2024-2025学年四川省凉山州高二上学期综合测评数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省凉山州2024-2025学年高二上学期综合测评数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】方法一：因为，而，所以．故选：C．方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．故选：C．2.已知，则（）A. B. C.0 D.1【答案】A【解析】因为，所以，即．故选：A．3.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，，，∴.故选：D．4.已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（）A. B.9 C.4 D.8【答案】B【解析】圆的圆心为，依题意，点在直线上，因此，即，∴，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为9.故选：B.5.已知点，，若过的直线与线段相交，则直线斜率k的取值范围为（）A. B. C.或 D.【答案】D【解析】根据题意，，，，则，，结合图象可得直线的斜率k的取值范围是.故选：D.6.已知直线过点，且与向量平行，则直线在轴上的截距为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设直线与轴的交点为，因为与向量平行，所以，即，则，所以.故选：D.7.已知点在直线上的运动，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】】表示点与距离的平方，因为点到直线的距离，所以的最小值为．故选：A.8.如图，在平面四边形中，，.若点为边上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】由于，如图，以D为坐标原点，以为轴建立直角坐标系，连接,由于，则≌,而，故，则，则，设，则，，故，当时，有最小值，故选：A．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，不止一个选项符合题目要求，请选出你的选项，全部正确得5分，部分正确得2分，含错误选项或未选择得0分）9.下列结论错误的是（

）A.过点，的直线的倾斜角为B.若直线与直线垂直，则C.直线与直线之间的距离是D.过两点的直线方程为【答案】ACD【解析】对A，设直线倾斜角为，则，所以倾斜角不是，故错误；对B，由两条直线垂直，则，故正确；对C，直线，即，所以与直线之间的距离是，故错误；对D，过两点的直线方程为，故错误.故选：ACD.10.已知事件满足，，则下列结论正确是（

）A.B.如果，那么C.如果与互斥，那么D.如果与相互独立，那么【答案】BCD【解析】对于选项A，，故选项A错误；对于选项B，如果，那么，选项B正确；对于选项C，如果与互斥，那么，所以选项C正确；对于选项D，如果与相互独立，那么，所以选项D正确.故选：BCD.11.如图，正方体的棱长为1，为的中点，为的中点，则（）A. B.直线平面C.直线与平面所成角的正切值为 D.点到平面的距离是【答案】ABD【解析】对于A，，，，为等边三角形，又为的中点，所以，故A正确；对于B，取中点，连接，，，可知且，又且，所以且，所以四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面，故B正确；对于C，取的中点，连接，则，因为平面，所以平面，所以与平面所成的角为，所以，故C错误；对于D，设点到平面的距离为，利用等体积法知，即，解得，故D正确；故选：ABD.12.已知点，，且点在直线：上，则（）A.存在点，使得 B.存在点，使得C.的最小值为 D.最大值为3【答案】BCD【解析】对于A：设，若时，此时的斜率不存在，，与不垂直，同理时与不垂直，当且时，，若，则，去分母整理得，，方程无解，故与不垂直，故A错误；对于B：设，若，则，即，由，所以方程有解，则存在点，使得，故B正确；对于C：如图设关于直线的对称点为，则，解得，即，所以，当且仅当、、三点共线时取等号（在线段之间），故C正确；对于D：如下图，，当且仅当在的延长线与直线的交点时取等号，故D正确.故选：BCD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，，且，则___________.【答案】3【解析】因为，，且，所以，则.14.已知点四点共圆，则点D到坐标原点O的距离为______.【答案】【解析】设过A、B、C的圆的方程为：（），则，解得，所以过A、B、C的圆的方程为：，又因为点D在此圆上，所以，解得，所以点D到坐标原点O的距离为.15.直线的倾斜角的取值范围是___________.【答案】【解析】设直线的倾斜角为，因为直线的斜率，即，所以.16.三棱锥，平面，，，，（单位：cm）则三棱锥外接球的体积等于_____________．【答案】【解析】三棱锥中，平面，，，，画出几何图形如图所示；补充图形为长方体，则棱长分别为1，1，；∵对角线长为，∴三棱锥的外接球的半径为1，∴该三棱锥外接球的体积为．四、解答题（共6题，70分，每个题请写出必要的文字说明、演算或证明过程）17.（1）求过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程.（2）已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，求该圆的方程．解：（1），所以交点坐标为，设所求直线方程为：，则，所以所求直线方程为.（2）由圆心M在直线上，设，又，所以，所以，半径为，所以圆的方程为：.18.青岛二中高一年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中．（1）估计测试成绩的上四分位数和平均分；（2）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在内的概率．解：（1）由频率分布直方图可知，即，又，所以，．测试成绩的上四分位数即分位数，前三组的频率之和为，前四组的频率之和为，则分位数，且．测试成绩的平均分为：.（2）成绩在和内人数之比为，故抽取的4人中成绩在内的有3人，设为，，，成绩在内的有1人，设为，再从这4人中选2人，这2人的所有可能情况为，，，，，，共6种，这2人成绩均在内的情况有，，，共3种，故这2人成绩都在内的概率为．19.已知函数是偶函数.当时，.（1）若函数在区间上单调，求实数的取值范围；（2）已知，试讨论的零点个数，并求对应的的取值范围.解：（1）设，则，则，因为为偶函数，所以，所以，作出的图象如图：因为函数在区间上具有单调性，由图可得或，解得或；所以实数的取值范围是.（2）令，即，由（1）作出的图象如图：由图像可知：当时，有两个零点；当时，有四个零点；当时，有六个零点；当时，有三个零点；当时，没有零点.20.在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点（1）求三棱锥的体积；（2）求直线与平面所成角的大小．解：（1）因为平面，平面，所以，又因为，且平面，所以平面，因为，，，又因为为的中点，所以到平面的距离为，则.（2）以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得，则，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，设直线与平面所成的角为，则，因为，所以，即直线与平面所成的角的大小为21.已知向量，，，设函数（1）求函数的单调递增区间；（2）设，，分别为的内角，，的对边，若，，的面积为，求的值．解：（1），，，令，，解得，，的单调递增区间是，（2）由（1）知：，，，即，，，，，，的面积为，，解得，，由余弦定理得，，综上所述，结论是：.22.已知直线和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，．（1）已知直线，直线，求原点到直线的有向距离；（2）已知点和点，是否存在通过点的直线，使得？如果存在，求出所有这样的直线，如果不存在，说明理由；（3）设直线，问是否存在实数，使得对任意的参数都有：点到的有向距离满足？如果满足，求出所有满足条件的实数；如果不存在，请说明理由．解：（1）由直线，直线，根据点到直线的有向距离公式得，，；即，.（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，舍去；当直线的斜率存在时，直线的方程为，由题意,所以直线可化为，假设，则，解得或．所以存在直线的方程为或；（3）当时，直线，，由，整理得，，，，即，当时，直线，得，由，即，或，解得或，由题意对任意的参数都有恒成立，所以，综上所述，存在实数满足题目条件，即.四川省凉山州2024-2025学年高二上学期综合测评数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】方法一：因为，而，所以．故选：C．方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．故选：C．2.已知，则（）A. B. C.0 D.1【答案】A【解析】因为，所以，即．故选：A．3.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，，，∴.故选：D．4.已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（）A. B.9 C.4 D.8【答案】B【解析】圆的圆心为，依题意，点在直线上，因此，即，∴，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为9.故选：B.5.已知点，，若过的直线与线段相交，则直线斜率k的取值范围为（）A. B. C.或 D.【答案】D【解析】根据题意，，，，则，，结合图象可得直线的斜率k的取值范围是.故选：D.6.已知直线过点，且与向量平行，则直线在轴上的截距为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设直线与轴的交点为，因为与向量平行，所以，即，则，所以.故选：D.7.已知点在直线上的运动，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】】表示点与距离的平方，因为点到直线的距离，所以的最小值为．故选：A.8.如图，在平面四边形中，，.若点为边上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】由于，如图，以D为坐标原点，以为轴建立直角坐标系，连接,由于，则≌,而，故，则，则，设，则，，故，当时，有最小值，故选：A．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，不止一个选项符合题目要求，请选出你的选项，全部正确得5分，部分正确得2分，含错误选项或未选择得0分）9.下列结论错误的是（

）A.过点，的直线的倾斜角为B.若直线与直线垂直，则C.直线与直线之间的距离是D.过两点的直线方程为【答案】ACD【解析】对A，设直线倾斜角为，则，所以倾斜角不是，故错误；对B，由两条直线垂直，则，故正确；对C，直线，即，所以与直线之间的距离是，故错误；对D，过两点的直线方程为，故错误.故选：ACD.10.已知事件满足，，则下列结论正确是（

）A.B.如果，那么C.如果与互斥，那么D.如果与相互独立，那么【答案】BCD【解析】对于选项A，，故选项A错误；对于选项B，如果，那么，选项B正确；对于选项C，如果与互斥，那么，所以选项C正确；对于选项D，如果与相互独立，那么，所以选项D正确.故选：BCD.11.如图，正方体的棱长为1，为的中点，为的中点，则（）A. B.直线平面C.直线与平面所成角的正切值为 D.点到平面的距离是【答案】ABD【解析】对于A，，，，为等边三角形，又为的中点，所以，故A正确；对于B，取中点，连接，，，可知且，又且，所以且，所以四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面，故B正确；对于C，取的中点，连接，则，因为平面，所以平面，所以与平面所成的角为，所以，故C错误；对于D，设点到平面的距离为，利用等体积法知，即，解得，故D正确；故选：ABD.12.已知点，，且点在直线：上，则（）A.存在点，使得 B.存在点，使得C.的最小值为 D.最大值为3【答案】BCD【解析】对于A：设，若时，此时的斜率不存在，，与不垂直，同理时与不垂直，当且时，，若，则，去分母整理得，，方程无解，故与不垂直，故A错误；对于B：设，若，则，即，由，所以方程有解，则存在点，使得，故B正确；对于C：如图设关于直线的对称点为，则，解得，即，所以，当且仅当、、三点共线时取等号（在线段之间），故C正确；对于D：如下图，，当且仅当在的延长线与直线的交点时取等号，故D正确.故选：BCD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，，且，则___________.【答案】3【解析】因为，，且，所以，则.14.已知点四点共圆，则点D到坐标原点O的距离为______.【答案】【解析】设过A、B、C的圆的方程为：（），则，解得，所以过A、B、C的圆的方程为：，又因为点D在此圆上，所以，解得，所以点D到坐标原点O的距离为.15.直线的倾斜角的取值范围是___________.【答案】【解析】设直线的倾斜角为，因为直线的斜率，即，所以.16.三棱锥，平面，，，，（单位：cm）则三棱锥外接球的体积等于_____________．【答案】【解析】三棱锥中，平面，，，，画出几何图形如图所示；补充图形为长方体，则棱长分别为1，1，；∵对角线长为，∴三棱锥的外接球的半径为1，∴该三棱锥外接球的体积为．四、解答题（共6题，70分，每个题请写出必要的文字说明、演算或证明过程）17.（1）求过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程.（2）已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，求该圆的方程．解：（1），所以交点坐标为，设所求直线方程为：，则，所以所求直线方程为.（2）由圆心M在直线上，设，又，所以，所以，半径为，所以圆的方程为：.18.青岛二中高一年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中．（1）估计测试成绩的上四分位数和平均分；（2）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在内的概率．解：（1）由频率分布直方图可知，即，又，所以，．测试成绩的上四分位数即分位数，前三组的频率之和为，前四组的频率之和为，则分位数，且．测试成绩的平均分为：.（2）成绩在和内人数之比为，故抽取的4人中成绩在内的有3人，设为，，，成绩在内的有1人，设为，再从这4人中选2人，这2人的所有可能情况为，，，，，，共6种，这2人成绩均在内的情况有，，，共3种，故这2人成绩都在内的概率为．19.已知函数是偶函数.当时，.（1）若函数在区间上单调，求实数的取值范围；（2）已知，试讨论的零点个数，并求对应的的取值范围.解：（1）设，则，则，因为为偶函数，所以，所以，作出的图象如图：因为函数在区间上具有单调性，由图可得或，解得或；所以实数的取值范围是.（2）令，即，由（1）作出的图象如图：由图像可知：当时，有两个零点；当时，有四个零点；当时，有六个零点；当时，有三个零点；当时，没