2024-2025学年山东省聊城市高二下学期期中教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省聊城市2024-2025学年高二下学期期中教学质量检测数学试题注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.小红从6条不同的裙子，3双不同的皮鞋中选择一条裙子和一双皮鞋搭配，则不同的搭配方案共有（）A.18种 B.9种 C.种 D.种【答案】A【解析】完成选一条裙子和一双皮鞋搭配这件事，需要分两步，第一步选裙子有种方法，第二步选皮鞋有种方法，根据分步乘法计数原理，不同的搭配方案共有（种）.故选：A.2.已知函数，则（）A.-2 B.2 C.-1 D.1【答案】C【解析】由，可得，，则，则，故选：C3.二项式的展开式中常数项为（）A.160 B. C.60 D.【答案】C【解析】由二项式的展开式的通项为：；令得到；故二项式的展开式中常数项为.故选C.4.已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】因为随机变量服从两点分布，所以..整理得，解得，.当时，，；当时，，故不合题意.综上，可得.故选：A.5.已知函数及其导函数均为R上的连续函数，且函数的图象如图所示，则（）A.是的极小值点 B.0是的极小值点C.是的最大值 D.不存在最大值【答案】C【解析】根据题意，当时，，则，所以在单调递增，当时，，则，所以在单调递减，当时，，则，所以在单调递减，且，所以是的极大值点，A错误；0不是的极值点，B错误；是的最大值，C正确，D错误.故选：C6.某实验室的6名成员分别参加物理、化学、生物学科的学术研讨会，要求每个学科都有人参会，每人只能选择一科参会，物理学科至少2人参会，则不同的参会方案共有（）A.630种 B.360种 C.240种 D.180种【答案】B【解析】根据题意，物理学科2人参会，则化学和生物分别有1人和3人，各2人或3人和1人参会，有种，物理学科3人参会，则化学和生物分别有1人和2人，或2人和1人参会，有种，物理学科4人参会，则化学和生物分别有1人参会，有种，所以共有种不同的参会方案.故选：B7.已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对任意的，当时，都有，即在上恒成立，设，则当时，恒有，即在上单调递增，又，则在上恒成立，即在上恒成立，设，则，当时，，等号不会同时取到，所以，则在上单调递减，所以，则，所以实数a的取值范围为.故选：D8.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】注意到原式中每一项都可以写成，由组合数的定义可得，所以原式，由二项式定理可知，，两式相加再除以2可得，所以原式.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则一定是函数的极值点【答案】BC【解析】对于选项A：对于，其导数为，而不是，所以选项A错误.对于选项B：先将化简，.对求导可得.将代入可得：，所以选项B正确.对于选项C：根据导数的定义,.对求导，根据复合函数求导公式，则.将代入可得.所以，选项C正确.对于选项D：若，不一定是函数的极值点.例如函数，对其求导可得，令，即，解得.当和时，，函数在上单调递增，所以不是函数的极值点，选项D错误.故选：BC.10.盒子中有3个红球，2个白球，5个蓝球，从盒子中随机依次不放回的取出两个球，记事件A为“第一次取出的是红球”，事件B为“第二次取出的是白球”，事件C为“第二次取出的是蓝球”，则（）A. B.C D.【答案】ACD【解析】对于A，设事件与事件分别为“第一次取出的是白球”与“第一次取出的是蓝球”，则，，，,，所以，故A正确；对于B，，故B不正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确.故选：ACD.11.已知，且，若，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】由题意知，且，，即，令，则，当时，，当时，，故在单调递增，在单调递减，，结合，，即，知，A正确；令，，由于，则，故，即，故在单调递增，则，故，结合可得，由于，故，即，B错误；先证明不等式，设，则即，即证；设，则，由于，但等号取不到，故，则，则在上单调递增，故，即成立，即成立，对于两边取自然对数，得，即，则，故，则，C正确；设，则，当时，，即在上单调递增，故，则，D正确，故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.从1，2，3，4，5中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则得到的三位数中偶数的个数为______．（用数字作答）【答案】24【解析】先填个位数，可以选或，有种方法，然后从剩下的四个数字中任选两个分别填在十位以及百位上，则有种情况，由分步乘法计数原理可知，总情况数有种.故答案为：13.某小学生在一次手工课上，把体积为的橡皮泥，摔成表面中有正方形的一个长方体，再把该长方体的表面贴上彩色包装纸，则所用彩色包装纸的面积的最小值为________．【答案】216【解析】设长方体表面中的正方形边长为，高为，则由题意得，得，所以长方体的表面积为，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以当时取得最小值为，所以所用彩色包装纸的面积的最小值为216.故答案为：21614.已知函数，若关于x的不等式的解集中有且只有三个整数，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】函数的定义域为，，当时，；当时，；即在上单调递增，在上单调递减，且，当时，；当时，；令，则不等式即为，故，即，即，则不等式的解集中有且只有三个整数，即为不等式的解集中有且只有三个整数，由于，且，结合题意可知要满足题意，解集中的三个整数为2,，3，4，需有，即，即实数a的取值范围是，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程、演算步骤．15.在一次抽奖活动中，箱子里有9张不同的奖券，其中4张奖券对应有奖品，其余的无奖品．（1）从该箱子中依次不放回地抽取3张奖券，求第3次抽取才抽到对应有奖品的奖券的概率；（2）从该箱子中随机抽取3张奖券，求抽到对应有奖品的奖券的数量X的分布列．解：（1）记事件A为“第3次抽取才抽到对应有奖品的奖券”，则由题意得．（2）X的可能取值为0，1，2，3．；；；．所以X的分布列为X0123P16.设函数．（1）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值；（2）讨论的单调性．解：（1）函数，求导得，则，又曲线在点处的切线方程为，则，所以.（2）由（1）知，当，即时，由，得；由，得，在上单调递增，在上单调递减；当，即时，恒成立，在R上单调递增；当，即时，由，得；由，得，在上单调递增，在上单调递减；所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数上单调递增；在上单调递减.17.已知，，且．求：（1）m的值；（2）的值；（3）的值．解：（1）的展开式的通项公式为，令，得，所以，令，得，所以，所以，解得．（2）令，得，令，得，所以．（3）对两边分别求导，得，令，得．18.人工智能中的大语言模型Deepseek（以下简称Deepseek）能自动从多种来源收集和整合数据，从而大大提高工作效率，但一些重复性、规律性强的工作岗位可能会被替代，某单位因受到Deepseek的冲击需要对所有员工重新考核竞聘上岗，考核标准如下：进行三次理论考核，每位员工只有通过上一次考核才有资格参加下一次考核，否则直接淘汰,三次考核全部通过方可重新上岗.假设小李通过第一、二、三次理论考核的概率分别为p，，p，每次理论考核是否通过相互独立，小李不会主动弃权．（1）若时，小李通过三次理论考核的概率最大，求的值；（2）当p为（1）中确定的时，公司为了照顾小李，答应当小李至少通过一次理论考核但未能重新上岗时，再给他一次实操考核的机会，若实操考核通过也可重新上岗；若实操考核未通过，则淘汰，已知小李通过实操考核的概率为．求：（ⅰ）小李参加考核的次数的分布列；（ⅱ）小李重新上岗的概率．解：（1）小李通过三次理论考核的概率为，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，小李通过三次理论考核的概率最大．（2）由（1）知．（ⅰ）设小李参加的所有考核的次数为X，则X的可能取值为1，3，4，当小李第一次理论考核未通过时，，，当小李第二次理论考核未通过或通过三次理论考核时，，所以，当小李第三次理论考核未通过时，，，所以小李参加考核的次数X的分布列为X134P（ⅱ）小李第二次理论考核未通过但实操考核通过的概率为，小李第三次理论考核未通过但实操考核通过的概率为，小李通过三次理论考核的概率为，所以小李重新上岗的概率．19.若函数与在区间I上满足:存在实数k,使得对任意，都有则称k为和在I上的同步斜率,已知，，.（1）验证1是否为和在上的同步斜率；（2）若1是和在区间上的同步斜率，求实数a的取值范围；（3）证明：当且时，．解：（1）1是和在上的同步斜率，由题意知，只需证时，．令，则，所以时，，在上单调递增，又因为，所以时，，即在上恒成立．令，则恒成立，所以在上单调递减，又因为，所以，即，所以时，，即1是和在上的同步斜率．（2）由题意知恒成立，令，则在区间上恒成立，，当即时，在区间上恒成立，所以区间上单调递增，Hx>H0=0当，即时，时，，在区间上单调递减，所以存在，使，不符合条件．综上，a的取值范围为．（3）令，由（2）知在区间上恒成立，当且时，，令，得．所以即当且时，．山东省聊城市2024-2025学年高二下学期期中教学质量检测数学试题注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.小红从6条不同的裙子，3双不同的皮鞋中选择一条裙子和一双皮鞋搭配，则不同的搭配方案共有（）A.18种 B.9种 C.种 D.种【答案】A【解析】完成选一条裙子和一双皮鞋搭配这件事，需要分两步，第一步选裙子有种方法，第二步选皮鞋有种方法，根据分步乘法计数原理，不同的搭配方案共有（种）.故选：A.2.已知函数，则（）A.-2 B.2 C.-1 D.1【答案】C【解析】由，可得，，则，则，故选：C3.二项式的展开式中常数项为（）A.160 B. C.60 D.【答案】C【解析】由二项式的展开式的通项为：；令得到；故二项式的展开式中常数项为.故选C.4.已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】因为随机变量服从两点分布，所以..整理得，解得，.当时，，；当时，，故不合题意.综上，可得.故选：A.5.已知函数及其导函数均为R上的连续函数，且函数的图象如图所示，则（）A.是的极小值点 B.0是的极小值点C.是的最大值 D.不存在最大值【答案】C【解析】根据题意，当时，，则，所以在单调递增，当时，，则，所以在单调递减，当时，，则，所以在单调递减，且，所以是的极大值点，A错误；0不是的极值点，B错误；是的最大值，C正确，D错误.故选：C6.某实验室的6名成员分别参加物理、化学、生物学科的学术研讨会，要求每个学科都有人参会，每人只能选择一科参会，物理学科至少2人参会，则不同的参会方案共有（）A.630种 B.360种 C.240种 D.180种【答案】B【解析】根据题意，物理学科2人参会，则化学和生物分别有1人和3人，各2人或3人和1人参会，有种，物理学科3人参会，则化学和生物分别有1人和2人，或2人和1人参会，有种，物理学科4人参会，则化学和生物分别有1人参会，有种，所以共有种不同的参会方案.故选：B7.已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对任意的，当时，都有，即在上恒成立，设，则当时，恒有，即在上单调递增，又，则在上恒成立，即在上恒成立，设，则，当时，，等号不会同时取到，所以，则在上单调递减，所以，则，所以实数a的取值范围为.故选：D8.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】注意到原式中每一项都可以写成，由组合数的定义可得，所以原式，由二项式定理可知，，两式相加再除以2可得，所以原式.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则一定是函数的极值点【答案】BC【解析】对于选项A：对于，其导数为，而不是，所以选项A错误.对于选项B：先将化简，.对求导可得.将代入可得：，所以选项B正确.对于选项C：根据导数的定义,.对求导，根据复合函数求导公式，则.将代入可得.所以，选项C正确.对于选项D：若，不一定是函数的极值点.例如函数，对其求导可得，令，即，解得.当和时，，函数在上单调递增，所以不是函数的极值点，选项D错误.故选：BC.10.盒子中有3个红球，2个白球，5个蓝球，从盒子中随机依次不放回的取出两个球，记事件A为“第一次取出的是红球”，事件B为“第二次取出的是白球”，事件C为“第二次取出的是蓝球”，则（）A. B.C D.【答案】ACD【解析】对于A，设事件与事件分别为“第一次取出的是白球”与“第一次取出的是蓝球”，则，，，,，所以，故A正确；对于B，，故B不正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确.故选：ACD.11.已知，且，若，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】由题意知，且，，即，令，则，当时，，当时，，故在单调递增，在单调递减，，结合，，即，知，A正确；令，，由于，则，故，即，故在单调递增，则，故，结合可得，由于，故，即，B错误；先证明不等式，设，则即，即证；设，则，由于，但等号取不到，故，则，则在上单调递增，故，即成立，即成立，对于两边取自然对数，得，即，则，故，则，C正确；设，则，当时，，即在上单调递增，故，则，D正确，故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.从1，2，3，4，5中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则得到的三位数中偶数的个数为______．（用数字作答）【答案】24【解析】先填个位数，可以选或，有种方法，然后从剩下的四个数字中任选两个分别填在十位以及百位上，则有种情况，由分步乘法计数原理可知，总情况数有种.故答案为：13.某小学生在一次手工课上，把体积为的橡皮泥，摔成表面中有正方形的一个长方体，再把该长方体的表面贴上彩色包装纸，则所用彩色包装纸的面积的最小值为________．【答案】216【解析】设长方体表面中的正方形边长为，高为，则由题意得，得，所以长方体的表面积为，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以当时取得最小值为，所以所用彩色包装纸的面积的最小值为216.故答案为：21614.已知函数，若关于x的不等式的解集中有且只有三个整数，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】函数的定义域为，，当时，；当时，；即在上单调递增，在上单调递减，且，当时，；当时，；令，则不等式即为，故，即，即，则不等式的解集中有且只有三个整数，即为不等式的解集中有且只有三个整数，由于，且，结合题意可知要满足题意，解集中的三个整数为2,，3，4，需有，即，即实数a的取值范围是，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程、演算步骤．15.在一次抽奖活动中，箱子里有9张不同的奖券，其中4张奖券对应有奖品，其余的无奖品．（1）从该箱子中依次不放回地抽取3张奖券，求第3次抽取才抽到对应有奖品的奖券的概率；（2）从该箱子中随机抽取3张奖券，求抽到对应有奖品的奖券的数量X的分布列．解：（1）记事件A为“第3次抽取才抽到对应有奖品的奖券”，则由题意得．（2）X的可能取值为0，1，2，3．；；；．所以X的分布列为X0123P16.设函数．（1）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值；（2）讨论的单调性．解：（1）函数，求导得，则，又曲线在点处的切线方程为，则，所以.（2）由（1）知，当，即时，由，得；由，得，在上单调递增，在上单调递减；当，即时，恒成立，在R上单调递增；当，即时，由，得；由，得，在上单调递增，在上单调递减；所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数上单调递增；在上单调递减.17.已知，，且．求：（1）m的值；（2）的值；（3）的值．解：（1）的展开式的通项公式为，令，得，所以，令，得，所以，所以，解得．（2）令，得，令，得，所以．（3）对两边分别求导，得，令，得．18.人工智能中的大语言模型Deepseek（以下简称Deepseek）能自动从多种来源收集和整合数据，从而大大提高工作效率，但一些重复性、规律性强的工作岗位可能会被替代，某单位因受到Deepseek的冲击需要对所有员工重新考核竞聘上岗，考核标准如下：进行三次理论考核，每位员工只有通过上