【初中数学】2024-2025学年新课标基础和提优专题训练 图形的旋转单元练习（100题）附答案

/【初中数学试卷】新课标专题基础和提优训练图形的旋转100题汇编阅卷人一、单选题得分1．如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（）

A．14cm2； B．n4cm2； C．n−14cm2； D．12．在元旦游园晚会上有一个闯关活动：将5张分别画有等腰梯形、平行四边形、等腰三角形、圆、菱形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张，如果翻开的图形是中心对称图形，就可以过关，那么一次过关的概率是（）A．35 B．25 C．153．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△A'B'C，M是AC的中点，N是A'B'的中点，连接A．1 B．3 C．3 D．24．以下现象：①荡秋千；②呼啦圈；③跳绳；④转陀螺．其中是旋转的有（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④5．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP‘重合，如果AP=3，那么PP’的长等于（）

A．33 B．23 C．426．中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是（）A． B．C． D．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A的坐标为(43,0)，∠AOC=60°，对角线OB，AC交于点D，将点D绕点O逆时针旋转90°得到点P，则点A．3,33 B．−33,3 C．−3,38．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△A1B1C，A1B1交AC于点D，若∠A1DC=90°，则∠A的度数是（）A．35° B．50° C．55° D．60°9．如图，△ADE旋转到△CDB，点A与点C是对应点，下列说法错误的是（）A．AD=DC B．AE∥BD C．DE平分∠ADB D．AE=BC10．如图，在6×4的方格纸中，格点△ABC（三个顶点都是格点的三角形）经过旋转后得到格点△DEF，则其旋转中心是（）A．格点M B．格点N C．格点P D．格点Q阅卷人二、填空题得分11．如图，ΔABC中，BP＝CP，DP⊥BC于P，AD平分∠BAC，若∠BAC=84°，则∠BDC=.12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，BC=2，把△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△BED，则对应点C、D之间的距离为13．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=2，将此三角形绕点A旋转，当点B的对应点D在直线BC上，点C的对应点在点E处，那么△BDE的面积是．14．在平面直角坐标系中，Q是直线y=−12x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q'连接OQ15．如图1，O为直线AB上一点，作射线OC，使∠AOC:∠BOC=2:1，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边OP在射线OA上．将图1中的三角尺绕点O以每秒10°的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中，第t秒时，OQ所在直线恰好平分∠AOC，则t的值为．16．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为度.17．2022年2月4日—2月20日，北京冬奥会将隆重开幕，北京将成为世界上第一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的国家．下面图片是在北京冬奥会会徽征集过程中，征集到的一幅图片，整个图片由“京字组成的雪花图案”、“beijing2022”、“奥运五环”三部分组成．对于图片中的“雪花图案”，至少旋转°能与原雪花图案重合．18．如图，一段抛物线：y=−x(x−3)0≤x≤3，记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A19．如图，△A′B′C是由△ABC旋转而成，连接AA′、BB′交点为F，若∠ABC=90°，∠BFA=25°，则∠BAC=．20．如图，△AOB为等腰三角形，AO=AB，顶点A的坐标2,5，底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A'O'B，点A的对应点阅卷人三、计算题得分21．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB上．（1）若BC=6，BD=9，求线段AE的长．（2）连接AD，若∠C=110°，∠BAC=40°，求∠BDA的度数．22．如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，−1)、（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形并写出点B1、（2）将△BOC绕O点逆时针旋转90°，画出旋转后的图形△OB2C23．如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，E是DC上一点，DE=2，将△ADE绕着点A顺时针旋转到△ABF与重合，求EF的长．24．如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点.（1）画出△BCD关于点D的中心对称图形（△AED）；（2）若AC=2，BC=4，根据所作图形直接写出线段CD长的取值范围.25．如图，P是正方形ABCD内一点，△ABP绕着点B旋转后能到达△CBE的位置，若BP=3cm，求线段PE的长．26．如图，直径AB为3厘米的半圆绕点A逆时针旋转60°，使AB到达AC的位置，求图中阴影部分的周长和面积．27．附加题：我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的品四边形叫得等补四边形．（1）如图1，△ABC是等边三角形，在BC上任取一点D（不与B，C重合），连接AD，我们把△ABD绕点A逆时针旋转60°，则AB与AC重合，点D的对应点为点E．请根据给出的定义判断，四边形ADCE______（选择“是”或“不是”）等补四边形．（2）如图2，等补四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，若S四边形ABCD=8（3）如图3，四边形ABCD中，AB=BC，∠A+∠C=180°，BD=5，求四边形ABCD面积的最大值．28．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BC=6，P是边BC上动点，记∠BAP=α．将线段AP绕点A逆时针旋转90°至线段AQ，连接PQ,CQ．（1）求∠ACQ的度数；（2）若PQ=26，求α29．某研究性学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，我们把这种四边形称为“等补四边形”．如何求“等补四边形”的面积呢？探究一：如图2，已知“等补四边形”ABCD，若∠A＝90°，将“等补四边形”ABCD绕点A顺时针旋转90°，可以形成一个直角梯形（如图3）．若BC＝4cm，CD＝2cm，则“等补四边形”ABCD的面积为cm2．探究二：如图4，已知“等补四边形”ABCD，若∠A＝120，将“等补四边形”ABCD绕点A顺时针旋转120°，再将得到的四边形按上述方式旋转120°，可以形成一个等边三角形（如图5）．若BC＝6cm，CD＝4cm，则“等补四边形”ABCD的面积为cm2．由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道BC，CD的长度，就可以求它的面积．那么，如何求一般的“等补四边形”的面积呢？探究三：如图6，已知“等补四边形”ABCD，连接AC，将△ACD以点A为旋转中心顺时针旋转一定角度，使AD与AB重合，得到△ABC'，点C的对应点为点C'．1．由旋转得：∠D＝∠，因为∠ABC+∠D＝180°，所以∠ABC+∠ABC'＝180°，即点C'，B，C在同一直线上，所以我们拼成的图形是一个三角形，即△ACC'．2．如图7，在△ACC'中，作AH⊥BC于点H，若AH＝m，CH＝n，试求出“等补四边形”ABCD的面积（用含m，n的代数式表示），并说明理由．探究四：以下是图7中的“等补四边形”ABCD的四个条件：①BC＝14cm；②CD＝10cm；③AH＝5cm；④AC＝13cm．请你从中选择不超过3个条件（不能有多余条件），并用所选择的条件计算图7中的“等补四边形”ABCD的面积．选择的条件是：；（写出两种不同组合，只填写序号）．“等补四边形”ABCD的面积为cm2．30．两张长方形纸片如图1、图2所示，小容将图1长方形纸片卷起来从而得到一个圆柱体；小易将图2长方形纸片绕其一条边所在直线旋转一周，从而得到一个圆柱体．请你通过计算判断哪位同学得到的圆柱体体积大（π取3）．阅卷人四、解答题得分31．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到在Rt△ABʹCʹ，点Cʹ恰好落在边AB上，连接BBʹ，求∠BBʹCʹ的度数．32．如图，△ABC绕顶点B顺时针旋转140°得△EBD，且连接CD，若∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，求∠BDC的度数．33．如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF,DF的延长线交BE于H点．（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；（2）已知BH=7,BC=13，求DH的长．34．如图，在等边△ABC中，点D是BC边上的点，以AD为边作等边△ADE，连结BE．（1）填空：△ABE可以看成△________以点________为旋转中心，________时针旋转________度得到；（2）若∠DAC=42°，求∠AEB的度数．35．如图中的图案是由一个怎样的基本图形经过旋转、轴对称和平移得到的呢？36．如图，在直角三角形ABC中，∠CAB=90°，∠C=30°，现将△ABC绕点A顺时针旋转α角度得到△ADE（1）若α=28°时，则∠DAC=________°；若0°<α<90°时，α与∠CAE的关系是_______；（2）若0°<α<180°时，∠DAC与∠BAE有怎样的关系？请说明理由．（3）在旋转过程中，若0°<α<180°时，△ADE与△ABC这两个三角形是否存在一组边互相平行？若存在，请求出α的所有可能取值．37．如图，等腰三角形ABC中，BA=BC，∠ABC=α．作CD⊥AB于点D，将线段BD绕着点B逆时针旋转角α后得到线段BE，连接AE．（1）求∠E的度数；（2）若BE=1,AD=2，求CD的长．38．如图，已知△ABC和△AEF中，∠B=∠E，AB=AE，BC=EF，∠EAB=25°，∠F=57°；（1）请说明∠EAB=∠FAC的理由；（2）△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换；（3）求∠AMB的度数．39．如图所示，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC=3，∠B=60°，求CD的长．40．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，点D在线段BC的延长线上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE，射线BA与CE相交于点F．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段BD与CE的数量关系，并证明；（3）若F为CE中点，AB=3，则CE的长为41．在ΔABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、（1）特例体验：如图①，若直线l//BC，AB=AC=2，分别求出线段BD、CE和DE（2）规律探究：(Ⅰ)如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α(0<α<45∘)，请探究线段BD、CE(Ⅱ)如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α(45∘<α<90∘)，与线段BC相交于点H，请再探究线段42．图1、图2分别是7×7的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上．（1）在图1中确定点C、D（点C、D在小正方形的顶点上），并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为15；（2）在图2中确定点E、F（点E、F在小正方形的顶点上），并画出以A、B、E、F为顶点的四边形，使其既是轴对称图形，又是中心对称图形，且面积为15．43．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：​（1）如图1，在△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（2）解决问题：受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF，若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．44．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=5，PB=4，PC=3，将△APB绕点B逆时针旋转，得到△CQB．（1）旋转角为度；（2）求点P与点Q之间的距离；（3）求∠BPC的度数．45．如图1，在△ABC中，AC=BC，将线段CB绕点C逆时针旋转90°，得到线段CD，连接AD，BD．（1）求∠BAD的度数；（2）如图2，若∠ACD的平分线CE交AD于点F，交AB的延长线于点E，连结DE．①证明：△BCD∽△AED；②证明：2CE=DE+BE46．图1，图2均为由边长为1的正六边形构成的网格，每个正六边形的顶点称为格点，△ABC（1）在图1中画出将△ABC绕点C逆时针旋转60∘后的（2）在图2中画出两个大小不一的格点三角形，要求与△ABC47．在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与点B，C重合)，把线段AD绕着点A逆时针旋转至AE(即AD=AE)，使得∠DAE=∠BAC，连接DB，CE．（1）如图(1)，点D在线段BC上，若∠BAC=90°，则∠BCE=；（2）如图(2)，当点D在线段BC上时，若∠BAC=60°，请求出∠BCE的度数．（3）如图(3)，设∠BAC=α，∠BCE=β，当点D在直线BC上移动时，请直接写出α，β的数量关系，不用证明．48．如图，△ABC绕点A逆时针旋转一定角度后得到△ADE，点D在BC上，∠EDC=40°，求∠B的度数．49．已知点A（4，5）、B（6，﹣3）关于点M成中心对称，试确定点M点坐标．50．如图所示，过▱ABCD的对角线的交点O任意画一条直线l，分别交AD、BC于点E、F，l将平行四边形分成两个四边形，这两个四边形是否关于点O成中心对称？请说明理由．​51．如图甲所示，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD.（1）求证：AC+BC=2CD.（2）如图乙所示，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BCD=45°.若AB=25，BC=24，求CD的长.52．△ACB中，∠C=90°，以点A为中心，分别将线段AB，AC逆时针旋转60°得到线段AD，AE，连接DE，延长DE交CB于点F．用等式表示线段CF与AC的数量关系，并加以证明．53．如图，点O为平行四边形ABCD的对称中心，经过点O的直线交边AD于点M，交BA的延长线于点E，交边BC于点N，交DC的延长线于点F．（1）若∠BON=90°，∠DBC=30°，ON=1，求BD的长；（2）连接BM、DN，判断四边形DMBN的形状，并证明；（3）求证：EM=FN．

54．如图所示，把△ABC绕点A旋转至△ADE位置，延长BC交AD于F，交DE于G，若∠CAD=20°，∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB的度数．55．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB上．（1）若BC=6，BD=9，求线段AE的长．（2）连接AD，若∠C=110°，∠BAC=40°，求∠EDA的度数．56．如图所示的图案是由一个梯形经过旋转和对称形成的，则该梯形应该满足什么条件?57．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，BC=1，（1）以点B为旋转中心，将△ABC沿逆时针方向旋转90∘得到△（2）求点A和点A'58．如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE=2，BE=4，∠AEB=90°，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度0≤α≤180°点B、E的对应点分别为点B'、E（1）如图2，在旋转的过程中，点B'落在了AC上，求此时C（2）若α=90°，如图3，得到△ADE'（此时B'与D重合），延长BE交DE'（3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE59．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．（1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A′B′C′，并直接写出△A′B′C′各顶点的坐标；（2）连接BC′，B′C，求四边形BCB′C′的面积．60．如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN=4．把△ADN绕点A顺时针旋转90∘得到（1）求证：△AEM≌△ANM（2）若BM=3，DN．=2，求正方形ABCD的边长．阅卷人五、阅读理解得分61．阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（1）问题解决：受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．①求证：BE+CF＞EF；②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明；（2）问题拓展：如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．62．新定义：如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）【阅读理解】（1）角的平分线_________这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）【初步应用】（2）如图①，∠AOB=48°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC的度数为_________；（直接写出答案）【解决问题】（3）如图②，已知∠AOB=50°，射线OM.从OA出发，以每秒10°的速度绕О点顺时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕О点顺时针旋转，设运动的时间为t秒0<t<5．若OM、ON、OB三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求运动的时间t的值．63．阅读材料：课堂上，老师设计了一个活动：将一个4×4的正方形网格沿着网格线划分成两部分（分别用阴影和空白表示），使得这两部分图形是全等的，请同学们尝试给出划分的方法．约定：如果两位同学的划分结果经过旋转、翻折后能够重合，那么就认为他们的划分方法相同．小方、小易和小红分别对网格进行了划分，结果如图①、图②、图③所示．小方说：“我们三个人的划分方法都是正确的．但是将小红的整个图形（图③）逆时针旋转90°后得到的划分方法与我的划分方法（图①）是一样的，应该认为是同一种方法，而小易的划分方法与我的不同．”老师说：“小方说得对．”完成下列问题：（1）图④的划分方法是否正确？（2）判断图⑤的划分方法与图②小易的划分方法是否相同，并说明你的理由．（3）请你再想出一种与已有方法不同的划分方法，使之满足上述条件，并在图⑥中画出来．64．阅读理解：如图（1），在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（1，2），点B的坐标是（3，4），过点A、点B作平行于x轴、y轴的直线相交于点C，得到Rt△ABC，由勾股定理可得，线段AB＝AC得出结论：（1）若A点的坐标为（x1，y1），B点的坐标为（x2，y2）请你直接用A、B两点的坐标表示A、B两点间的距离；应用结论：（2）若点P在y轴上运动，试求当PA＝PB时，点P的坐标.（3）如图（2）若双曲线L1：y＝kx（x＞0）经过A（1，2）点，将线段OA绕点O旋转，使点A恰好落在双曲线L2：y＝﹣k65．阅读下面材料：如图1，把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度，可以变到△ECD的位置．如图2，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置．如图3，以A点为中心，把△ABC旋转90°，可以变到△AED的位置，像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状和大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．如图4，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF=1回答下列问题（1）在如图4所示，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE移到△ADF的位置？（2）指出如图4所示中的线段BE与DF之间的关系．66．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF=45°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点．易证得：EF=BE+FD．大致证明思路：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，由∠HBE=180°可得H、B、E三点共线，∠HAE=∠EAF=45°，进而可证明△AEH≌△AEF，故EF=BE+DF．任务：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=120°，以A为顶点的∠EAF=60°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF=BE+DF是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．67．（1）阅读理解：如图1，等边三角形△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为思路点拨：考虑到PA，PB，PC不在一个三角形中，采用转化与化归的数学思想，可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP'处，连接PP（2）变式拓展：请你利用第（1）问的方法，解答下面问题：如图2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E，F为BC上的点且∠EAF=45°，BE=12，CF=5，求EF的长度；（3）能力提升：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，∠ABC=30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且68．阅读材料：对于线段的垂直平分线我们有如下结论：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，即如图1．若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．请根据阅读材料，解决下列问题：如图2，直线CD是等边△ABC的对称轴，点D在AB上，E是线段CD上的一动点（点E不与点C，D重合），连接AE，BE，△ABE经顺时针旋转后与△BCF重合．（1）旋转中心是点，旋转角为°；（2）连接AF，求证AF垂直平分BC．69．阅读下列材料：【材料】如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形我们就能证明勾股定理：a2【请回答】如图是任意符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？70．阅读下面材料.如图①，把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度，可以变到△ECD的位置；如图②，以BC为轴，把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图③，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置.像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的.这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换.回答下列问题：（1）在图④中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法怎样变化，使△ABE变到△ADF的位置；（2）指出图中线段BE与DF之间数量和位置关系，并详明理由.阅卷人六、综合题得分71．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，4）（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1，直接写出点A1的坐标；（2）请画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°的图形△A2B2C2，直接写出点A2的坐标；（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．72．如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸上，分别将△ABC向左平移3个单位和绕着点A顺时针旋转90°．（1）画出平移后的△A1B1C1；（2）画出旋转之后的△AB2C2．73．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点坐标分别是A(−3，−3)，B(−1，（1）请画出△ABC绕着点O逆时针旋转90°后得到的△A（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A（3）若△ABC内部一点P(m，n)在△A1B1C1中的对称点P1，在△A2B74．在如图所示的网格中有四边形ABCD.（1）画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于直线MN成轴对称；（2）画出四边形A2B2C2D2，使四边形A2B2C2D2与四边形ABCD关于点O成中心对称；（3）四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2是否对称？若对称，请在图中画出对称轴或对称中心．75．如图，在平面直角坐标系中，直线y=−3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到线段AC，过点B，C作直线，交x轴于点D．（1）点C的坐标为▲；求直线BC的表达式；（2）若点E为线段BC上一点，且△ABE的面积为52（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点P，使以点A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．76．如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30，DM=10.（1）在旋转过程中，①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长。②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长。（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2.此时∠AD2C=135°，CD2=60，求BD2的长.77．如图，平面直角坐标系中，二次函数y=﹣14x2+bx+c的图线与坐标轴分别交于点A、B、C，其中点A（0，8），OB=1（1）求二次函数的表达式；（2）若OD=OB，点F为该二次函数在第二象限内图象上的动点，E为DF的中点，当△CEF的面积最大时，求出点E的坐标；（3）将三角形CEF绕E旋转180°，C点落在M处，若M恰好在该抛物线上，求出此时△CEF的面积．78．如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形：②推断：AGBE的值为▲（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0<α<45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．①求证：△AHG∽△CHA．②若AG=8，GH=22，则BC=▲79．如图，直角坐标平面内有△OAB，其中点A的坐标为(2，3)，点B的坐标为(6，−2)，将△OAB绕点O逆时针旋转90∘得到△OA'B（1）在图中画出△OA（2）连接AB'，求80．（1）如图1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=12∠ABC（0°＜∠CBE＜∠1求证：DE′=DE．（2）如图2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=12求证：DE2=AD2+EC2．阅卷人七、实践探究题得分81．综合探究如图1，在学习了平行四边形相关知识后，老师指导同学们对正方形进行了探究，在正方形ABCD中，过点C作射线CF⊥AC，垂足为C，点P在射线DC上．【动手操作】（1）如图2，若点P是线段DC中点时，连接PA，并将PA绕点P逆时针旋转90°与CF交于点E，根据题意在图中画出图形，并判断线段PA与PE的数量关系为________．【问题探究】（2）若点P在线段DC上时，连接PA，并将PA绕点P逆时针旋转90°与CF交于点E，则（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，若点P在射线DC上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与CF交于点E，如果PC=2，AC=56，求CE82．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3BC=12，点D，E分别是边AB，AC上的点，且AB=3AD，AC=3AE，连接DE．将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）【问题发现】当α=0°时，BDCE=______；当α=180°时，（2）【拓展探究】试判断：当0°<α<180°时，BDCE（3）【问题解决】当△ADE旋转至B，D，E三点共线时，直接写出线段CE的长．83．AC是菱形ABCD的对角线，∠B=60°，AB=2，∠EAF=60°，将∠EAF绕顶点A旋转，∠EAF的两边分别与直线BC、CD交于点E、F，连接EF。（1）[感知]如图①，若E、F分别是边BC、CD的中点，则CE+CF=（2）[探究]如图②，若E是线段BC上的任意一点，求CE+CF的长（3）[应用]如图③，若E是线段BC的延长线上的一点，且EF⊥BC，则△AEF的周长为84．在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．（1）操作判断小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案，如图①．试判断：△ACF的形状为__________．（2）深入探究小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB=2，AD=4．探究一：当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图②．求△CMF的面积．探究二：连接AE，取AE的中点H，连接DH，如图③．线段DH长度的最小值为__________．85．如图：（1）【问题探究】如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD．①请写出AD与BD之间的位置关系：▲；②若AC=BC=10，DC=CE=2，求线段AD的长；（2）【拓展延伸】如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，AC=21，BC=7，CD=3，CE=1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，直接写出线段AD的长．86．【问题提出】在旋转专题复习课中，王老师引导同学们积极探究以下问题：将一大一小两个等腰直角三角板如图1放置，∠BAC=∠AFD=90°，点F在△ABC内，连接BF并延长到点E，使EF=BF，连接BD，CD，DE．探究线段DE与CD的关系．【思路探究】“勤学小组”的解题思路：将线段DE借助平行线进行平移，如图2，过点B作BG平行DE交DF的延长线于点G，这样可以将证明DE和CD的关系转化为BG和CD的关系；“善思小组”的解题思路：结合F为BE的中点构造三角形的中位线，如图3，过点B作BH平行DF交ED延长线于点H，从而借助三角形中位线性质，将DE和CD的关系转化为DH和CD的关系．（1）请你写出线段DE与CD的数量关系________，位置关系________，并证明线段DE与CD的数量关系（写出一种方法即可）；【思维训练】王老师为了进一步让学生体会平行线在图形证明中的作用，又出示了下列问题：（2）如图4，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D为AB上一点，将CD绕点C逆时针旋转60°得到CE，连接BE，DE，O为DE中点，连接BO并延长交CD的延长线于点F，若∠EBO=2∠BCE，探究OF，OB，BE之间的数量关系__________，并说明理由；【能力提升】（3）“创新小组”的同学在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接CE，若F为平面内一点，AD∥CE，CD=2，AC=3，其他条件不变，请直接写出AD的值（参考图5、图6）．87．如图①，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点B在线段AD上，点C在线段AE上，我们很容易得到BD=CE，不需证明．探究：如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转α0<α<90°，连结BD和CE，此时BD=CE是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在BC的延长线上，连结CE（1）求∠ACE的度数；（2）若AB=AC=22，CD=2，则线段DE（3）P为ED中点，当△ADE绕点A逆时针旋转α0<α<360°时，直接写出BP88．【问题情景】含30°角的直角三角板ABC中∠A=30°．将其绕直角顶点C顺时针旋转α角(0°<α<90°)，得到Rt△A（1）如图1，若A'B'（2）【探究发现】如图2是旋转过程的一个位置，过点D作DE∥A'B'交CB'边于点E，连接（3）【拓展延伸】在（2）的条件下，设BC=1，△BDE的面积为S，当S=1①求AD的长；②以点E为圆心，BE为半径作⊙E，并判断此时直线A'C与89．如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠（1）观察猜想：将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图2的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E，则∠CEN=（2）操作探究：将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与NM相交于点E，求（3）深化拓展：将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC旋转多少度时，边CD恰好与边MN平行？90．问题情境：已知矩形ABCD，AB=10，BC=6，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转α0°<α<180°，得到矩形AGFE，点B的对应点是点G，点C的对应点是点F，点D的对应点是点E，连接BG数学发现：（1）如图1，当BG=10时，α=___________°，如图2，当α=90°时，BG=___________；初步探究：（2）如图3，当边EF经过点B时，求BG的长；（3）如图4，当点F落在CB的延长线上时，直接写出四边形AGFB的面积．91．综合与实践问题情境：“综合与实践”课上，老师将一副直角三角板摆放在直线MN上（如图1，∠EDC=90°，∠DEC=60°，∠ABC=90°，∠BAC=45°）．保持三角板EDC不动，老师将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．各小组解决老师给出的问题，又提出新的数学问题，请你解决这些问题．深入探究：①老师提出，如图2，当AC转到与∠DCE的角平分线重合时，∠ECB−∠DCA=15°，当AC在∠DCE内部的其他位置时，结论∠ECB−∠DCA=15°是否依然成立？请说明理由．②勤学小组提出：若AC旋转至∠DCE的外部，∠DCA与∠ECB是否还存在如上数量关系？若存在，请说明理由；若不存在，请写出∠DCA与∠ECB的数量关系，并说明理由．拓展提升：③智慧小组提出：若AC旋转到与射线CM重合时停止旋转．在旋转过程中，直线DE与直线AC是否存在平行的位置关系？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．92．综合探究如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线l上，两个直角三角板分别在直线l的两侧，且∠ABC=∠DCE=90°，∠ACB=45°，∠CED=30°.图1图2（1）如图1，∠ACD=°；（2）如图2，把三角板CDE绕点C旋转，使CE刚好落在∠ACB的平分线上.此时，CD是否平分∠ACF？请说明理由；（3）如图2，把三角板CDE绕点C旋转，使得CE落在∠ACB内部，当∠ACE=10°时，则∠BCD=_▲_°；当∠BCD=110°时，则∠ACE=_▲_°；设∠ACE=α，∠BCD=β，试猜想α与β的数量关系，并说明理由.93．某研究性学习分组在学习《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，我们把这种四边形称为“等补四边形”．如何求“等补四边形”的面积呢？探究一：如图2，已知“等补四边形”ABCD，若∠A=90°，将“等补四边形”ABCD绕点A顺时针旋转90°，可以形成一个直角梯形（如图3）．若BC=8cm，CD=4cm，则“等补四边形”ABCD的面积为______cm2探究二：如图4，已知“等补四边形”ABCD，若∠A=120°，将“等补四边形”ABCD绕点A顺时针旋转120°，再将得到的四边形按上述方式旋转120°，可以形成一个等边三角形（如图5）．若BC=5cm，CD=3cm，则“等补四边形”ABCD的面积为______cm2由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道BC，CD的长度，就可以求它的面积．那么，如何求一般的“等补四边形”的面积呢？探究三：如图6，已知“等补四边形”ABCD，连接AC，将△ACD以点A为旋转中心顺时针旋转一定角度，使AD与AB重合，得到△ABC'，点C的对应点为点（1）由旋转得：∠D=∠______，因为∠ABC+∠D=180°，所以∠ABC＋∠ABC'＝180°，即点C'，B（2）如图7，在△ACC'中，作AH⊥BC于点H，若AC＝13cm，94．九（1）班同学在数学老师的指导下；以“角形的旋转”，为主题，开展数学活动．【操作判断】（1）如图1，在等边三角形ABC中，将△ABC绕点A旋转180°，得到△ADE，连接BE，则∠EBC=________度．若F是BE的中点，连接AF，则AF与DE的数量关系是________．【迁移探究】（2）如图2，（1）中的其他条件不变，当△ABC绕点A逆时针旋转30°，得到△ADE，求出此时∠EBC的度数及AF与DE的数量关系．【拓展应用】（3）如图3，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转α0°<α<360°，得到△ADE，B与D，C与E为对应点，连接BE，F为BE的中点，连接AF，当∠EBC=15°时，求AF95．【问题情境】（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；【操作实践】（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；【探究应用】（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将△PDC绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中∠DAP存在最大值．若PE=8，PF=5，当∠DAP最大时，求AD的长；96．课本再现：如图1，四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，BD=6．（1）求AB，AC的长．应用拓展（2）如图2，E为AB上一动点，连接DE，将DE绕点D逆时针旋转120°，得到DF，连接EF．①求出点D到EF距离的最小值；②如图3，连接OF，CF，若△OCF的面积为63，求BE（备用结论：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半）97．【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A'D'C，∠ADB＝∠A'D'C＝90°，∠B＝∠C＝30°，设AB＝2．【操作探究】如图1，先将△ADB和△A'D'C的边AD、A'D'重合，再将△A'D'C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°），旋转过程中△ADB保持不动，连接BC．（1）当α＝60°时，BC＝；当BC＝22时，α＝°；（2）当α＝90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；（3）如图2，取BC的中点F，将△A'D'C'绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为．98．如图所示，在平面直角坐标系中，点A（−4，3），连结OA，将线段OA绕点O顺时针旋转90°到OB，将点B向左平移5个单位长度至点C，连结BC（1）求点B、点C的坐标；（2）将直线BC绕点C顺时针旋转45°，交x轴于点D，求直线CD的函数表达式；（3）现有一动点P从C出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线CD运动，运动时间为t秒.请探究：当t等于多少时，△BCP为等腰三角形.99．旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．（1）尝试解决：如图①，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6cm，点M是BC上的一动点，将△ABM绕点A旋转后得到△ACN，连接MN．①当BM=2cm时，求AM的长度．②点M在运动过程中，当△AMN的面积最小时，BM=______cm，△AMN的面积的最小值是______cm2（2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形ABCD中，AB=AD=a，CB=CD，AB⊥BC于点B，AD⊥CD于点D，点P、Q分别是AB、AD上的点，且∠PCB+∠QCD=∠PCQ，求△APQ的周长．（结果用含a的代数式表示）100．阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化”问题．如图1，△ABC≌△ADE，其中∠B=∠D=90°，AB=BC=AD=DE=2，此时，点C与点E重合，操作探究1（1）小凡将图1中的两个全等的△ABC和△ADE的按图2方式摆放，点B落在AE上，CB所在直线交DE所在直线于点M，连结AM，直接写出线段BM与线段DM的数量关系是．操作探究2（2）小彬将图1中的△ABC绕点A按逆时针方向旋转角度α(0°<α<90°)，然后分别延长BC，DE，它们相交于点F．如图3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答：①当α=°时，AC∥FE．（直接回答即可）②α=30°时，直接写出线段CE的长为；操作探究3（3）小颖将图1中的△ABC绕点A按顺时针方向旋转角度β(0°<β<90°)，线段BC和DE相交于点F，在操作中，小颖提出如下问题，请你解答：①如图4，当β=60°时，线段CE的长为多少？并说明理由；②当旋转到点F是边DE的中点时，直接写出线段CE的长为．

答案解析部分1．【答案】C2．【答案】A3．【答案】B4．【答案】D5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】C8．【答案】C9．【答案】B10．【答案】D11．【答案】96°12．【答案】213．【答案】4814．【答案】515．【答案】3或2116．【答案】4017．【答案】6018．【答案】−219．【答案】65°20．【答案】2021．【答案】（1）AE=3（2）∠BDA=75°22．【答案】（1）解：如图所示：B1、C1的坐标分别为：(−6，（2）解：如图所示：△OB2C2即为所求，23．【答案】EF=424．【答案】（1）解：所画图形，如图所示：沿长CD至点E，使DE=CD，连接AE，则△AED就是所作的图形，（2）1<CD<325．【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，

∵△ABP绕着点B旋转后能到达△CBE的位置，

∴∠ABC=∠PBE=90°,BP=BE，

∵BP=3cm，

∴PE=BP2+BE26．【答案】C=4π（厘米）；S=327．【答案】（1）是（2）4（3）2528．【答案】（1）45°（2）15°或75°29．【答案】探究一：9；探究二：2533；探究三：∠ABC'，mn；探究四：①和②和③或30．【答案】小易同学将图2长方形纸片绕2cm的边旋转时得到的圆柱体体积大31．【答案】解：由旋转可知：∠BABʹ=40°，AB=ABʹ∴∠ABBʹ=∠ABʹB．∴∠ABBʹ=1800∴∠BBʹCʹ=90°－70°=20°．32．【答案】解：∵△ABC绕着顶点B顺时针旋转140°得△EBD，∴BD＝CB，∠ABE＝140°，∠ABC＝∠DBE＝40°，∴∠DCB＝∠BDC，∵∠ABC+∠ABE＝180°，∴点C、点B、点E三点共线，∴∠DBE＝∠DCB+∠BDC＝40°，∴∠BDC＝20°．33．【答案】解：（1）四边形AFHE是正方形，理由如下：根据旋转：∠AEB＝∠AFD＝90°，AE＝AF，∠DAF＝∠EAB，∵四边形ABCD是正方形∴∠DAB=90°∴∠FAE＝∠DAB=90°∴∠AEB＝∠AFH＝∠FAE=90°∴四边形AFHE是矩形，又∵AE=AF∴矩形AFHE是正方形．（2）连接BD∵BC=CD=13，在Rt△BCD中，BD=∵四边形AFHE是正方形∴∠EHD=90°在Rt△DHB中，DH=BD2∴DH=17．34．【答案】（1）ACD，A，逆，60（2）解：∵∠BAC=60°，∠DAC=42°，

∴∠BAD=∠BAC－∠DAC=18°.

记ED与AB相交于点F，则∠EFB=∠AFD.

∵△CAD≌△BAE，

∴∠ACD=∠ABE=60°，

∴180°−（∠ADF+∠AFD）=180°−∠ABE+∠EFB，

即∠BED=∠BAD=18°，

∴35．【答案】解：此图形可看作基本图形经过轴对称形成的．36．【答案】（1）62；α=∠CAE（2）∠DAC+∠BAE=180°（3）α为60°或30°或120°或150°．37．【答案】（1）90°；（2）2238．【答案】（1）解：∵∠B=∠E，AB=AE，BC=EF，∴△ABC≌△AEF，∴∠C=∠F，∠BAC=∠EAF，∴∠BAC﹣∠PAF=∠EAF﹣∠PAF，∴∠BAE=∠CAF=25°（2）解：通过观察可知△ABC绕点A顺时针旋转25°，可以得到△AEF（3）解：由（1）知∠C=∠F=57°，∠BAE=∠CAF=25°，∴∠AMB=∠C+∠CAF=57°+25°=82°39．【答案】340．【答案】（1）解：依题意补全图形如下：；（2）解：用等式表示线段BD与CE的数量关系是：BD=CE，证明：在等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=AC，

∵AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，

∴AD=AE，∠DAE=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠DAE=∠BAC=90°，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，

∴在△BAD和△CAE中，

AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，

∴△BAD≌△CAESAS，

（3）241．【答案】（1）解：在△ABC中，∠BAC=90∘，∴∠ABC=∠ACB=45∵l//BC，∴∠DAB=∠ABC=45∘，∴∠DAB=∠ABD=45∘，∴AD=BD，AE=CE，∵AB=AC=2∴AD=BD=AE=CE=1，∴DE=2；（2）解：(I)DE=BD+CE.理由如下：在RtΔADB中，∠ABD+∠BAD=∵∠BAC=90∴∠BAD+∠CAE=90∴∠ABD=∠CAE，在ΔABD和ΔCAE中，∠ABD=∠CAE∴ΔABD≌ΔCAE(AAS)；∴CE=AD，BD=AE，∴DE=AE+AD=BD+CE⋅(Ⅱ)DE=BD−CE.理由如下：如图所示：在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD=90∵∠BAC=90∴∠BAD+∠CAE=90∴∠ABD=∠CAE，在ΔABD和ΔCAE中，∠ABD=∠CAE∴ΔABD≌ΔCAE(AAS)；∴CE=AD，BD=AE，∴DE=AE−AD=BD−CE⋅42．【答案】解：（1）如图1所示：平行四边形ADBC即为所求；（2）如图2所示：菱形AFBE即为所求．43．【答案】（1）解：延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG．（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），∴CF=BG=DF=DG，∵DE⊥DF，∴EF=EG．在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．（2）解：若∠A=90°，则∠EBC+∠FCB=90°，由（1）知∠FCD=∠DBG，EF=EG，∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°，∴在Rt△EBG中，BE2+BG2=EG2，∴BE2+CF2=EF2．​44．【答案】（1）60（2）解：连接PQ，如图．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，BA=BC．∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的，∴△QCB≌△PAB，∴BP=BQ，∠PBQ=∠ABC=60°，CQ=AP=5．∵BP=BQ=4，∠PBQ=60°，∴△PBQ是等边三角形，PQ=PB=4，即点P与点Q之间的距离是4．（3）解：∵QC=5，PC=3，PQ=4，而32+42∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC=90°．∵△PBQ是等边三角形，∴∠BPQ=60°，∴∠BPC=∠BPQ+∠QPC=60°+90°=150°．45．【答案】（1）解：设∠ACB=α，∵AC=BC，∴∠BAC=∠ABC=180°−∠ACB由旋转可知，∠BCD=90°，AC=BC=DC，∴∠ACD=90°+α∴∠CAD=∠CDA=180°−∠DCA∴∠BAD=∠BAC−∠CAD=45°（2）解：①证明：∵AC=BC=DC，∠BCD=90°，∴∠CBD=∠BAD=45°，又∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE，CE⊥AD，则∠AFE=90°∴∠AEC=45°，又∵CE=CE，∴△ACE≌△DCE(SAS)，∴∠DEC=∠AEC=45°，∴∠AED=∠BCD=90°，∴△BCD∽△AED；②证明：延长ED至G，使DG=BE，∵AC=BC=DC，∴∠BAC=∠ABC，由①知△ACE≌△DCE，∴∠EAC=∠EDC，∴∠ABC=∠EDC，∴∠CBE=∠CDG，∴△CBE≌△CDG(SAS)，∴∠BEC=∠G=45°，∴△CEG是等腰直角三角形，∴EG=2即：246．【答案】（1）如图所示．（作图痕迹不唯一，合理即可）（2）如图所示．（答案不唯一，合理即可）47．【答案】（1）90°（2）解：∵∠BAC＝60°，

∴∠DAE＝∠BAC＝60°，

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴∠B＝∠ACB＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，

由（1）得，∠ACE＝∠B＝60°，

∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝120°；（3）α＋β＝180°或α＝β48．【答案】∠B的度数为70°49．【答案】解：如图所示：点M即为所求，则M（5，1）．​50．【答案】解：这两个四边形关于点O成中心对称．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，∵EF、AC、BD都经过点O，∴EO=FO，∴点A与点C，点B与点D，点E与点F均关于点O成中心对称，∴这两个四边形关于点O成中心对称．51．【答案】（1）证明：如图甲所示，将△BCD绕点D按逆时针方向旋转90°到△AED处，∴∠EAD=∠DBC，

∵∠ACB=∠ADB=90°，

∴∠DBC+∠DAC=180°，

∴∠EAD+∠DAC=180°，

∴E、A、C三点共线，

由旋转知AE=BC，DE=CD，∠CDE=90°，

∴△CDE是等腰直角三角形，

∴CE=2CD，

∵CE=AE+AC=BC+AC，

∴AC+BC=（2）解：如图乙所示，连结AC，BD，AD，

∵AB是圆O的直径，

∴∠ADB=∠ACB=90°，

∵∠BCD=45°，

∴∠BAD=45°，

∴AD=BD，

∵AB=25，BC=24，

∴AC=AB2−BC2=7，

由（1）易得AC+BC=252．【答案】解：线段CF与AC的数量关系是：CF=3证明：如图，连接AF，根据题意得：∠BAD=∠CAE=60°，∴∠EAD=∠CAB，∵AD=AB，AE=AC，∴△ADE≅△ABC．∴∠AED=∠C=90°．∴∠AEF=90°．∵AF=AF，AE=AC，∴Rt△AEF≅Rt△ACF．∴∠CAF=1∴CF=1∵AC∴AC=A∴CFAC即CF=353．【答案】（1）解：解：∵∠BON=90°，∠DBC=30°，ON=1，

∴BN=2ON=2，

∴OB=22−1（2）解：四边形DMBN是平行四边形，理由如下：

如图1，四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，

∴∠ADB=∠CBD，

∵OB=OD，∠DOM=∠BON，

∴△BON（3）证明：由(2)知：△BON≌△DOM，

∴OM=ON，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//CD，

∴∠ABD=∠FDO，∠E=∠F，

∵OB=OD54．【答案】95°55．【答案】（1）3（2）35°56．【答案】解：该梯形是等腰梯形.从边来说应符合：上底等于腰且等于下底的一半；从角来说应符合：四个内角度数分别为120°，120°，60°，60°57．【答案】（1）解：如图所示，以B为圆心BC长度为半径画弧交AB于点C'，

AB长为半径画弧交CB延长线于点A'，连接∴△A（2）解：如图，连接AA由（1）得：AB=A'B在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=A在Rt△ABA'中，由勾股定理得：58．【答案】（1）2（2）2（3）259．【答案】（1）解：如图，△A′B′C′即为所求，A′(4，0)，B′(3，3)，C′(1，3)．（2）解：∵B′(3，3)，C′(1，3)，∴B′C′∥x轴，B′C′＝2，∵B(－3，－3)，C(－1，－3)，∴BC∥x轴，BC＝2，∴BC∥B′C′，BC＝B′C′，∴四边形BCB′C′是平行四边形，∴SBCB′C′＝2×6＝1260．【答案】（1）证明：由旋转的性质可得：△ADN≅△ABE，∴∵∴∴∠MAE=∠MAN∵MA=MA，

∴△AEM≌△ANM(SAS)．（2）解：设CD=BC=x，则CM=x-3，CN=x-2，∵△AEM≌△ANM．

∴EM=MN．∵BE=DN，∴MN-BM+DN=5．∴∠C=90°，

∴MN2=CM2+CN2，∴25=(x-2)2+(x-3)2，

解得x=6或x=-1(舍去)，∴正方形ABCD的动长为6．61．【答案】（1）解：①延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），∴CF＝BG，DF＝DG，∵DE⊥DF，∴EF＝EG．在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．②若∠A＝90°，则∠EBC+∠FCB＝90°，由①知∠FCD＝∠DBG，EF＝EG，∴∠EBC+∠DBG＝90°，即∠EBG＝90°，∴在Rt△EBG中，BE2+BG2＝EG2，∴BE2+CF2＝EF2；（2）证明：将△DCF绕点D逆时针旋转120°得到△DBG．∵∠C+∠ABD＝180°，∠4＝∠C，∴∠4+∠ABD＝180°，∴点E、B、G在同一直线上．∵∠3＝∠1，∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，∴∠1+∠2＝60°，故∠2+∠3＝60°，即∠EDG＝60°∴∠EDF＝∠EDG＝60°，∵DE＝DE，DF＝DG，∴△DEG≌△DEF，∴EF＝EG＝BE+BG，即EF＝BE+CF．62．【答案】(1)是

(2)16°或24°或32°

(3)t的值是2或54或63．【答案】（1）解：根据题意可得：图④的划分方法错误；（2）解：相同，因为将图⑤沿直线翻折、旋转后得到的划分方法与图②的划分方法相同；（3）解：如图：64．【答案】（1）解：∵A点的坐标为（x1，y1），B点的坐标为（x2，y2），∴根据两点间的距离公式得，AB=(（2）解：设点P（0，a），∵A的坐标是（1，2），点B的坐标是（3，4），∵PA＝1+(a−2)2，PB＝∵PA＝PB，∴1+(a−2)2＝∴a＝5，∴P（0，5）；（3）解：∵双曲线L1：y＝kx∴OA＝5，k＝1×2＝2，∴双曲线L1：y＝2x（x＞0），双曲线L2：y＝﹣2设点D坐标为（m，﹣2m∴OD＝m2由旋转知，OA＝OD，∴5＝m2∴m＝±1或m＝±2，∵m＞0，∴m＝1（和点A重合，舍去）或m＝2，∴D（2，﹣1）.∵A（1，2），∴AD＝10.65．【答案】（1）解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴∠EAF=180°−90°=90°，∵E是AD的中点，∴AE=1∵AF=1∴AE=AF，∴AB与AD为对应边，AE与AF为对应边，∴在图4中可以通过旋转90°使△ABE变到△ADF的位置（2）解：BE=DF；BE⊥DF；理由如下：延长BE交DF于点G，如图所示：由全等变换的定义可知，通过旋转90°，△ABE变到△ADF的位置，只改变位置，不改变形状大小，∴△ABE≌△ADF，∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，∵∠DAF=90°，∴∠ADF+∠F=90∴∠ABG+∠F=90∴∠BGF=180°−90°=90°，∴BE⊥DF．66．【答案】解：成立．证明：将△ADF绕点A顺时针旋转120°得到△ABM，∴△ABM≌△ADF，∠ABM=∠D=90°，∠MAB=∠FAD，AM=AF，MB=DF，∴∠MBE=∠ABM+∠ABE=180°，∴M、B、E三点共线，∴∠MAE=∠MAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=∠BAD−∠EAF=60°，∴∠MAE=∠FAE，∵AE=AE，AM=AF，∴△MAE≌△FAE(SAS)，∴ME=EF，∴EF=ME=MB+BE=DF+BE．67．【答案】（1）150°；（2）13；（3）368．【答案】（1）B；60（2）证明：如图，设AF与CD交于点P，∵直线CD是等边△ABC的对称轴，∴AE=BE，∠DCB＝∠ACD＝12∵△ABE经顺时针旋转后与△BCF重合，∴BE=BF，AE=CF，∴BF=CF，∴点F在线段BC的垂直平分线上，∵AC=AB，∴点A在线段BC的垂直平分线上，∴AF垂直平分BC．69．【答案】解：此图也可以看成Rt△BEA绕其直角顶点顺时针旋转90°，再向下平移得到．一方面，四边形ABCD的面积等于△ABC和Rt△ACD的面积之和，另一方面，四边形ABCD的面积等于Rt△ABD和△BCD的面积之和，所以：SΔABC+SΔACD=SΔABD70．【答案】（1）解：△ADF可以A为旋转中心，逆时针方向旋转90°即可得到.（2）解：BE⊥DF，BE=DF；

理由：延长BE交DF于H，由旋转可知△ABE≌△ADF，

∴∠BAE=∠DAF=90°，∠ABE+∠AEB=90°，∠AEB=∠AFD，

∴∠ABE+∠BFH=90°，

∴BH⊥DF，即BE⊥DF，BE=DF。71．【答案】（1）解：如图所示：点A1的坐标（﹣3，1）（2）解：如图所示：点A2的坐标（﹣1，﹣1）（3）解：找出A的对称点A′（1，﹣1），连接BA′，与x轴交点即为P；如图所示：点P坐标为（2，0）．72．【答案】（1）解：△A1B1C1如图所示；（2）解：△AB2C2如图所示：73．【答案】（1）解：△A（2）解：△A（3）(−n，−m)；(m，−n)74．【答案】（1）解：如图所示：（2）解：如图所示：（3）解：四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2对称，对称轴为图形中的直线EF75．【答案】（1）解：∵将线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到线段AC，

∴点C的纵坐标与点A的横坐标相等；点C的横坐标是点B的纵坐标加上点A的横坐标，

∵直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴A1，0，B0，3.

∴C4，1.则4k+b=1b=3，解得：k=−∴直线BC的解析式为：y=−1（2）解：如图2，过点E作EF⊥y轴于F，∵点E为线段BC上一点，∴设点E的坐标为(m∵四边形AOBE的面积=S∴12解得：m=2，∴E(（3）解：存在，点P的坐标为(3，−1)76．【答案】（1）解：①AM=AD+DM=40，或AM=AD-DM=20.②显然∠MAD不能为直角。当∠AMD为直角时AM2=AD2-DM2=302-102=800，∴AM=202当∠ADM为直角时，AM2=AD2+CM2=302+102=1000∴AM=1010（2）解：连结CD1由题意得∠D1AD2=90°，AD1=AD2=30∴∠AD2D1=45°，D1D2=302又∵∠AD2C=135°，∴∠CD2D1=90°∴CD1=CD2∵∠BAC=∠D2AD1=90°∴<BAC-∠CAD2=∠D2AD1-∠CAD2.即∠BAD2=∠CAD1又∵AB=AC，AD1=AD2，∴△ABD2≌△ACD1∴BD2=CD1=30677．【答案】（1）解：∵OA=8，∴OB=12∴B（4，0），∵y=﹣14x2∴−1解得：b=−1c=8∴二次函数表达式为：y=﹣14x2（2）解：当y=0时，﹣14x2﹣x+8=0，解得：x1=4，x2=﹣8，∴C点坐标为：（﹣8，0），∵D点坐标为：（0，4），∴设CD的解析为：y=kx+d，故−8k+d=0d=4，解得：k=1设F点坐标为：（m，﹣14m2﹣m+8），则P点坐标为：（m，12m+4），则FP=﹣14m2﹣32m+4，∴S△FCP=12•FP•OC=12×（﹣14m2﹣32m+4）×8=﹣m2﹣6m+16，∵E为FD中点，∴S△CEF=12×S△FCD=﹣12m2﹣3m+8=﹣12（m﹣3）2+252，当m=﹣3时，S△CEF有最大值，∴﹣14m2﹣m+8=﹣14×9+3+8=354，E点纵坐标为：1（3）解：如图2，∵F点坐标为：（m，﹣14m2C点坐标为：（﹣8，0），D点坐标为：（0，4），∴M（m+8，﹣14m2又∵M点在抛物线上，∴﹣14（m+8）2﹣（m+8）+8=﹣14m解得：m=﹣7，故S△CEF=﹣12m2﹣3m+8=978．【答案】（1）解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，∴EG=EC，∴四边形CEGF是正方形；

②2.（2）解：如图，连接CG，由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，CECG∴CGCE∴△ACG∽△BCE，∴AGBE∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=2（3）解：①∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线，∴∠BEC=135°．∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC=∠BEC=135°，∴∠AGH=∠CAH=45°．∵∠CHA=∠AHG，∴△AHG∽△CHA；

②41079．【答案】（1）解：△OA（2）解：S△OA80．【答案】（1）证明：∵∠DBE=12∴∠ABD+∠CBE=∠DBE=12∵△ABE′由△CBE旋转而成，∴BE=BE′，∠ABE′=∠CBE，∴∠DBE′=∠DBE，在△DBE与△DBE′中，∵BE=BE∴△DBE≌△DBE′