）继而确定出构件2的角位置为（7-3）

7.1.1、三转动副（RRR）二级组当给定一个带有正负号的自变量值（它表示那个角度的正切值）该函数返回一个在之间的弧度值，即主值。在大多数计算器和计算机程序语言中可见到的单自变量反正切函数反回的角度值仅是这个第I和第IV象限的值。若想得到以上式(7-3)中反正切的真实值，必须用两个自变量的反正切函数进行判断和计算才能获得四个象限中任一象限的角度。可以非常容易地计算两个自变量的反正切函数，方法是，检验自变量x中分量的正负号，如果x的值是负的就在从单变量反正切函数中获得的结果上加弧度或180。以下所有反正切函数的计算都按此进行，不再说明。7.1.1、三转动副（RRR）二级组7.1.1、三转动副（RRR）二级组（2）矢量环方程解法。该方法可以不直接找几何关系，写出矢量环方程后直接求解该方程，这是最一般的解法适用于任何情况。

如图，可写出三矢量

，和d

的封闭环方程为：（7-4）把矢量方程向两坐标轴投影得到两个标量方程（7-5）（7-6）图7-1RRR二级组7.1.1、三转动副（RRR）二级组7.1.1、三转动副（RRR）二级组式(7-5)和（7-6）两边平方相加，则有（7-7）其中7.1.1、三转动副（RRR）二级组7.1.1、三转动副（RRR）二级组用正切半角公式代替正弦和余弦，最后得（7-8）当时，两倍角的反正切函数值可以得到四个象限的任意值。但当时，有两种情况需要特别计算：若，则；若则,.当的值计算出后，值的计算有几种方法可供选择：7.1.1、三转动副（RRR）二级组7.1.1、三转动副（RRR）二级组把式（7-5）及（7-6）整理后再两边平方消掉，导出形如式(7-7)的直接计算的表达式。b)根据已计算出的值，由式（7-5）及式（7-6）计算出和，进而得到了的值，然后用两个自变量的反正切函数进行判断，求出的真实值。c)也可以先求出点的坐标，然后求出（7-9）仍需判断所在象限。7.1.1、三转动副（RRR）二级组7.1.1、三转动副（RRR）二级组2.速度分析

速度分析可以直接把位置方程对时间求导，也可以通过相对速度关系写出速度矢量方程直接求得。求导计算方法相对简单、规范，可参考有关机械原理书。这里介绍第二种方法。图7-1RRR二级组首先写出P3点的速度矢量方程，为：（7-10）将以上两方程分别写为向x、y轴的投影形式，可解得7.1.1、三转动副（RRR）二级组7.1.1、三转动副（RRR）二级组（7-11）其中之一带回（7-10）即可确定。7.1.1、三转动副（RRR）二级组7.1.1、三转动副（RRR）二级组3．加速度分析

P3点的加速度矢量方程为（7-12）展开后解得（7-13）式中式(7-13)中之一代回（7-12）即可确定。7.1.1、三转动副（RRR）二级组7.1.2、内副为移动副（RPR）二级组图7-2RPR二级组1.位置求解如图7-2所示的杆组中，P1、P2为运动已知点，其坐标为P1(p1x,p1y)、P2(p2x,p2y)。（1）直接根据几何关系写出个角度的表达式根据几何关系可写出以下个位置计算式

（7-14）式中故有（7-15）7.1.2、内副为移动副（RPR）二级组7.1.2、内副为移动副（RPR）二级组图7-2RPR二级组7.1.2、内副为移动副（RPR）二级组（2）矢量环方程

（7-16）像两坐标轴投影（7-17）式中或。式(7-17)整理使含有项在方程的一侧，然后平方相加得（7-18）式中方程解法同前。7.1.2、内副为移动副（RPR）二级组7.1.2、内副为移动副（RPR）二级组2.速度分析P2点的速度矢量方程为

（7-19）式中代表的单位矢量,由上式可解得

（7-20）

（7-21）图7-2RPR二级组7.1.2、内副为移动副（RPR）二级组由式求导得出（7-22）3.加速度分析

P2

点的加速度矢量方程为（7-23）由上式可导出（7-24）7.1.2、内副为移动副（RPR）二级组可解得（7-25）（7-26）及（7-27）7.1.3、外副之一为移动副（RRP）二级组图7-3RRP二级组

如图7-3所示的杆组中，P4为运动已知点,待求运动点为P2。但滑块在其上滑动的构件上的两点P1、P3的运动为已知。1.位置分析根据几何关系写出一下位置计算式（7-28）将以上方程分别写为向x、y轴的投影形式（7-29）式中解出式中及代回式（7-28）即可确定7.1.3、外副之一为移动副（RRP）二级组图7-3RRP二级组2.速度分析

P2点的速度矢量方程为（7-30）式中的意义同前。上式中两式联立即可求得及，最终可求得。3.加速度分析

P2点的加速度矢量方程为（7-31）两式展开后可解得

和

，再代回式(7-31)之一即可确定

。7.1.3、外副之一为移动副（RRP）二级组图7-4飞剪机构

下面以图7-4所示飞剪机构为例,简要说明运动分析过程。机构中构件1、6为原动件，当原动件的运动给定后，构件3、5组成的是三转动副二级组，故可调用第一套公式求解。构件2、4组成的是一外副为移动副的二级组，故可调用第三套公式求解。

7.2.1、位置方程的建立与求解 7.2.2、用型转化法数值迭代求解

7.2、复杂平面连杆机构的位置分析7.2、复杂平面连杆机构的位置分析7.2.1、位置方程的建立与求解图7-5几种杆组

由第一章已知低副机构的从动部分是由一个或几个基本杆组所组成。对于平面机构中的基本杆组，杆数应为2、4、6、8、…等偶数。杆组的外副总是与运动规律已知的构件相连。n杆的杆组，在机构的运动方程式中引入n个运动变量(转动副中的相对转角和移动副中的相对位移)。运动分析就是找出这些运动变量中的任一个和输入变量之间的关系。

由图7-5可以看出，n杆的基本组可以与相关构件(即图中虚线，一般由机架和原动件确定)组成n/2个独立封闭形(图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ表示封闭形的序号)。每个封闭形可建立一个矢量环方程或两个标量方程。因而，n杆的基本组在运动分析中引入n个运动变量，可以建立的独立方程也为n个，在一般情况下可以得到确定解。

对于n个构件组成的杆组，可以得到n/2个如下形式的封闭环方程（7-32）式中，矢量

代表构件上转动副之间的联线、移动副间的位移，转动副到移动副导路的垂直距离等，求和时i应包括组成封闭形的所有构件。也可向坐标轴投影得到标量形式的方程如下7.2.1、位置方程的建立与求解（7-33）式中是矢量与x

轴的夹角。下面给出位置环方程的求解方法。1.位置方程式的直接数值求解将位置方程（7-33）写成以下的一般形式（7-34）设在机构的某一位置已有一近似解在此初始点领域内取另一点

k+1，令（7-35）7.2.1、位置方程的建立与求解

为各位置变量在初始点k的增量。应用Taylor公式并只保留各增量的线性项,式(7-34)可近似地表示成下面的式子。（7-36）式中的为雅克比矩阵A在点的值。（7-37）令式（7-36）等于零矢量，则（7-38）为

的线性方程组,解出

并代入式(7-35),可得到改进后的解矢量

。7.2.1、位置方程的建立与求解以上计算可以迭代r次，直到（7-39）

为预定的收敛指标。或者在计算达到预定的迭代次数后停止，并分析其不能收敛的原因，如初始值精度太差，机构处于特殊位置等。这一算法通常称为牛顿-拉普森算法。7.2.1、位置方程的建立与求解2.位置方程式降维后数值求解有些机构在给出环方程后,可以通过消元法使未知数的个数减少,最后变成一维迭代数值求解问题。下面给出一个六杆机构的例子，以说明求解过程。

图7-6是一六杆机构。原动件为

，转角为

。由前面的分析可知，该机构可拆分为一个四杆组，故可列出两个独立的闭环方程，写成复指数形式为（7-40）（7-41）图7-6六杆机构7.2.1、位置方程的建立与求解

上两式中共含有四个未知数

，

，

，

。把式(7-40)中的

和

两项移到等式的右边，两边乘上它们各自的共轭复数就可消去,解出

；把式(7-41)中的

和

两项移到等式的右边，两边乘上它们各自的共轭复数就可消去,可得一隐函数:=0,再把

代入就得到一个关于

的一维非线性方程，可用数值迭代法求解。速度和加速度求解只需把方程(7-40)及(7-41)对时间求一、二阶导数即可。在用以上方法作机构的运动分析时，若在某位置雅克比矩阵A的行列式值为零，即

，则运动方程式无确定解,此种机构位置称为机构的特殊位置。这时机构可能处于极限位置或死点位置。如果系统在任何位置都有上式存在，则为一存在过约束的机构。7.2.2、用型转化法数值迭代求解

以上介绍的方法对不同的机构都必须首先进行公式推导,因此不具有通用性。这里介绍的型转化法是把一个复杂的杆组通过转化变成多个简单的构件或二杆组,然后直接调用求解二杆组的标准程序求解,非常适用于计算机求解各种平面低副连杆机构，求解过程具有通用性。下面通过具体例子说明该方法的应用。图7-7

六杆组7.2.2、用型转化法数值迭代求解

如图7-7所示为一六杆组，A、B、C、D为与原动件或与机架相联的铰链为外铰,用实心圆表示。外铰可能是双铰链杆的一端，也可能是多铰链杆的一个铰点。外铰上的约束称为外约束。在阿苏尔组中把部分外约束解除而在内部运动链中输入同样数目的外约束,这样阿苏尔组内部运动链上出现外约束,于是内部运动链分解,即杆组的结构分解,变成了简单的构件和二杆组。在如图7-7a所示的杆组中，把外副D上的一个约束(或)解除,如图7-7b，而在内部运动链中选一个内约束(或)，虚拟为已知。于是杆组分解成了如图7-7c所示的简单杆组，可直接求解。

值是否是真正的位置解，要看依次解得位置后，所得

坐标是否满足原始给定的约束条件。不满足就要根据误差情况适当修正

值，再次求解，直到

值满足要求为止。整个过程是一个连续迭代求解过程。图7-7

六杆组7.2.2、用型转化法数值迭代求解图7-8四杆组

如图7-8a所示的四杆组中A，F为外副。解除

和

的约束，虚拟

为已知，这里

应为以F为中心的圆上，所以总能求出。所以此四杆组分解成如图7-8b所示的两个二杆组，可迭代求解，直至F的位置满足精度要求为止。以上两个例子都是能够通过一维迭代求解的杆组。六杆和八杆组大部分属于此种杆组，但也有少数杆组必须通过二维迭代才能求解。如图7-9所示的八杆组就属此种。图7-9八杆组7.2.2、用型转化法数值迭代求解

上述型转化法最终把复杂杆组都化成能够直接求解的二级杆组，若将前面给出的平面机构中二级杆组的求解公式编成子程序，则作各种机构的运动分析时就可以直接调用这些子程序而不必对每种机构推导方程。

综上所述可见，以上解法实质上只有两种：一种是直接求解非线性方程组，一种是降维迭代，但型转化法更具有通用性。第七章习题7-1推导出习图7-1所示四杆组和六杆组的位置求解的非线性方程组，可否化简成一元高次方程，如果可能可以给出所列非线性方程组或高次方程的求解方法，或给出其中的一种的降阶求解过程。图7-1

四杆组和六杆