专题07 函数与方程（解析版）

专题07函数与方程一、单选题1．（2024届广东省茂名市化州市林尘中学高三上学期第一次统测）函数的一个零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，又，，，根据零点存在性定理及函数的单调性可得函数在内有零点，故选B.2．（2023届新疆乌鲁木齐市高三三模）定义符号函数，则方程的解是（

）A．2或 B．3或 C．2或3 D．2或3或【答案】D【解析】依题意，当时，方程为：，解得或，因此或，当时，方程为：，解得，于是无解，当时，方程为：，解得或，因此，所以方程的解是或或.故选D3．（2024届河南省郑州高三上学期8月月考）已知函数，若关于x的方程有且只有一个实根，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，则可转化为与只有1个交点，当时，，故恒成立，故在上单调递增，当时，，故恒成立，故在上单调递增，又，画出的图象如下：

要想与只有1个交点，只需，故实数a的取值范围是.故选A4．（2024届北京市第三十五中学高三上学期开学考）若关于x的方程有实数根，且，给出下列4个结论：①当时，；②；③当时，；④当时，.其中正确的结论个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】对于①，时，方程为，解得，，∴①正确；对于②，方程整理可得，则，可得，∴②正确；作出函数的图象，

当时，，∴③不正确，④正确．故正确的有①②④，共3个.故选C5．（2024届内蒙古呼和浩特市高三第一次质量监测）若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】若函数存在1个零点位于内，单调递增,又因为零点存在定理，.故选A.6．（2023届陕西省丹凤中学高三模拟）已知函数在区间上有三个不同的零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，得，所以，所以，所以，则或．由题意得方程在区间内有两个不同的实数根，设两根分别为，则，，所以，，所以．因为，所以，所以．又，所以，即的取值范围是．故选B7．（2024届四川省成都市石室中学高三上学期开学考）已知函数，若方程有三个不同的根，则（

）A．4 B．3 C．2 D．【答案】B【解析】由题意，因为，所以为奇函数，由函数向右平移一个单位长度，再向上平移4个单位长度而得到的，所以的图象关于点对称.而所表示的直线也关于点对称，所以方程的三个实根中必有一个为1，另外两个关于对称，所以.故选D.8．（2024届宁夏石嘴山市平罗中学高三上学期月考）定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程恰有5个实数解，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，可得函数的图象关于对称，且，又因为函数为定义在上的偶函数，可得，则，即，所以是以为周期的周期函数，因为当时，，作出函数的图象，如图所示，由关于x的方程恰有5个实数解，即函数与直线的图象有5个交点，结合图象，及其图象的对称性，则满足或，解得或，即实数的取值范围是.故选A.

9．（2024届辽宁省沈阳市第二中学高三上学期阶段验收）已知函数，且满足对任意的，总有，的图象上关于轴对称的点恰好有3对，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为当时，，故在上的图象具有局部周期性，则在上的图象如图所示：设，若要使函数的图象上关于轴对称的点恰好有3对，则函数与的图象恰有3个交点，在同一直角坐标系中画出与的图象，如图，由图象可得，若使两函数的图象恰有3个交点，则且满足，，即，，所以，解得，故选C10．（2023届山西省吕梁市高三二模）已知，分别是方程，的根，则的值为（

）A． B． C．10 D．5【答案】D【解析】在同一平面直角坐标系绘制函数，，的图象，由题意可知，的值分别为图中点，的横坐标，则，的值分别为图中点，的纵坐标，因为函数和互为反函数，互为反函数的图象关于直线对称，设直线与的交点为，易知，结合对称性可知．故选D

11．（2024届天津市第二南开学校高三开学考试）函数，关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】当时，，即关于x的方程始终有一个根为，当时，由，得，由题意可知当时，直线与函数仅有一个交点，设，则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以当时，取到最大值，当时，，作出函数的图象如下图所示，

由图象可知，要使直线与函数仅有一个交点，则，或，或故选A12．（2024届江西省宜春市宜丰中学高三上学期开学考试）已知函数，若方程有四个不同的实根，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于，可知其对称轴为，令，解得或；令，解得或；作出函数的图象，如图所示，

若方程有四个不同的实根，即与有四个不同的交点，交点横坐标依次为，对于，则，可得，所以；对于，则，可得；所以，由对勾函数可知在上单调递增，可得，所以的取值范围是.故选B.二、多选题13．（2024届辽宁省沈阳市实验中学高三上学期9月月考）已知函数，其中，为某确定常数，运用二分法研究函数的零点时，若第一次经计算且，则（

）A．可以确定的一个零点，满足B．第二次应计算，若，第三次应计算C．第二次应计算，若，第三次应计算D．第二次应计算，若，第三次应计算【答案】AB【解析】对于A选项：由题意第一次经计算且，因此由零点存在定理可知存在满足，故A选项符合题意.对于B选项：第二次应计算，若，又，所以有，满足零点存在定理，所以第三次应计算，故B选项符合题意.对于C选项：第二次应计算，若，又，所以有，满足零点存在定理，所以第三次应计算，故C选项不符题意.对于D选项：第二次应计算，而不是计算，故D选项不符题意.故选AB.14．（2024届江苏省南通市海安市高三上学期学业质量监测）下列区间上，函数有零点的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】时，，，,∴在有零点，C正确.，所以，在连续则在有零点，D正确.时，时，由于当时，所以在单调递减，故，而当时，，所以无实数根，故在无零点.B错误，，，∴，∴在有零点，A正确，故选ACD.15．（2024届辽宁省朝阳市高三上学期9月联考）设符号函数，已知函数，则（

）A．的最小正周期为B．在上的值域为C．在上单调递减D．函数在上有5个零点【答案】CD【解析】当时，，，，当时，，，，当时，，，，即，作出的部分图象，如图所示：

由图可知，不是周期函数，故A错误；由图可知，在上的值域为，故B错误；由图可知，在上单调递减，故C正确；令，得，由图可知，在上，的图象与直线只有5个交点，所以在上有5个零点，故D正确.故选CD.16．（2024届湖南省益阳市高三上学期9月月考）已知函数，则（

）A．有两个零点B．直线与的图象有两个交点C．直线与的图象有四个交点D．存在两点，同时在的图象上【答案】ABD【解析】画出的图象，如下：A选项，有两个零点，即和0，A正确；B选项，当时，，则，令，解得，又，故在的切线方程为，令，，则，故在上单调递增，故，即在上恒成立，故在上与只有一个交点，当时，，联立，可得，解得或0（舍去），结合函数图象，可知直线与的图象有两个交点，B正确；C选项，在同一坐标系内画出与直线的图象，可知直线与的图象有2个交点，C错误；D选项，点，是关于对称的两点，因为，故是位于第一象限的点，位于第二象限，在上，要想满足同时在的图象上，只需与在第一象限内有交点，因为，故，又，故，两函数均在单调递增，故一定存在，使得，D正确.故选ABD17．（2024届重庆市第八中学高三上学期入学测试）已知函数，则（

）A．，使得有2个零点 B．，使得有3个零点C．若有3个零点，则 D．若有4个零点，则【答案】ABD【解析】令，则，则的图像如下所示，

当时，有两个交点，当时，有3个交点，当时，有1个交点，当时，有0个交点.由于直线的斜率为1，故当，设斜率为1的切线的切点为，则，故切点为，切线方程为，当，设斜率为1的切线的切点为，则，故切点为，切线方程为，在图中做出在和的切线方程，如下图，的零点即为函数与的交点，

由图可知：当时，与有一个交点，且交点横坐标满足，当时，与有2个交点，目交点横坐标满足，和，当时，与有一个交点，且交点横坐标满足，当时，与有一个交点，且交点横坐标满足，当时，与有一个交点，且交点横坐标满足，综上可知：当或时，有3个交点，当时，有4个交点当时，有2个交点.故选ABD三、填空题18．（2024届广东省惠州市惠东县高三上学期第一次教学质量检测）已知是定义在，且满足，当时，，若函数在区间上有10个不同零点，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由得，所以函数的周期为4，先作出在区间上图像：

又，，则实数的取值范围为.19．（2024届】河南省TOP二十名校高三上学期9月调研）已知函数若，函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为．【答案】【解析】依题意，，可得，函数恰有三个不同的零点，即恰有三个解，转化为函数与图象有三个交点，函数的图象如图所示．结合图象，，解得，即实数的取值范围为．

20．（2023届河北省石家庄市部分学校高三下学期期中）已知为整数，若关于的方程有正数解，则．【答案】【解析】由得，所以．设，则，，因为为整数，所以，即，解得，即，解得．21．已知函数且有且仅有2个零点，则的取值范围为．【答案】【解析】当时，当时，，此时没有零点，因此在上有且仅有2个零点，由，得，于是，解得，当时，当时