小升初数学专题3和差问题

小升初数学专题3：从课本到奥数和差问题（解析版）基本概念已知两数的和及它们的差（一般指：大数－小数），求这两个数各是多少的应用题，叫做和差\t"https://baike.baidu/item/%E5%92%8C%E5%B7%AE%E9%97%AE%E9%A2%98/_blank"应用题，简称和差问题。基本数量关系（1）（和+差）÷2=大数（2）（和差）÷2=小数基本方法解答某些复杂的应用题时，如果没有直接告诉我们两个数的和与差，可以通过转化求它们的和与差，再按照和差问题的解法来解答。主要类型类型1：算式里的和差问题1.在一道减法算式里，被减数、减数与差这三个数的和是256，其中减数比差小32，求差。解：差+减数：256÷2=128，差减数=32，差：（128+32）÷2=80。答：差为80。点拨：解答本题的3个关键：一是根据三个数的和256，得到减数+差的和；二是根据32，得到减数与差的大小关系；三是正确选择公式，进行解答。类型2：平均数中的和差问题2.小强期终考试时语文和数学的平均分数是96分，数学比语文多8分，问语文和数学各得了多少分?解：数学+语文：2×96=192（分），数学语文：8分，数学：（192+8）÷2=100（分），语文：1008=92（分）。答：语文、数学各得92分、100分。点拨：已知平均分时，立即求总分。3.小明期终考试的语文、数学和英语的平均分是95分，数学比语文多6分，英语比语文多9分。小明期终考试三门功课各多少分？解：语文、数学、英语总分：3×95=285（分），语文：（28567）÷3=90（分），数学：90+6=96（分），英语：90+9=99（分）。答：语文、数学、英语各90分、96分、99分。点拨：画线段示意图，得到三科分数之间的关系，是解答问题关键。本题非常规的和差问题。类型3：同增、同减或增减后相等题目中的和差问题4.甲、乙两桶水共重60千克，从甲桶倒出8千克水倒入乙桶中，那么两桶水重量正好相等。原来甲、乙两桶水各重多少千克？解：甲桶+乙桶：60千克，甲桶乙桶：2×8=16（千克)，甲桶：（60+16）÷2=38（千克），乙桶：6038=22（千克）。答：甲、乙两桶水各重38千克、22千克。点拨：条件“从甲桶倒出8千克水倒入乙桶中，那么两桶水重量正好相等”，等同于甲桶、乙桶相差2×8=16（千克)。5.甲、乙两船共载客623人，若甲船增加34人，乙船减少57人，这时两船乘客人数正好相等，求两船原来分别载客多少人?解：乙船+甲船：623人，乙船甲船：34+57=91（人），乙船：（623+91）÷2=357（人），甲船：623357=266（人）。答：甲、乙两船分别载客266人、357人。点拨：一是判断两船中，哪船人多；二是会求两船相差多少人。类型4：分解质因数中的和差问题6.两个自然数的和与这两个数差的积是85，求这两个自然数各是多少?解：85=17×5=85×1（1）（17+5）÷2=11，（175）÷2=6；（2）（85+1）÷2=43，（851）÷2=42。答：这两个自然数分别是11、6或43、42。点拨：理解题目字面意思，是解答问题的关键；容易漏掉其中一个答案。类型5：工程中的和差问题7.小江、小王两人合打一份稿件，2小时共打了16800个字。如果分别工作5小时，小江比小王多打字6000个，求小江、小王每分钟各打多少个字。解：每分钟小江、小王共打：16800÷2÷60=140（个），小江比小王多打：6000÷5÷60=20（个）。小江打：（140+20）÷2=80（个），小王打：（14020）÷2=60（个）。答：小江、小王每分钟各打80个、60个。点拨：根据2个小时共打字数、5个小时打字数量差，求出每小时打字和与差；注意已知小时打的数量，求的每分钟打字数量，易错未单位换算。类型6：交易中的和差问题8.甲、乙两人到书店都买同一本书，看了书的定价后，甲还缺5元，乙还缺6.2元，两人的钱合起来共16.8元，问若两人合买一本，是余钱还是缺钱?余钱的话余多少?缺钱的话缺多少?解：甲+乙：16.8元，甲乙：6.25=1.2（元），甲：（16.8+1.2）÷2=9（元），乙：16.89=7.8（元），每本书：9+5=14（元），16.8元＞14元，16.814=2.8（元）。答：余钱，余2.8元。点拨：根据条件“甲还缺5元，乙还缺6.2元”，计算两人带的钱相差多少元，并判断谁带的钱多，谁带的钱少。类型7：年龄中的和差问题9.四个人年龄之和是88岁，最小的3岁，他与最大的年龄之和比另外两个人年龄之和大8岁。最大的年龄是多少岁？解：最大+最小：（88+8）÷2=48（岁），最大：483=45（岁）。答：最大年龄45岁。点拨：把“最大年龄+最小年龄”、另外两个人年龄之和，分别看成一个整体，利用和差问题，先求出“最大年龄+最小年龄”值，再求最大年龄是多少岁。10.小军一家四口年龄之和是129岁，小军7岁，妈妈30岁，小军与爷爷年龄之和比他父母年龄之和大5岁。爷爷和爸爸的年龄各是多少岁？解：小军+爷爷：（129+5）÷2=67（岁），爷爷：677=60（岁），爸爸：1296730=32（岁）。答：爷爷、爸爸各60岁、32岁。点拨：同第16题，利用整体思想考虑问题。类型8：隐含数量关系中的和差问题11.两个连续奇数的和是36，这两个数分别是多少？解：较小数：（362）÷2=17，较大数：（36+2）÷2=19，或3617=19。答：这两个数分别是17和19.点拨：任意两个连续奇数的差是2。拓展：任意两个连续偶数的差是2，任意两个连续自然数的差是1。12.如图，4个一样大的长方形和1个小正方形拼成了1个大正方形。大正方形的面积是64平方分米，小正方形的面积是4平方分米，问长方形的宽是几分米？解：8×8=64（平方分米），2×2=4（平方分米），大长方形边长为8分米，小正方形边长为2分米；长方形宽：（82）÷2=3（分米）。答：长方形宽是3分米。点拨：隐含数量关系长方形：长+宽=大正方形边长，长宽=小正方形边长。提示：本题除小升初易考外，初一的一元一次方程、初二的二元一次方程组也经常考。13.长方形操场的长与宽相差80米，沿操场跑一周是400米，求这个操场的长与宽是多少米？解：400÷2=200（米），长：（200+80）÷2=140（米），宽：200140=60（米）。答：这个操场长与宽分别是140米、60米。点拨：长方形中，长+宽=周长÷2。拓展：长方体中，长+宽+高=棱长总和÷4。提示：形成一种意识，遇到长方形周长，立即除以2，得长+宽的值；遇到长方体棱长总和，立即除以4，得长+宽+高的值。类型9：整体思想在和差问题中的应用14.某校四个年级共有438名学生，其中一年级119人，四年级101人，一、二年级的总人数比三、四年级的总人数多52人。二、三年级各有多少人？解：一年级+二年级：（438+52）÷2=245（人），二年级：245119=126（人），三年级：438245101=92（人）。答：二、三年级各有126人、92人。点拨：把一、二年级总人数及三、四年级总人数，分别看成一个整体，利用和差问题公式，先求出一、二年级总人数，再求其他量。15.老师出了200道题让王亮、李涛、张清三人做，三人每人都作对了120道，且每道题都有人做对，如果把三人都做对的称为简单题，只有一人做对的称为难题，那么难题比简单题多几道？解：设难题有a道，简单题有b道，中档题（恰有2人作对的）有c道，根据题意有由①×②，得2a+2b+2c=400③，由③②，得ac=40，难题比简单题多40道。答：难题比简单题多40道。点拨：本题为复杂的和差问题，利用设未知数的解法，非常简单。说明：在求2a+2b+2c=400与a+2b+3c=120×3差，其本质是利用了广义的和差问题思想。类型10：相遇问题中的和差问题16.甲、乙两车从相距2480千米的两地同时相向而行，因遇风雪，甲车速度比原计划减少了25千米/时，乙车速度比原计划减少了20千米/时，出发后，经过16小时两车相遇，已知甲车原计划比乙车快20千米/时，请问甲车原计划的速度是多少千米/时?解：出发后：V甲+V乙=2480÷16=155（千米/时）原计划：V甲+V乙=155+25+20=200（千米/时）V甲V乙=20（千米/时）V甲=（200+20）÷2=110（千米/时）。答：甲车原计划速度是110千米/时。点拨：相遇问题中，路程和除以行驶时间，等于速度和。类型11：追及问题中的和差问题17.在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每隔4分钟相遇一次，问两人各跑一圈需要几分钟?解：甲、乙速度和：，甲、乙速度差：，假设甲跑得比乙快，甲的速度：（+）÷2=，甲跑完一圈用时：1÷=6（分钟）；乙的速度：（）÷2=，甲跑完一圈用时：1÷=12（分钟）。答：甲、乙各跑一圈分别用时6分钟、12分钟。点拨：环形跑道，同向为追及问题；逆向为相遇问题。类型12：火车过桥问题中的和差问题18.一列快车长230米，一列慢车长220米，若快车从后面追慢车，快车从车头追上慢车车尾到快车车尾离开慢车车头，需90秒钟；若两车相向而行，两车车头相遇到车尾离开，只需18秒钟，问快车和慢车的速度各是多少？解：速度和：（230+220）÷18=25（米/秒），速度差：（230+220）÷90=5（米/秒），快车速度：（25+5）÷2=15（米/秒），慢车速度：（255）÷2=10（米/秒）。答：快车、慢车速度各是15米/秒、10米/秒。点拨：题目中“快车从后面追慢车，快车从车头追上慢车车尾到快车车尾离开慢车车头”，可用图1直观表示。从图中可以看出，快车90s的行程慢车90s的行程=快车长+慢车长。“两车相向而行，两车车头相遇到车尾离开”，若把两车的车尾都看作一个点，则两车头相遇时，两车尾的距离等于两个车长的和，经过18s两车尾离开，可用下页图2直观表示。从图中可以看出，快车18s的行程+慢车18s的行程=快车长+慢车长。巩固训练1.A、B两数的平均数是48，A数比B数大6，求A、B两数分别是多少？解：A：（2×48+6）÷2=51，B：（2×486）÷2=45。答：A、B两数分别是51、45。2.两筐苹果共重86千克，如果从第一筐中取出5千克放入第二筐后，两筐的重量相等，这两筐苹果原来各重多少千克?解：第一筐：（86+2×5）÷2=48（千克），第二筐：（862×5）÷2=38（千克）。答：这两筐苹果原来各重48千克、38千克。3.如果两数的和与两数的差的积是1991，求这两个数。解：1991=11×181=1991×1（1）（181+11）÷2=96，（18111）÷2=85；（2）（1991+1）÷2=996，（19911）÷2=995。答：这两个数是96、85或996、995。4.甲的课外书比乙多9本，比丙多2本，乙、丙共有课外书47本。甲、乙、丙各有多少本课外书?解：丙乙：92=7（本），丙：（47+7）÷2=27（本），乙：277=20（本），甲：20+9=29（本）。答：甲、乙、丙各有29本、20本、27本。点拨：根据条件“甲的课外书比乙多9本，比丙多2本”，得到丙比乙多几本，是解答本题关键。5.哥哥今年14岁，妹妹今年8岁，当兄妹俩岁数的和是42岁时，俩人各应该是多少岁？解：哥哥：（42+6）÷2=24（岁）妹妹：4224=18（岁）。答：那时哥哥24岁，妹妹18岁。点拨：两个人的一生中，年龄差不变。6.今年小明和爸爸的年龄分别是岁和岁，已知+=65，=25。今年小明和爸爸的年龄分别是多少岁？解：爸爸：（65+25）÷2=45（岁）小明：6545=20（岁）。答：小明20岁，爸爸45岁。7.买一个羽毛球和一个乒乓球共需5.9元，一个羽毛球比一个乒乓球贵0.5元，一个羽毛球和一个乒乓球各多少元？解：羽毛球：（5.9+0.5）÷2=3.2（元），乒乓球：5.93.2=2.7（元）。答：一个羽毛球和一个乒乓球各3.2元、2.7元。8.一根绳子长8.4米，将它剪成两段，第一段比第二段长0.8米，两段绳子分别长多少米？解:第一段：（8.4+0.8）÷2=4.6（米），第二段：8.44.6=3.8（米）。答：两段绳子分别长4.6米、3.8米。9.某体育场的环形跑道长400m，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和自行车，如果反向而行，他们每隔4分钟相遇一次；如果同向而行，那么每隔10分钟乙就追上甲一次。则甲、乙的速度是多少？解：乙速度和：400÷4=100（米/分），甲、乙速度差：400÷10=40（米/分），由“如果同向而行，那么每隔80s乙就追上甲一次”，知乙跑得比甲快，乙的速度：（100+40）÷2=70（米/分）,甲的速度：10070=30（米/分）。答：甲、乙速度分别是30米/分、70米/分。10.某校四个年级共有138名学生参加数学竞赛，其中一、二年级共70名，一、三年级共65名，二、三年级共59名。四年级有多少名？解：二、三年级共：（70+65+59）÷3=97（人），四年级：13897=41（人）。答：四年级有41分。点拨：把一、二、三年级共有多少人，看成一个整体，求出结果，再求四年级人数。本题非常规和差问题，主要渗透整体思想、三元一次方程组相关知识。11.有三只船共运木板9800块，第一只船比其余两船共运的少1400块，第二只船比第三只船少运200块。三只船各运木板多少块？解：第二只船、第三只船共运：（9800+1400）÷2=5