2023-2024学年广州市黄广中学八年级（下）第二次月考数学试题及答案

试题试题黄广中学2023-2024学年度第二学期第二次月反馈八年级数学试卷试卷满分120分考试时长120分钟一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.式子有意义，则的取值范围是（）A. B. C. D.2.下列条件中，不能判定一个三角形是直角三角形是（）A.三个角度数之比为 B.三边长满足关系式C.三条边长度之比为 D.三个角满足关系式3.如图，在平行四边形中，，则（）A. B. C. D.4.对于函数，下列说法正确的是（）A.它的图象经过点 B.y值随着x值的增大而减小C.它的图象经过第二象限 D.当时，5.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.6.下列命题中，正确的是（）A.有一组邻边相等四边形是菱形B.对角线互相平分且垂直的四边形是矩形C.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形D.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形7.以一个直角三角形的三边为边长的三个正方形的面积如图所示，则正方形A的边长为（）A.32 B. C. D.88.如图，数轴上点表示的数是1，点表示的数是，于点，且，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴的负半轴于点，则点表示的数是（）A. B. C. D.9.已知一次函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（）A. B. C. D.10.如图，E为正方形中边上的一点，且，M、N分别为边上的动点，且始终保持，则的最小值为（）A.4 B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）11.计算：______．12.已知函数是正比例函数，则_____________．13.如图，在平行四边形中，平分，，，则平行四边形的周长是______．14.如图，在中，P为边上一点，已知的周长为30，，，则斜边的长为__________．15.如图，菱形的对角线相交于点O，菱形的周长为20，，于E，连接，则_________．16.如图，将直线向上平移个单位交坐标轴于点，然后绕中点逆时针旋转，三条直线与轴围成四边形，若四边形始终覆盖着一次函数图象的一部分，则满足条件的实数的取值范围为_______________．三、解答题（本大题共9小题，共72分）17.计算：18.已知正比例函数图象过点且点在这个函数的图象上，求a的值．19.如图，在四边形中，，，，，．（1）求的长；（2）求四边形的面积．20.实数a，b在数轴上的位置如图所示，（1）化简M；（2）当时，求M的值．21.如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，．（1）求证：是菱形；（2）若，，求的长．22.由于新能源电动汽车越来越受到消费者的青睐．某汽车经销商销售，两种型号的新能源汽车，已知购进3台型新能源汽车和2台型新能源汽车需要85万元，购进2台型新能源汽车和1台型新能源汽车需要50万元．（1）问型，型新能源汽车的进货单价分别是多少万元？（2）若该经销商计划购进型和型两种新能源汽车共20辆，且购进型新能源汽车数量不低于型新能源汽车数量的2倍．每辆型新能源汽车售价25万元，每辆型新能源汽车售价28万元，那么购进型、型新能源汽车各多少辆时，全部销售后获得的利润最大？23.我们定义：若一条直线既平分一个图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“紫金线”．（1）如图1，已知，，，用尺规作图作出的一条“紫金线”；（保留作图痕迹）（2）如图2，若是矩形的“紫金线”，平分，如图直线与夹角为，可以将用含的代数式表示为__________；（3）如图3，已知四边形中，，，，．用尺规作图作出四边形的“紫金线”（保留作图痕迹），并说明为什么是“紫金线”．24.如图，四边形是正方形．过点在正方形的外侧作射线，．作点关于射线的对称点，线段交射线于点，连接交直线于点．（1）当时，依题意补全图1，并直接写出的度数；（2）在（1）条件下，用等式表示之间的数量关系，并证明；（3）若，，直接写出线段的长．25.如图，直线与坐标轴分别交于点，．（1）求直线l的解析式；（2）如图，过线段的中点作一条直线与x轴交于点F，当为直角三角形时，请求出点F的坐标．（3）如图，点C是x轴上一动点，连接，在右侧作等腰直角，，连接，直接写出周长的最小值．黄广中学2023-2024学年度第二学期第二次月反馈八年级数学试卷试卷满分120分考试时长120分钟一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.式子有意义，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0即可求解．【详解】解：根据题意有：，∴，故选：A．2.下列条件中，不能判定一个三角形是直角三角形的是（）A.三个角的度数之比为 B.三边长满足关系式C.三条边的长度之比为 D.三个角满足关系式【答案】C【解析】【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，勾股定理逆定理，根据直角三角形的判定逐项判断即可，掌握勾股定理逆定理及直角三角形的定义是解题的关键．【详解】、由题意可设三角形的三个内角度数分别为、、，∴，∴，故三角形三个内角的度数分别为、、，∴三个角的度数之比为的三角形是直角三角形，不符合题意；、∵，∴，∴三条边满足关系式的三角形是直角三角形，不符合题意；、结合题意可设三角形的三条边分别为、、（为正数），∵，∴三条边的长度之比为的三角形不是直角三角形，符合题意；、∵，∴，∴三个角满足关系的三角形是直角三角形，不符合题意；故选：．3.如图，在平行四边形中，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此题考查了平行四边形的性质：对角相等，邻角互补，根据平行四边形的性质得到，，即可求出答案．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∵∴，∴，故选：D．4.对于函数，下列说法正确的是（）A.它的图象经过点 B.y值随着x值的增大而减小C.它的图象经过第二象限 D.当时，【答案】D【解析】【分析】本题考查一次函数的图象及性质，根据一次函数的图象及性质逐一判断即可．【详解】解：A选项：当时，，∴该函数图象不经过点，故本选项错误；B选项，∵，∴y值随着x值的增大而增大，故本选项错误；C选项：函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故本选项错误；D选项：当时，，∵y值随着x值的增大而增大，∴当时，，故本选项正确．故选：D5.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查最简二次根式．根据最简二次根式的特征：被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含字母，进行判断即可．【详解】解：A、，不是最简二次根式；B、，是最简二次根式；C、，不是最简二次根式；D、，不是最简二次根式；故选B．6.下列命题中，正确的是（）A.有一组邻边相等的四边形是菱形B.对角线互相平分且垂直的四边形是矩形C.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形D.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形【答案】C【解析】【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据菱形的判定定理、平行四边形的判定定理、矩形的判定定理判断即可．【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项命题是假命题，不符合题意；B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故本选项命题是假命题，不符合题意；C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，是真命题，符合题意；D、有一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形或等腰梯形，故本选项命题是假命题，不符合题意；故选：C．7.以一个直角三角形的三边为边长的三个正方形的面积如图所示，则正方形A的边长为（）A.32 B. C. D.8【答案】C【解析】【分析】此类问题主要考查的是勾股定理的应用，对于此类求边长的问题，我们首先将题目所给条件进行转化，尽量使其能在同一个直角三角形内，然后利用勾股定理解决．根据题意可知，这三个正方形的面积和即为直角三角形三边的平方和，因为直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即可求解；【详解】根据题意可得，正方形A的面积，所以，正方形A的边长．故选：C．8.如图，数轴上点表示的数是1，点表示的数是，于点，且，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴的负半轴于点，则点表示的数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了勾股定理，数轴上点的平移，熟练掌握左减右加是解题的关键．根据勾股定理，得，点A向左平移个单位长度即可得到点D表示的数．【详解】根据题意，得，，由勾股定理得：，故点A向左平移个单位长度即可得到点D表示的数，即．故选：D．9.已知一次函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．数形结合是解决本题的关键．一次函数的图象经过点，根据函数的图象即可写出不等式的解集．【详解】解：一次函数的图象经过点，当时，，所以，关于的不等式的解集为，故选：D．10.如图，E为正方形中边上的一点，且，M、N分别为边上的动点，且始终保持，则的最小值为（）A.4 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用等．过点E作，过点M作交于点F，连接，则四边形为平行四边形，证得当A、M、F三点在同一直线上时，有最小值，即为的长，过点M作于点G，设与相交于点O，证明，得到是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求解．【详解】解：如图，过点E作，过点M作交于点F，连接，则四边形为平行四边形，∴，∴，∴当A、M、F三点在同一直线上时，有最小值，即为的长，过点M作于点G，设与相交于点O，∵四边形是正方形，，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∵，，由勾股定理得，∴，即的最小值为．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）11.计算：______．【答案】5【解析】【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．先将被开方数化为，然后按照二次根式的性质化简即可．【详解】解：，故答案为：5．12.已知函数是正比例函数，则_____________．【答案】1【解析】【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做正比例函数，据此可得，解之即可得到答案．【详解】解：∵函数是正比例函数，∴，∴，故答案为：．13.如图，在平行四边形中，平分，，，则平行四边形的周长是______．【答案】20【解析】【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出，再根据等角对等边的性质可得，然后利用平行四边形对边相等求出、的长度，再求出的周长．【详解】解：∵平分，∴，∵中，，∴，∴，∴，∵在中，，，∴，∴，∴，∴的周长．故答案为：20．【点睛】本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，是基础题，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．14.如图，在中，P为边上一点，已知的周长为30，，，则斜边的长为__________．【答案】【解析】【分析】本题考查了勾股定理，设，则，，再根据勾股定理列方程解方程即可．【详解】解：设，则，的周长为30，，在中，由勾股定理得，∴，解得：，，故答案为：．15.如图，菱形的对角线相交于点O，菱形的周长为20，，于E，连接，则_________．【答案】3【解析】【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质和周长得出，，，，在中，由勾股定理得到，得出，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．【详解】解：∵四边形是菱形，菱形的周长为20，∴，，，．在中，由勾股定理得，∴．∵于E，∴．又∵，∴．故答案为：316.如图，将直线向上平移个单位交坐标轴于点，然后绕中点逆时针旋转，三条直线与轴围成四边形，若四边形始终覆盖着一次函数图象的一部分，则满足条件的实数的取值范围为_______________．【答案】且【解析】【分析】求出点的坐标，即可求出点的坐标，进而求得点的坐标，由，得出直线一定经过点，从而求得点和点的是边界点，然后把点的坐标分别代入，即可求解．【详解】解：将直线向上平移个单位得到直线，当时，，当时，，，，点是的中点，，，，，，，，轴，，，直线一定经过点，假设四边形的边界可以覆盖一次函数，点和点的是边界点，将代入，解得，将代入，解得，结合实数的取值范围是且，故答案为：且．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象的几何变换，函数图象上点坐标的变换，正确判断出直线一定经过的定点是解题的关键．三、解答题（本大题共9小题，共72分）17.计算：【答案】【解析】【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握和运用二次根式的运算方法是解决本题的关键．根据二次根式的性质化简，二次根式的乘法和除法法则计算即可求解．【详解】解：．18.已知正比例函数图象过点且点在这个函数的图象上，求a的值．【答案】9【解析】【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，根据函数值求自变量值．将代入正比例函数解析式求函数解析式，然后将代入解析式即可得到a的值．【详解】解：设该函数的解析式为，将代入可得，解得，与x之间的函数关系式为；∴把代入中，得：，解得，∴a的值为9．19.如图，在四边形中，，，，，．（1）求的长；（2）求四边形的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查勾股定理及其逆定理：（1）利用勾股定理解即可；（2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，则四边形的面积等于与面积之和．【小问1详解】解：，，，；【小问2详解】解：，，，，是直角三角形，，四边形ABCD的面积为．20.实数a，b在数轴上的位置如图所示，（1）化简M；（2）当时，求M的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查了由数轴判断式子的符号、绝对值的性质、二次根式的化简及运算，采用数形结合的思想是解题的关键．（1）根据数轴可知，然后确定，，然后根据绝对值和二次根式的性质化简即可解答；（2）将代入（1）化简的代数式计算即可【小问1详解】解∶由数轴可知，∴，∴，．【小问2详解】解：当时，21.如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，．（1）求证：是菱形；（2）若，，求长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握菱形的判定与性质和矩形的判定与性质．（1）先证明四边形是矩形，得到，即可证明是菱形；（2）根据菱形的性质可得，，结合推出是等边三角形，再根据勾股定理求出，进而求出，最后根据勾股定理即可求解．【小问1详解】证明：，，四边形是平行四边形．，平行四边形是矩形，，，是菱形；【小问2详解】解：四边形是菱形，，，，是等边三角形，，，中，由勾股定理得：，由（1）可知，四边形是矩形，，，，即的长为．22.由于新能源电动汽车越来越受到消费者的青睐．某汽车经销商销售，两种型号的新能源汽车，已知购进3台型新能源汽车和2台型新能源汽车需要85万元，购进2台型新能源汽车和1台型新能源汽车需要50万元．（1）问型，型新能源汽车的进货单价分别是多少万元？（2）若该经销商计划购进型和型两种新能源汽车共20辆，且购进型新能源汽车数量不低于型新能源汽车数量的2倍．每辆型新能源汽车售价25万元，每辆型新能源汽车售价28万元，那么购进型、型新能源汽车各多少辆时，全部销售后获得的利润最大？【答案】（1）型新能源汽车单价为15万元，型新能源汽车的单价为20万元（2）购进型新能源汽车6辆，型新能源汽车14辆时，全部销售后获得的利润最大，最大利润为172万元【解析】【分析】（1）设型新能源汽车的单价为万元，型新能源汽车的单价为万元，依题意列出方程组，解方程组即可得到答案；（2）设购进型新能源汽车辆，则购进型新能源汽车辆，全部销售后获得的利润为元，依题意列出不等式和表示出利润，然后根据一次函数的性质求解即可．本题考查了二元一次方程组、一次函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．【小问1详解】设型新能源汽车的单价为万元，型新能源汽车的单价为万元，依题意得：，解得，答：型新能源汽车的单价为15万元，型新能源汽车的单价为20万元；【小问2详解】设购进型新能源汽车辆，则购进型新能源汽车辆，全部销售后获得的利润为元，依题意得：，，随的增大而增大，又，，当时，全部销售后获得的利润最大，最大利润为172万元，此时（辆），答：购进型新能源汽车6辆，型新能源汽车14辆时，全部销售后获得的利润最大，最大利润为172万元．23.我们定义：若一条直线既平分一个图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“紫金线”．（1）如图1，已知，，，用尺规作图作出的一条“紫金线”；（保留作图痕迹）（2）如图2，若是矩形的“紫金线”，平分，如图直线与夹角为，可以将用含的代数式表示为__________；（3）如图3，已知四边形中，，，，．用尺规作图作出四边形的“紫金线”（保留作图痕迹），并说明为什么是“紫金线”．【答案】（1）见详解（2）（3）见详解【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线即可；（2）由题意得是的垂直平分线才符合题意，由直角三角形两锐角互余以及角平分线的定义即可求解；（3）作出的垂直平分线即可．【小问1详解】解：如图，直线l即为所求：∵直线l是的垂直平分线，则记与直线l与交于点E，点E为的中点，∴与等底同高，则面积一样，∵，，∴l平分周长，故直线l是的一条“紫金线”；【小问2详解】解：作如图所示标记，当是矩形的“紫金线”，则是的垂直平分线，∵是的垂直平分线∴，∵四边形是矩形，∴，，则，∵，∴，∴，∴，∴，，∴即平分周长也平分面积，∴是矩形的“紫金线”，∵，，∴，∵，∴，故答案为：．【小问3详解】解：如图，直线即为所求：记直线与分别交于点F、E，连接，∵直线是的垂直平分线，∴，，∴，∵，∴由勾股定理得：，则，解得：，∴，∴，∴，∴直线平分该图形周长，，∴，∴直线平分该图形面积，∴直线四边形的“紫金线”．【点睛】本题考查了尺规作图---线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，中线平分三角形面积，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．24.如图，四边形是正方形．过点在正方形的外侧作射线，．作点关于射线的对称点，线段交射线于点，连接交直线于点．（1）当时，依题意补全图1，并直接写出的度数；（2）在（1）的条件下，用等式表示之间的数量关系，并证明；（3）若，，直接写出线段的长．【答案】（1）图见解析，；（2），证明见解析；（3）或．【解析】【分析】（1）根据题意，补全图形即可得到答案；根据题意，由对称性可知，再结合正方形性质得出，可以得到是等腰三角形，由于，则，在中，利用三角形外角和定理即可得到答案；（2）线段之间数量关系为．证明如下：过点C做作，交与点H，由题意可知：，得到，再根据直角关系得到，再证明，得到，由（1）可知是等腰直角三角形，，，即可得到．（3）需要对不同情况进行讨论．①当时，参照（2）中的结论求解；②当时，过点C做作，交与点H，由题意可知：，得到，再根据直角关系得到，再证明，得到，，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，，，，即可求解．【小问1详解】解：当时，如下图，四边形是正方形，，由对称的性质可得，，，是的一个外角，．【小问2详解】当时，，证明如下：作，交与点H，垂足为点，如图，，四边形是正方形，，，，由对称的性质可得，，，在和中，，，，，即，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，．【小问3详解】①当时，由（2）可知，是等腰直角三角形，，，由对称的性质可得，是等腰直角三角形