线性代数排列题库及答案

线性代数排列题库及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.设\(n\)阶行列式\(D\)，如果\(D\)的元素\(a_{ij}\)与\(a_{ji}\)（\(i,j=1,2,\cdots,n\)）都相等，则称\(D\)为（）A.反对称行列式B.对称行列式C.奇异行列式D.非奇异行列式答案：B2.行列式\(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\)的值为（）A.\(ad-bc\)B.\(ac-bd\)C.\(ab-cd\)D.\(a+d-b-c\)答案：A3.设\(A\)是\(n\)阶方阵，\(\lambda\)为实数，则\(\vert\lambdaA\vert=\)（）A.\(\lambda\vertA\vert\)B.\(\vert\lambda\vert\vertA\vert\)C.\(\lambda^{n}\vertA\vert\)D.\(\vert\lambda\vert^{n}\vertA\vert\)答案：C4.设\(A,B\)为\(n\)阶方阵，则\((AB)^{-1}=\)（）A.\(A^{-1}B^{-1}\)B.\(B^{-1}A^{-1}\)C.\(\frac{1}{\vertAB\vert}(AB)^{}\)D.\(\frac{1}{\vertA\vert\vertB\vert}B^{}A^{}\)答案：B5.若\(n\)阶方阵\(A\)可逆，则\(r(A)=\)（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(n-1\)D.\(n\)答案：D6.设\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，则\(A\)的伴随矩阵\(A^{}=\)（）A.\(\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}-4&2\\3&-1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}4&3\\2&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}-4&-3\\-2&-1\end{pmatrix}\)答案：A7.向量组\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\)线性相关的充要条件是（）A.其中至少有一个零向量B.其中至少有两个向量成比例C.其中至少有一个向量可由其余向量线性表示D.它们的秩小于\(s\)答案：C8.设\(A\)是\(m\timesn\)矩阵，\(r(A)=r\)，则\(Ax=0\)的基础解系所含向量个数为（）A.\(r\)B.\(n-r\)C.\(m-r\)D.\(n\)答案：B9.设\(\lambda_{1},\lambda_{2}\)是矩阵\(A\)的两个不同的特征值，\(\xi_{1},\xi_{2}\)是分别属于\(\lambda_{1},\lambda_{2}\)的特征向量，则（）A.\(\xi_{1}+\xi_{2}\)是\(A\)的特征向量B.\(\xi_{1}-\xi_{2}\)是\(A\)的特征向量C.\(\xi_{1}\)与\(\xi_{2}\)线性相关D.\(\xi_{1}\)与\(\xi_{2}\)线性无关答案：D10.二次型\(f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=x^{T}Ax\)正定的充要条件是（）A.\(A\)的所有特征值大于零B.\(A\)的所有顺序主子式大于零C.\(A\)的所有主子式大于零D.\(r(A)=n\)答案：B二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列关于行列式性质的说法正确的是（）A.行列式某行（列）元素的公因子可以提到行列式符号外面B.行列式某行（列）元素加上另一行（列）对应元素的\(k\)倍，行列式的值不变C.互换行列式两行（列），行列式变号D.若行列式某行（列）元素全为零，则行列式的值为零答案：ACD2.设\(A,B,C\)为\(n\)阶方阵，则下列等式正确的是（）A.\((A+B)+C=A+(B+C)\)B.\((AB)C=A(BC)\)C.\(A(B+C)=AB+AC\)D.\((A+B)C=AC+BC\)答案：ABCD3.设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(\lambda\)为实数，则下列关于矩阵\(A\)与\(\lambdaA\)的关系正确的是（）A.若\(A\)可逆，则\(\lambdaA\)也可逆（\(\lambda\neq0\)）B.\(r(A)=r(\lambdaA)\)（\(\lambda\neq0\)）C.\((\lambdaA)^{T}=\lambdaA^{T}\)D.\(\vert\lambdaA\vert=\lambda^{n}\vertA\vert\)答案：ABCD4.设\(A\)是\(n\)阶方阵，\(A^{}\)是\(A\)的伴随矩阵，则下列结论正确的是（）A.\(AA^{}=\vertA\vertI\)B.若\(A\)可逆，则\(A^{}=\vertA\vertA^{-1}\)C.若\(A\)为奇异矩阵，则\(r(A^{})\leq1\)D.\((A^{})^{}=\vertA\vert^{n-2}A\)答案：ABCD5.向量组\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\)线性无关的充分条件是（）A.该向量组中任意两个向量都不成比例B.该向量组的秩等于\(s\)C.该向量组中向量的个数小于向量的维数D.该向量组中任意一个向量都不能由其余向量线性表示答案：ABD6.设\(A\)是\(m\timesn\)矩阵，\(B\)是\(n\timesm\)矩阵，则（）A.当\(m>n\)时，\(\vertAB\vert=0\)B.\(r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}\)C.\(AB\)与\(BA\)有相同的特征值D.若\(A\)列满秩，\(B\)行满秩，则\(r(AB)=m\)答案：ABD7.设\(\lambda\)是\(n\)阶方阵\(A\)的特征值，\(\xi\)是属于\(\lambda\)的特征向量，则（）A.\(\lambda^{2}\)是\(A^{2}\)的特征值B.\(\lambda+1\)是\(A+I\)的特征值C.\(\frac{1}{\lambda}\)是\(A^{-1}\)的特征值（\(A\)可逆）D.\(\vert\lambda\vert\)是\(\vertA\vert\)的特征值答案：ABC8.对于实对称矩阵\(A\)，下列说法正确的是（）A.\(A\)的特征值都是实数B.属于不同特征值的特征向量正交C.存在正交矩阵\(Q\)，使得\(Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ\)为对角矩阵D.\(A\)一定是正定矩阵答案：ABC9.二次型\(f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=x^{T}Ax\)经可逆线性变换\(x=Cy\)化为二次型\(y^{T}By\)，则（）A.\(A\)与\(B\)合同B.\(r(A)=r(B)\)C.\(A\)与\(B\)相似D.\(A\)与\(B\)有相同的正负惯性指数答案：ABD10.设\(A\)为\(n\)阶正定矩阵，则（）A.\(A\)的主对角线元素都大于零B.\(A\)的行列式大于零C.\(A\)的特征值都大于零D.\(A\)的所有顺序主子式大于零答案：ABCD三、判断题（每题2分，共10题）1.若\(n\)阶方阵\(A\)的行列式\(\vertA\vert=0\)，则\(A\)的行向量组线性相关。（）答案：正确2.设\(A,B\)为\(n\)阶方阵，则\((A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}\)。（）答案：错误3.若\(n\)阶方阵\(A\)不可逆，则\(Ax=0\)有无穷多解。（）答案：正确4.向量组\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\)的秩等于向量组\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s},\beta\)的秩，则\(\beta\)可由\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\)线性表示。（）答案：错误5.设\(\lambda\)是\(n\)阶方阵\(A\)的特征值，则\(\lambda^{k}\)是\(A^{k}\)的特征值。（）答案：正确6.实对称矩阵\(A\)的不同特征值对应的特征向量一定正交。（）答案：正确7.二次型\(f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=x^{T}Ax\)，若\(A\)的所有顺序主子式大于零，则\(f\)正定。（）答案：正确8.设\(A,B\)为\(n\)阶方阵，若\(AB=I\)，则\(BA=I\)。（）答案：正确9.若\(n\)阶方阵\(A\)的秩\(r(A)=n-1\)，则\(A^{}\)的秩\(r(A^{})=1\)。（）答案：正确10.设\(A\)为\(n\)阶方阵，若\(\vertA\vert\neq0\)，则\(A\)的列向量组线性无关。（）答案：正确四、简答题（每题5分，共4题）1.简述行列式按行（列）展开定理。答案：\(n\)阶行列式\(D\)等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即\(D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}(i=1,2,\cdots,n)\)或\(D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}(j=1,2,\cdots,n)\)。2.什么是向量组的极大线性无关组？答案：向量组的一个部分组如果满足线性无关，并且再添加向量组中的任何一个向量就线性相关，则这个部分组称为向量组的极大线性无关组。3.简述矩阵相似的定义。答案：设\(A,B\)为\(n\)阶方阵，如果存在可逆矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP=B\)，则称\(A\)与\(B\)相似。4.简述二次型正定的定义。答案：对于二次型\(f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=x^{T}Ax\)，如果对于任意非零向量\(x=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})^{T}\)，都有\(f(x)>0\)，则称二次型\(f\)是正定二次型。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论\(n\)阶方阵\(A\)可逆的几种判别方法。答案：1.行列式判别法，若\(\vertA\vert\neq0\)，则\(A\)可逆；2.秩判别法，若\(r(A)=n\)，则\(A\)可逆；3.特征值判别法，若\(A\)的所有特征值都不为零，则\(A\)可逆；4.若存在\(n\)阶方阵\(B\)，使得\(AB=BA=I\)，则\(A\)可逆。2.讨论向量组线性相关与线性无关的性质差异。答案：线性相关向量组至少有一个向量可由其余向量线性表示，线性无