第三章 课时7 利用导数证明不等式

课时7利用导数证明不等式一、考情分析导数中的不等式证明是高考的常考题型，常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果．二、考点扫描考点一利用函数的最值证明不等式例1(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知函数．（1）试讨论的单调性；（2）证明：当时，．规律方法：对点训练已知函数f(x)＝1－eq\f(x－1,ex)，g(x)＝x－lnx.证明：(1)g(x)≥1；(2)(x－lnx)f(x)>1－eq\f(1,e2).考点二分拆成两个函数证明不等式例2已知函数f(x)＝elnx－ax(a∈R)．(1)试讨论f(x)的单调性；(2)证明：当a＝e时，xf(x)－ex＋2ex≤0.规律方法：对点训练(2024·湖南长沙市模拟节选)已知函数f(x)＝axlnx＋x2，g(x)＝ex＋x－1，0<a≤1.求证：f(x)<g(x).考点三放缩后构造函数证明不等式例3证明：当x>0时，ex－sinx－1>xlnx.规律方法：对点训练(2024·山东济南市模拟节选)已知函数f(x)＝ex，证明：当x＞－2时，f(x)＞ln(x＋2).考点四放缩后构造函数证明不等式例4已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1.(1)试讨论函数f(x)的单调性；(2)设a≤－2，证明：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.规律方法：【拓展知识】常用不等式：（应用时须给出证明）（1）；．（2）；．（3）当时，①；②．（4）,.对点训练已知函数f(x)＝ax＋1(x>0)，g(x)＝lnx－eq\f(a－1,x)＋2a.(1)若a＝eq\f(1,2)，试比较函数f(x)与g(x)的大小；(2)若m>n>0，求证：eq\f(m－n,lnm－lnn)>eq\r(mn).拓展与延伸9极值点偏移考情分析极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，解决极值点偏移问题，有对称化构造函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色．知识梳理1.极值点不偏移已知函数f(x)图象的顶点的横坐标就是极值点x0，若f(x)＝c的两根的中点刚好满足eq\f(x1＋x2,2)＝x0，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移.此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢相同，如图①.(无偏移，左右对称，如二次函数)若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝2x0.2.极值点偏移若eq\f(x1＋x2,2)≠x0，则极值点偏移，此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢不同，如图②③.(左陡右缓，极值点向左偏移)若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2>2x0.(左缓右陡，极值点向右偏移)若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2<2x0.考点扫描考点一对称化构造函数例1(2024·山东青岛市调研)已知函数f(x)＝xe－x.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2.规律方法：对点训练(2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝eq\f(ex,x)－lnx＋x－a.(1)若f(x)≥0，求实数a的取值范围；(2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1.考点二比、差值换元构造函数例2已知函数f(x)＝lnx－ax(x>0)，a为常数.若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2)，求证：x1x2>e2.规律方法：对点训练(2024·江苏南通市模拟改编)已知函数f(x)＝aex－x，a∈R.若f(x)有两个不同的零点x1，x2，证明：x1＋x2＞2.巩固提升1、(2024·河北唐山市模拟)已知函数f(x)＝xe2－x.(1)求f(x)的极值；(2)若a>1，b>1，a≠b，且f(a)＋f(b)＝4，证明：a＋b<4.2、(2024·河北沧州市模拟)已知函数f(x)＝lnx－ax－1(a∈