2025-2026学年河北省邢台市名校联考高二（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年河北省邢台市名校联考高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设x为实数，若向量a=(−2,3),b=(x,−6)，且a//b，则A.−9 B.−4 C.4 D.92.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是(

)A.矩形的直观图是矩形 B.三角形的直观图是三角形

C.相等的角在直观图中仍然相等 D.长度相等的线段在直观图中仍然相等3.若复数z−=(1−i)102+iA.645 B.645i C.−4.我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密.碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱.该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作一个圆台，则该圆台的体积约为(    )(单位：立方厘米)A.31π B.32π C.33π D.34π5.某汽车零件质检员对一批汽油机电火花零件进行质检，记录数据(单位：毫米)为3.56，3.58，3.59，3.95，4.03，对于这五个数据，其上四分位数为(

)A.3.59 B.3.77 C.3.95 D.3.996.用5、6、7这三个数字组成无重复数字的自然数M，记事件A=“M能被5整除”，事件B=“M为奇数”，则事件A与事件B至少有一个发生的概率为(

)A.23 B.13 C.127.在直角梯形ABCD中，已知AB//CD，∠DAB=90°，AB=2AD=2CD=6，点F是BC边靠近B点的三等分点，点E是CD边上一个动点.则EA⋅EF的取值范围是(

)A.[−12B.[0,3] C.[−1D.[−8.如图，AC为圆锥SO的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，SO=12AC=2，则下列结论正确的是(

)A.圆锥SO的侧面积为82π

B.三棱锥S−ABC的体积的最大值为43

C.∠SAB的取值范围是(π4,π2)

D.若AB=BC，E为线段AB9.下列说法正确的是(

)A.设z1，z2为复数，若|z1|=|z2|，则z12=z22

B.若−4+3i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的根，则p=8

C.若|z|=1，10.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，记录每次朝上的点数，设事件A为“没有出现6点”，事件B为“至少出现一次6”，事件C为“三个点数之和为9”，则(

)A.A与B互斥 B.P(B)=91216 C.P(AC)=211.如图，连接一个棱长为52的正方体的六个面的中心形成正八面体ABCDEF(由8个正三角形面组成，对角面为正方形)，M为正八面体棱FC上一点，且CM=15CFA.平面EDC//平面FBA

B.该正八面体外接球的表面积为50π

C.二面角E−AD−F的余弦值为−13

D.异面直线AE与BM所成角的余弦值为2142

三、填空题：本题共3小题，每小题12.若x∈C，则x+|x|=2−3i方程的解为______．13.张华和李明二人进行一场游戏比赛，且比赛中不存在平局，先赢三局者获胜，并可以获得1000元奖金.已知张华、李明二人在每局比赛中获胜的可能性均相同.已知当张华连赢两局，李明一局未赢时，因某种特殊情况需要终止比赛.现将1000元奖金按两人各自最终获胜的可能性的比例进行分配，则张华应该分得______元.14.若正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面棱长为4，侧棱长为靠近点A的三等分点，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，且满足MP与底面ABCD的所成角θ=π3，则点P四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且3(a−b)sinC=3c−4bsinA+sinB．

(1)求sinA；

(2)若b+c=132，a=6，求16.(本小题15分)

已知平面向量|a|=2，|b|=2，且(2a−3b)⋅(2a+b)=4.求：

(1)向量a17.(本小题15分)

为探究某药物对小白鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的100只小白鼠随机均分为两组：对照组(不添加药物)和实验组(添加药物)，饲养相同时间后，分别测量这两组小白鼠的体重增加量(单位：g)，这些小白鼠的体重增加量都在(0,30]内，按照(0,5]，(5,10]，(10,15]，(15,20]，(20,25]，(25,30]分组，得到如下频率分布直方图．

(1)估计对照组小白鼠体重增加量的平均数(每组以该组所在区间的中点值为代表)及中位数；

(2)求a的值及实验组中体重增加量不大于20g的小白鼠的只数；

(3)现从实验组和对照组中各随机抓取1只小白鼠，用事件A表示“所取2只小白鼠体重增加量均超过20g”，事件B表示“2只小白鼠仅有1只体重增加量不超过25g”，求P(A)，P(B)，并判断A，B是否相互独立．18.(本小题17分)

已知m=(3sinx,−cosx)，n=(cosx,cosx)，f(x)=m⋅n，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f(A)=12．

(1)若b=1，c=2，AD为角A的平分线，且交BC于点D，求AD的长；

(2)若△ABC的面积为23，E为BC19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，∠ABC=90°，且PA=AD=2，AB=BC=1，PB=5，E为PD的中点．

(1)证明：CE//平面PAB；

(2)求三棱锥P−ACE的体积；

(3)求二面角E−AC−D

参考答案1.C

2.B

3.A

4.D

5.C

6.A

7.D

8.C

9.BCD

10.ABD

11.ABC

12.−513.875

14.315.(1)因为3(a−b)sinC=3c−4bsinA+sinB，

所以由正弦定理得：3(a−b)c=3c−4ba+b，即b2+c2−a2=43bc，

由余弦定理得：cosA=b2+c2−a16.(1)由|a|=2,|b|=2，(2a−3b)⋅(2a+b)=4a2−4a⋅b−3b2=4，

得8−4a⋅b−12=4，即a⋅b=−2，

则向量a在向量b17.(1)对照组小白鼠体重增加量的平均数估计值为

(2.5×0.010+7.5×0.020+12.5×0.030+17.5×0.040+22.5×0.040+27.5×0.060)×5=19，

又5×(0.010+0.020+0.030+0.040)=0.5，

所以对照组小白鼠体重增加量的中位数估计值为20；

(2)(0.015+0.025+a+0.045+0.050+0.030)×5=1，得a=0.035，

故所求为(0.015+0.025+0.035+0.045)×5×50=30；

(3)由题意知：

从对照组中随机抓取1只小白鼠，体重增加量大于20g的概率为0.5，大于25g的概率为0.3，

从实验组中随机抓取1只小白鼠，体重增加量大于20g的概率为0.4，大于25g的概率为0.15，

所以P(A)=0.5×0.4=0.2，

P(B)=0.3×(1−0.15)+(1−0.3)×0.15=0.36，

P(A)P(B)=0.2×0.36=0.072，

P(AB)=0.3×(0.4−0.15)+(0.5−0.3)×0.15=0.105，

因为P(AB)≠P(A)P(B)，所以A，B不相互独立．18.(1)已知m=(3sinx,−cosx)，n=(cosx,cosx)，

根据平面向量数量积的坐标运算可得f(x)=m⋅n=3sinxcosx−cos2x=32sin2x−1+cos2x2=sin(2x−π6)−12，

由f(A)=12⇒sin(2A−π6)−12=12⇒sin(2A−π6)=1，

由A∈(0,π)⇒2A−π6∈(−π6,11π6)，

因此有2A−π6=π2⇒A=π3，

由已知得∠BAC=π3，

且AD为角A的平分线，所以∠BAD=∠CAD=π6，

因为S△ABC=S△BAD+S△CAD，19.(1)证明：在四棱锥P−ABCD中，取PA中点M，连接EM，BM，

E为PD的中点，M为PA中点，

所以EM//AD，且EM=12AD，

又AD//BC，BC=1，AD=2，BC=12AD，

所以有EM//BC，且EM=BC，

所以四边形BCEM为平行四边形，

则CE//BM，又BM⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，

所以CE//平面PAB．

(2)底面ABCD是直角梯形，BC//AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，

所以BC//平面PAD，

则点C到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离，

所以三棱锥P−ACE的体积VP−ACE=VC−PAE=VB−PAE=VE−PAB，

又E为PD的中点，则点E到平面PAB的距离等于点D到平面PAB的距离的一半，

所以VE−PAB=12VD−PAB，

又PA=AD=2，AB=BC=1，PB=PA2+AB2=22+12=5，

所以PA2+AB2=PB2，故AB⊥A