2024-2025学年山西省晋城市多校高二上学期期中测评考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山西省晋城市多校2024-2025学年高二上学期期中测评考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.经过，两点的直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，设倾斜角为，则，又，所以．故选：D.2.圆心为点，半径的平方为5的圆的一般方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】圆心为点，半径的平方为5的圆的标准方程为，展开化为一般方程为．故选：B．3.已知直线：（）恒过定点，则该定点为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直线的方程可整理为，令时，，则恒过定点，故选：.4.若是空间的一组基底，是空间的另一组基底，则可以是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，是空间的两组基底，所以，，不共面，，，不共面，设，当时，即时，不能作为基底．对于A，，，，，此时，，故不能作为基底；对于B，，，，，此时，，故不能作为基底；对于C，，，，，此时，无解，故可以作为基底；对于D，，，，，此时，，故不能作为基底．故选：C5.如图，在直三棱柱中，，，，且，，，则点到平面的距离为（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】如图所示建立空间直角坐标系，则，，，，，，设为平面的一个法向量，则可取，则点到平面的距离为．故选：B.6.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆和的渐近线在第一象限交于点，若与另一条渐近线平行，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意，,又为的中点，所以在△中，．如图所示，设与平行的渐近线交于点，即，,由双曲线的对称性可知，所以，所以．因此为等边三角形，即，可得直线斜率为，则的渐近线方程为．故选：.7.已知椭圆：（）的左、右顶点分别为，，左焦点为，点在过点且斜率为的直线上，的中点在上，且，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图所示，由的中点为坐标原点，的中点为点，可知，所以的斜率为，直线，又，所以Q横坐标，故，代入可得，联立，得，化简得，两边同除以，得，解得，所以．故选：B.8.已知点，，定义为，的“对称距离”．若点，在圆：上，则，的“对称距离”的最小值为（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】点，的“对称距离”，相当于点关于直线：的对称点与点的距离，所以当点，在圆上时，点在圆关于的对称圆上，又圆心到直的距离，所以圆与相离，从而圆与圆外离．所以，的“对称距离”的最小值，即为两圆上的点，的距离的最小值，也即点到的距离的最小值的两倍，其中点到的距离最小值为圆心到直的距离减去半径，即，所以所求最小值为．故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于空间向量，下列说法正确的是（）A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线C.若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面D.已知向量，，则在上的投影向量为【答案】ACD【解析】对于A选项，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，A正确；对于B选项，直线的方向向量为，平面的法向量为，则，则，所以或，B错误；对于C选项，对空间中任意一点，有，则，整理得，，由此可得有公共点的三向量共面，即，，，四点共面，C正确；对于D选项，则在方向上的投影向量为，D正确．故选：ACD.10.已知双曲线，的左、右焦点分别为，，斜率为的直线经过且与的右支交于，两点，为坐标原点，则（）A.B.若，则C.D.若，则的面积为【答案】BCD【解析】对于A，根据的渐近线方程为，直线经过且与的右支交于，两点，结合图象可得，所以A错误．对于B，由题意得，解得，故，在中，为的中点，且，故，因为，所以，所以，所以B正确．对于C，，下面说明双曲线上右支上的点横坐标越小，越小，设右支上的点为，，则，故随着的增大，增大，由于与双曲线的右支交于两点，所以当与双曲线的渐近线平行时，最小（不能达到），不妨设此时：，代入双曲线的方程得，解得，所以，则，所以C正确．对于D，由，两边平方得①，在中由余弦定理得，即②，所以②－①得，所以的面积为，所以D正确．故选：BCD11.“没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷”，除了向量线性运算和数量积外常见的还有向量的外积．定义如下，空间向量与的外积是一个向量，其长度等于，其方向满足，，，，且三个向量构成右手系（如图）．在棱长为2的正四面体中，为的中心，下列结论正确的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】对于A，根据外积定义可得，又，A正确；对于B，，，B正确；对于C，根据定义可得，长度相等，方向相反，即，C错误；对于D，，根据定义得与反向，，所以，D正确．故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，，且共面，则______．【答案】【解析】共面，则存在非零实数，满足，则即解得所以，则，所以．13.已知平面内点，，平面内满足的动点的轨迹方程为______．（化简成最简形式）【答案】【解析】设坐标为，由题意得，变形为，两边平方得，化简得，两边平方得，化简得.故答案为：14.已知点是抛物线：（）上一点，若点到抛物线焦点距离为10，且点到轴的距离为6，则______．【答案】2或18【解析】由题意，，则．又点在抛物线上，所以，将和代入可得，解得或18．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，．（1）试用，，表示向量；（2）已知，，且，若，求的值．解：（1）．（2）由可得，即，即，即，即，．16.已知圆的圆心在直线：上，且圆与两坐标轴都相切，圆：．（1）求圆的标准方程；（2）若圆与圆相切，求的值．解：（1）由圆与两坐标轴都相切可知，圆的圆心在直线或上，又直线与直线平行，所以圆心在直线上．联立，可得圆心，半径，所以圆的标准方程为．（2）由题意：，可得圆心，半径，所以．当两圆外切时，，解得，当两圆内切时，，解得．综上，的值为或．17.如图，在平面四边形中，，，，，点，分别是，的中点，将沿翻折至，且点在平面上的射影为平面内一点，且平面．（1）试确定点具体位置；（2）求二面角的余弦值．解：（1），，又平面，平面，，又，都在平面内，平面，．，，即在线段上，过作交于，又，，即，且．平面，则平面与平面交于，且点在上，，平面，平面平面，．又，四边形是平行四边形，是的中点．（2）建立如图所示空间直角坐标系，则，，，由，得，所以，，设为平面的一个法向量，则取，可得：，则，平面法向量可取为，所以即二面角的余弦值为．18.已知双曲线：（，）的右焦点为，右顶点为，直线：与轴交于点，且．（1）求的方程；（2）点为上不同于点的动点，直线交轴于点，过作的两条切线，分别交轴于，两点，交轴于，两点．①证明：是的中点；②证明：．（1）解：如图所示，由右焦点为得，因为，所以，若，则，即，无解；若，则，即，所以，故的方程为．（2）证明：如图所示，设，易知过点且与相切的直线斜率存在且不为，设为，与联立消去整理得，由，整理得，设两条切线，的斜率分别为，，则．①因为，，直线的方程为，则，所以，故是的中点．②由题意，，，，所以，，由，得，所以，得证．19.阅读材料：1．，是平面内两点，把这两点纵坐标伸缩成原来的倍，横坐标不变，即，，若直线的斜率存在，则，，即；2．把圆上所有点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的（），或者把圆上所有点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的（），可以得到椭圆．即圆通过“拉伸”或“压缩”得到椭圆．阅读上述材料，并应用材料提供方法解决下面问题：（1），，是平面内不共线三点，把这些点纵坐标伸缩成原来的倍，横坐标不变，得到点，，，，的面积分别记为，，求证；（2）若直线：与椭圆：交于，两点，且，问的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是说明理由；（3）已知椭圆：的右焦点为，椭圆的左，右顶点分别为，，过的直线交椭圆于，，直线，的斜率分别为，，求证为定值．解：（1）当轴时，，，，，，．当不平行于轴时，过作轴的平行线交直线于点，则．把平面内所有点横坐标不变，纵坐标伸缩成原来的倍，则，，，，则，所以．（2）把椭圆上所有点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的，得到圆．其中，，所以，，所以，又，所以，即，所以，又，所以．（3）把椭圆上所有点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的，得到圆．，，直线，的斜率分别为，，，，所以．设，，则，．又，，，四点共圆，所以．如图弦，的中点为，连接，则，过作，则，所以，所以，即．．山西省晋城市多校2024-2025学年高二上学期期中测评考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.经过，两点的直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，设倾斜角为，则，又，所以．故选：D.2.圆心为点，半径的平方为5的圆的一般方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】圆心为点，半径的平方为5的圆的标准方程为，展开化为一般方程为．故选：B．3.已知直线：（）恒过定点，则该定点为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直线的方程可整理为，令时，，则恒过定点，故选：.4.若是空间的一组基底，是空间的另一组基底，则可以是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，是空间的两组基底，所以，，不共面，，，不共面，设，当时，即时，不能作为基底．对于A，，，，，此时，，故不能作为基底；对于B，，，，，此时，，故不能作为基底；对于C，，，，，此时，无解，故可以作为基底；对于D，，，，，此时，，故不能作为基底．故选：C5.如图，在直三棱柱中，，，，且，，，则点到平面的距离为（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】如图所示建立空间直角坐标系，则，，，，，，设为平面的一个法向量，则可取，则点到平面的距离为．故选：B.6.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆和的渐近线在第一象限交于点，若与另一条渐近线平行，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意，,又为的中点，所以在△中，．如图所示，设与平行的渐近线交于点，即，,由双曲线的对称性可知，所以，所以．因此为等边三角形，即，可得直线斜率为，则的渐近线方程为．故选：.7.已知椭圆：（）的左、右顶点分别为，，左焦点为，点在过点且斜率为的直线上，的中点在上，且，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图所示，由的中点为坐标原点，的中点为点，可知，所以的斜率为，直线，又，所以Q横坐标，故，代入可得，联立，得，化简得，两边同除以，得，解得，所以．故选：B.8.已知点，，定义为，的“对称距离”．若点，在圆：上，则，的“对称距离”的最小值为（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】点，的“对称距离”，相当于点关于直线：的对称点与点的距离，所以当点，在圆上时，点在圆关于的对称圆上，又圆心到直的距离，所以圆与相离，从而圆与圆外离．所以，的“对称距离”的最小值，即为两圆上的点，的距离的最小值，也即点到的距离的最小值的两倍，其中点到的距离最小值为圆心到直的距离减去半径，即，所以所求最小值为．故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于空间向量，下列说法正确的是（）A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线C.若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面D.已知向量，，则在上的投影向量为【答案】ACD【解析】对于A选项，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，A正确；对于B选项，直线的方向向量为，平面的法向量为，则，则，所以或，B错误；对于C选项，对空间中任意一点，有，则，整理得，，由此可得有公共点的三向量共面，即，，，四点共面，C正确；对于D选项，则在方向上的投影向量为，D正确．故选：ACD.10.已知双曲线，的左、右焦点分别为，，斜率为的直线经过且与的右支交于，两点，为坐标原点，则（）A.B.若，则C.D.若，则的面积为【答案】BCD【解析】对于A，根据的渐近线方程为，直线经过且与的右支交于，两点，结合图象可得，所以A错误．对于B，由题意得，解得，故，在中，为的中点，且，故，因为，所以，所以，所以B正确．对于C，，下面说明双曲线上右支上的点横坐标越小，越小，设右支上的点为，，则，故随着的增大，增大，由于与双曲线的右支交于两点，所以当与双曲线的渐近线平行时，最小（不能达到），不妨设此时：，代入双曲线的方程得，解得，所以，则，所以C正确．对于D，由，两边平方得①，在中由余弦定理得，即②，所以②－①得，所以的面积为，所以D正确．故选：BCD11.“没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷”，除了向量线性运算和数量积外常见的还有向量的外积．定义如下，空间向量与的外积是一个向量，其长度等于，其方向满足，，，，且三个向量构成右手系（如图）．在棱长为2的正四面体中，为的中心，下列结论正确的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】对于A，根据外积定义可得，又，A正确；对于B，，，B正确；对于C，根据定义可得，长度相等，方向相反，即，C错误；对于D，，根据定义得与反向，，所以，D正确．故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，，且共面，则______．【答案】【解析】共面，则存在非零实数，满足，则即解得所以，则，所以．13.已知平面内点，，平面内满足的动点的轨迹方程为______．（化简成最简形式）【答案】【解析】设坐标为，由题意得，变形为，两边平方得，化简得，两边平方得，化简得.故答案为：14.已知点是抛物线：（）上一点，若点到抛物线焦点距离为10，且点到轴的距离为6，则______．【答案】2或18【解析】由题意，，则．又点在抛物线上，所以，将和代入可得，解得或18．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，．（1）试用，，表示向量；（2）已知，，且，若，求的值．解：（1）．（2）由可得，即，即，即，即，．16.已知圆的圆心在直线：上，且圆与两坐标轴都相切，圆：．（1）求圆的标准方程；（2）若圆与圆相切，求的值．解：（1）由圆与两坐标轴都相切可知，圆的圆心在直线或上，又直线与直线平行，所以圆心在直线上．联立，可得圆心，半径，所以圆的标准方程为．（2）由题意：，可得圆心，半径，所以．当两圆外切时，，解得，当两圆内切时，，解得．综上，的值为或．17.如图，在平面四边形中，，，，，点，分别是，的中点，将沿翻折至，且点在平面上的射影为平面内一点，且平面．（1）试确定点具体位置；（2）求二面角的余弦值．解：（1），，又平面，平面，，又，都在平面内，平面，．，，即在线段上，过作交于，又，，即，且．平面，则平面与平面交于，且点在上，，平面，平面平面，．又，四边形是平行四边形，是的中点．（2）建立如图所示空间直角坐标系，则，，，由，得，所以，，设为平面的一个法向量，则取，可得：，则，平面法向量可取为，所以即二面角的余弦值为．18.已知双曲线：（，）的右焦点为，右顶点为，直线：与轴交于点，且．（1）求的方程；（2）点为上