（人教A版）选择性必修一高二数学上册同步精讲精练第1章 空间向量与立体几何 章末测试（提升）（解析版）

1/27第1章空间向量与立体几何章末测试（提升）单选题1．已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此时有，故正确；选项B，当四边形ABCD为正方形时，可得AC⊥BD，，，平面BB1D1D，可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此时有，故正确；选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1，平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此时必有0，故正确；选项D，由长方体的性质可得BC⊥平面CDD1C1，平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1为直角三角形，∠BCD1为直角，故BC与BD1不可能垂直，即，故错误.故选：D.2．设是正三棱锥，G是的重心，D是PG上的一点，且，若，则为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为三棱锥是正三棱锥，G是的重心，所以，因为D是PG上的一点，且，所以，因为，所以,因为，所以，所以为，故选：B3．如图，在长方体中，M，N分别为棱，的中点，下列判断中正确的个数为（

）①直线；②平面；③平面ADM.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】设长方体棱长为，以D为坐标原点，分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则故,,故直线不成立，①不正确；在长方体中，平面，②正确，因为，设平面ADM的法向量为，则，令，则，则，而，故，故平面ADM.不成立，故③错误，故选：B4．在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，则，，，，所以，故选：D5．如图，四棱锥中，底面为矩形且平面，连接与，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】C【解析】对于A,因为平面，平面,所以,因为底面为矩形，所以,,平面,所以平面，平面,所以,即，所以，故A不正确；对于B,因为平面，平面,所以,因为底面为矩形，所以,,平面,所以平面，平面,所以,即，所以，故B不正确；对于C，因为底面为矩形，所以与不垂直，所以与不一定垂直，所以与不一定垂直，所以与的数量积不一定为0，故C正确．对于D,因为平面，平面,所以,因为底面为矩形，所以,,平面,所以平面，平面,所以,即，所以，故D不正确.故选：C.6．在矩形ABCD中，O为BD中点且，将平面ABD沿对角线BD翻折至二面角为90°，则直线AO与CD所成角余弦值为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】在平面中过作，垂足为；在平面中过作，垂足为.由于平面平面，且交线为，所以平面，平面，设，，同理可得，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，设与所成角为，则.故选：C7．如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设，，则，，由得，即，由于，所以，，所以点的轨迹为面上的直线：，，即图中的线段，由图知：，故选：B.8．如图所示，圆柱中，是底面直径，点是上一点，，点是母线上一点，点是上底面的一动点，，，，则（

）A．存在点，使得B．存在唯一的点，使得C．满足的点的轨迹长度是D．当时，三棱锥外接球的表面积是【答案】D【解析】由圆锥的性质可得平面，如图以为原点，为的正方向建立空间直角坐标系，设，，则，，，，设关于点的对称点为，因为，，所以，所以，又，所以，A错误，又，因为，所以，所以，所以，所以满足的点的轨迹为圆，B错误，因为，，，所以，所以，故，所以满足的点的轨迹为线段，所以，C错误，因为，,,所以为直角三角形，取的中点为,又为直角三角形，所以,故为三棱锥外接球的球心，故外接球的半径为，所以三棱锥的外接球的表面积为，D正确，故选：D.二、多选题9．在边长为1的正方体中，M，N分别是，的中点，则（

）A．异面直线与MN所成的角为B．二面角的正切值为C．点C到平面BMN的距离是点到平面BMN的距离的2倍D．过A，M，N三点的平面截该正方体所得截面的周长是【答案】BCD【解析】对于A，连接，因为M，N分别是，的中点，所以∥，因为∥，所以∥，所以异面直线与MN所成的角，因为为等边三角形，所以，所以异面直线与MN所成的角为，所以A错误，对于B，如图，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，令，则，向量为平面的一个法向量，设二面角的大小为，由图可知为锐角，则，所以所以，所以B正确，对于C，设，分别到平面的距离为，因为，所以,所以，所以，所以，所以点C到平面BMN的距离是点到平面BMN的距离的2倍，所以C正确，对于D，作直线，分别延长交于，连接交于，连接交于，连接，则五边形为过A，M，N三点的截面，因为正方体的棱长为1，所以，因为∽，所以，所以，所以，所以，，同理可得，，所以五边形的周长为，所以D正确，故选：BCD10．如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面，O，P分别是的中点，M是棱SD上的动点，则下列选项正确的是（

）A．B．存在点M，使平面SBCC．存在点M，使直线OM与AB所成的角为30°D．点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值【答案】ABD【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系（如图），设，则，由M是棱SD上的动点，设，，，，故A正确；当为的中点时，是的中位线，所以，又平面，平面，所以平面，故B正确；，若存在点M，使直线OM与AB所成的角为30°，则，化简得，方程无解，故C错误；点M到平面ABCD的距离，点M与平面SAB的距离，所以点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为，是定值，故D正确；故选：ABD11．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.记，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由，故A正确；由为中点，所以，故B错误；对C，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，即模长为，夹角为，，所以，故C正确；，，又，所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题12．四面体OABC的所有棱长都等于，E，F，G分别为OA，OC，BC中点，则___________.【答案】【解析】四面体OABC的所有棱长都等于，则此四面体是正四面体，不共面，，因E，F，G分别为OA，OC，BC中点，则，，所以.故答案为：13.如图所示的木质正四棱锥模型，过点作一个平面分别交，，于点E，F，G，若，，则的值为___________.【答案】【解析】在正四棱锥中，连接交于点，连接,则平面，以AC、BD交点O为坐标原点，射线OA、OB、OP为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，设，，，，(a、b>0)，则，，，，∴，，由题意四点共面，则有，其中，设，∴由方程组，即，解得，所以，故选：C.14.如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______．【答案】【解析】连接，如图，因平面ABC，平面ABC，则，而，，平面PAB，则平面PAB，又平面PAB，即有，因M是AC的中点，则，又，，当且仅当取“=”，所以的最小值为.故答案为：四、解答题15.如图所示，四棱锥中，平面平面，底面是边长为2正方形，，与交于点，点在线段上.(1)求证：平面；(2)若平面，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）证明：因为平面平面且交线为，又平面且，所以平面，又平面，所以.因为是边长为2正方形，所以，又，所以，即，又因为，平面，所以平面.（2）解：因为平面，平面，平面平面，所以，因为为的中点，所以为的中点，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则有，易得平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，取，则，设平面与平面所成夹角为，则，所以平面与平面所成夹角的余弦值为.16.如图所示，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点，AB=CE.（1）求证:DE∥平面ACF；（2）求异面直线EO与AF所成角的余弦值；（3）求AF与平面EBD所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】（1）证明：连结OF，∵在四棱锥E﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ADC＝60°,AC与BD交于点O,∴O是BD中点,∵F为BE的中点,∴OF∥DE,∵DE⊄平面ACF,OF⊂平面ACF,∴DE∥平面ACF．（2）取线段AD的中点G，连接CG，由题知△ACD为正三角形，∴CG⊥AD，又AD∥BC，∴CG⊥BC，以C为坐标原点，CG，CB，CE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AB=CE=2，则E(0,0,2),B(0,2,0),A(,1,0),D(,-1,0)∵O，F分别为BD，BE的中点，∴，F(0,1,1),∴设异面直线EO与AF所成角为，则即异面直线EO与AF所成角的余弦值为.（3）设平面EBD的法向量为，由得，令，则设AF与平面EBD所成角为，又，∴∴AF与平面EBD所成角的正弦值.17.在直三棱柱中，E，F分别是，的中点．(1)求证：平面；(2)若，，二面角的余弦值为，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)或【解析】（1）证明：在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，取的中点，连接，，如图则且，又且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．解：因为在直三棱柱中，，所以，，两两垂直，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为E，F分别是，的中点，，设，则，，，，所以，，．设平面的一个法向量，由得令，则，即．设平面的一个法向量，由得,令，则,即．所以，因为二面角的余弦值为，所以，解得或．所以的长为或．18.长方形中，，是中点（图），将沿折起，使得（图）在图中(1)求证：平面平面；(2)在线段上是否存点，使得二面角的余弦值为，说明理由．【解析】（1）在长方形中，连接，因为，是中点，所以，从而，所以．因为，，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）为平面平面，交线是，所以在面过垂直于的直线必然垂直平面．以为坐标原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系．设，则，0，，，2，，，0，，．设，则．设，，是平面的法向量，则，即，取，，．平取面的一个法向量是，1，．依题意，即，解方程得，因此是线段的中点时，二面角为大小