2024-2025学年山西省太原市高二上学期11月期中学业诊断数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山西省太原市2024-2025学年高二上学期11月期中学业诊断数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设直线的倾斜角为，即，所以.故选：D2.圆的圆心坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】将圆化为标准式可得，所以圆心为.故选：A3.过点和的椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，点和0,2分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，且椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为，且，，则椭圆的标准方程为.故选：B4.已知，，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】显然，则，解得，则.故选：C.5.已知直线经过点，且平行于直线，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为直线，即，设与平行的直线为，将1,0代入可得，解得，所以直线方程为.故选：A6.已知直线与圆相交于，两点，则的最小值是（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】由直线可得，令，解得，所以直线恒过定点，且圆的圆心，半径为，易知当直线与直线垂直时，弦最短，且，所以.故选：D7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别是，，若椭圆上存在点使得，则椭圆A. B.C. D.【答案】B【解析】设，，由椭圆的定义可得，由余弦定理可得，可得，则，设点，则，则，所以，则，因为，则，则，所以，所以，故.故选：B.8.在如图所示的试验装置中，正方形框的边长是，矩形框中，它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在线段和上移动，则的长的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，因平面平面，且平面平面，又矩形，则，又平面，则平面，因正方形，故可以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.则，连结，设，设，则，则，故当时，取得最小值为，此时取得最小值.故选：C.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知椭圆，则下列说法正确的是（）A.是椭圆的一个顶点 B.是椭圆的一个焦点C.椭圆的离心率 D.椭圆的短轴长为【答案】BCD【解析】由，可知椭圆的焦点在轴上，且，椭圆有四个顶点，分别为，焦点有两个，分别为，椭圆的短轴长为，离心率为.故A错误；B,C,D均正确.故选：BCD.10.已知正四棱锥中，，是的中点，是底面的中心，则下列说法正确的是（）A.B.直线与所成角的余弦值为C.直线与平面所成角的余弦值为D.点到直线距离为【答案】ACD【解析】连接，则为的交点，，正四棱锥中，，平面，则，，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系，由题意得，则，∵，∴，即，故A正确；∵，∴直线与所成角的余弦值为，故B错误；平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，所以，即直线与平面所成角的余弦值为，故C正确；，则点到直线的距离为，故D正确.故选：ACD.11.已知点是圆上的动点，则下列说法正确的是（）A.的最小值为B.的最小值为C.的最大值为D.的最大值为【答案】ABD【解析】由圆可知，圆心为，半径为，A选项，设，则，当直线与圆相切时，有最值，则，解得，则的最小值为，故A选项正确；B选项，因为，表示圆上的点到距离的平方和，故，则，故B选项正确；C选项，当时，此时，故C选项错误；D选项，令，则当直线与圆相切时有最值，即，解得，所以的最大值为，故D选项正确；故选：ABD三、填空题（本题共3小题，每小题3分，共9分）12.直线在轴上的截距为______.【答案】1【解析】因为直线，令，所以直线在轴上的截距为1.故答案为：1.13.已知圆经过直线与圆的公共点和点，则圆的一般方程为______.【答案】【解析】联立或，所以直线与圆的公共点为和1,0，所以圆经过点、1,0和点，设圆的一般方程为，则，所以圆的一般方程为.故答案为：.14.已知点是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值是______.【答案】【解析】如图，设椭圆的右焦点为,连接,因，则，由图知，当，三点共线，且点在之间时，取得最小值,因，，故此时取得最小值为.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知的三个顶点，，.（1）求边AB上的中线所在直线的一般式方程；（2）求边AB上的高所在直线的斜截式方程.解：（1）设是边AB的中点，则即得，边AB上的中线CD的斜率为故其方程为,即得，故边AB上的中线所在直线的一般式方程为；（2），，，边AB上的高所在直线的斜率，边AB上的高所在直线的方程为,其斜截式方程.16.如图，四面体OABC各棱的棱长都是，是的中点，在上，且，记，，.（1）用向量，，表示向量；（2）求OE的长.解：（1）连接OD，则.（2）由（1）得，.17.已知圆与圆.（1）若圆与圆相内切，求的值；（2）在（1）的条件下，直线被圆截得的弦长为，求实数的值.解：（1），，，，，，，，圆与圆相内切，，，（2）由（1）得，圆的方程为，，，故圆心到直线的距离，.18.如图、四棱锥的底面ABCD是菱形，，.（1）求证：平面平面ABCD；（2）求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值.（1）证明：设是AD的中点，连结OP，OB，，，，由勾股定理得，，，∵四边形ABCD是菱形，∴，故为等腰直角三角形，∴，∵，，，∵平面，，平面ABCD，∵平面，平面平面ABCD；（2）解：由（1）得，，，以为原点，OA，OB，OP所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，设是平面PAB的一个法向量，则令，则，设是平面PCD的一个法向量，则令，则，设平面PAB与平面PCD的夹角为，，平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为.19.椭圆规是画椭圆的一种工具，如图所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标，，有一根旋杆将两个滑标连成一体，为旋杆上的一点且在，两点之间.当滑标在滑槽内作往复运动时，滑标在滑槽内随之运动，放置于处的笔尖便可画出椭圆，即动点的轨迹为椭圆.如图所示.设与交于点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，记，.（1）若，，求椭圆的方程；（2）证明：动点的轨迹为椭圆；（3）若，过作两条互相垂直的射线分别交椭圆于点、，求证：点到直线距离为定值.（1）解：由题意可设椭圆的方程，则，，椭圆的方程为；证明：（2）解法一：设，，，由题意得，，，，，整理得，当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆；当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆.…解法二：设，，由题意得，，则，即，当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆；当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆.（3）由题意可得椭圆的方程，当直线的斜率不存在时，设其方程为，则，点到直线距离为；当直线的斜率存在时，设其方程为，Px1,y1由得，，，，即，点到直线距离为，综上所述，点到直线距离为定值山西省太原市2024-2025学年高二上学期11月期中学业诊断数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设直线的倾斜角为，即，所以.故选：D2.圆的圆心坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】将圆化为标准式可得，所以圆心为.故选：A3.过点和的椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，点和0,2分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，且椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为，且，，则椭圆的标准方程为.故选：B4.已知，，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】显然，则，解得，则.故选：C.5.已知直线经过点，且平行于直线，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为直线，即，设与平行的直线为，将1,0代入可得，解得，所以直线方程为.故选：A6.已知直线与圆相交于，两点，则的最小值是（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】由直线可得，令，解得，所以直线恒过定点，且圆的圆心，半径为，易知当直线与直线垂直时，弦最短，且，所以.故选：D7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别是，，若椭圆上存在点使得，则椭圆A. B.C. D.【答案】B【解析】设，，由椭圆的定义可得，由余弦定理可得，可得，则，设点，则，则，所以，则，因为，则，则，所以，所以，故.故选：B.8.在如图所示的试验装置中，正方形框的边长是，矩形框中，它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在线段和上移动，则的长的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，因平面平面，且平面平面，又矩形，则，又平面，则平面，因正方形，故可以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.则，连结，设，设，则，则，故当时，取得最小值为，此时取得最小值.故选：C.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知椭圆，则下列说法正确的是（）A.是椭圆的一个顶点 B.是椭圆的一个焦点C.椭圆的离心率 D.椭圆的短轴长为【答案】BCD【解析】由，可知椭圆的焦点在轴上，且，椭圆有四个顶点，分别为，焦点有两个，分别为，椭圆的短轴长为，离心率为.故A错误；B,C,D均正确.故选：BCD.10.已知正四棱锥中，，是的中点，是底面的中心，则下列说法正确的是（）A.B.直线与所成角的余弦值为C.直线与平面所成角的余弦值为D.点到直线距离为【答案】ACD【解析】连接，则为的交点，，正四棱锥中，，平面，则，，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系，由题意得，则，∵，∴，即，故A正确；∵，∴直线与所成角的余弦值为，故B错误；平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，所以，即直线与平面所成角的余弦值为，故C正确；，则点到直线的距离为，故D正确.故选：ACD.11.已知点是圆上的动点，则下列说法正确的是（）A.的最小值为B.的最小值为C.的最大值为D.的最大值为【答案】ABD【解析】由圆可知，圆心为，半径为，A选项，设，则，当直线与圆相切时，有最值，则，解得，则的最小值为，故A选项正确；B选项，因为，表示圆上的点到距离的平方和，故，则，故B选项正确；C选项，当时，此时，故C选项错误；D选项，令，则当直线与圆相切时有最值，即，解得，所以的最大值为，故D选项正确；故选：ABD三、填空题（本题共3小题，每小题3分，共9分）12.直线在轴上的截距为______.【答案】1【解析】因为直线，令，所以直线在轴上的截距为1.故答案为：1.13.已知圆经过直线与圆的公共点和点，则圆的一般方程为______.【答案】【解析】联立或，所以直线与圆的公共点为和1,0，所以圆经过点、1,0和点，设圆的一般方程为，则，所以圆的一般方程为.故答案为：.14.已知点是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值是______.【答案】【解析】如图，设椭圆的右焦点为,连接,因，则，由图知，当，三点共线，且点在之间时，取得最小值,因，，故此时取得最小值为.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知的三个顶点，，.（1）求边AB上的中线所在直线的一般式方程；（2）求边AB上的高所在直线的斜截式方程.解：（1）设是边AB的中点，则即得，边AB上的中线CD的斜率为故其方程为,即得，故边AB上的中线所在直线的一般式方程为；（2），，，边AB上的高所在直线的斜率，边AB上的高所在直线的方程为,其斜截式方程.16.如图，四面体OABC各棱的棱长都是，是的中点，在上，且，记，，.（1）用向量，，表示向量；（2）求OE的长.解：（1）连接OD，则.（2）由（1）得，.17.已知圆与圆.（1）若圆与圆相内切，求的值；（2）在（1）的条件下，直线被圆截得的弦长为，求实数的值.解：（1），，，，，，，，圆与圆相内切，，，（2）由（1）得，圆的方程为，，，故圆心到直线的距离，.18.如图、四棱锥的底面ABCD是菱形，，.（1）求证：平面平面ABCD；（2）求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值.（1）证明：设是AD的中点，连结OP，OB，，，，由勾股定理得，，，∵四边形ABCD是菱形，∴，故为等腰直角三角形，∴，∵，，，∵平面，，平面ABCD，∵平面，平面平面ABCD；（2）解：由（1）得，，，以为