15.1图形的对称性 同步练习（含解析）人教版数学八年级上册

15.1图形的对称性学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图案中，轴对称图形的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．下列标志中，是轴对称图形的是（

）A． B．C． D．3．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（

）A．5 B．6 C．7 D．84．如图，两条平行直线，，从点光源射出的光线射到直线上的点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点，当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为（

）A． B． C． D．5．如图，是的边上的高，且，点关于直线的对称点恰好落在的中点处，则的周长为（

）A．10 B．12 C．16 D．186．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的垂直平分线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为20，GE＝2，则AC的长为（

）A．13 B．14 C．15 D．167．在下列图形中，只利用没有刻度的直尺将无法作出其对称轴的是（

）A．等腰三角形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正六边形8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AB于点E、AC于点F，在EF上确定一点P，使PB＋PD最小，则这个最小值为（

）A．10 B．11 C．12 D．139．如图，点A是半圆上一个三等分点，点B是弧的中点，点P是直径上一动点，的半径为1，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．210．如图把一个长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在、位置，若，则（

）A． B． C． D．11．已知过菱形钝角的顶点向对角的两边作垂线，垂足恰好落在该边中点，则这个菱形内角中的钝角是（）A． B． C． D．12．如图，已知△ABD是等边三角形，，E是AD上的点，，与BD交于点F．则下列结论正确的有（

）①连接AC，则AC垂直平分线段BD；②△DEF是等边三角形；③若，则；④若AB＝8，DE＝2，则CF＝4．A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④二、填空题13．直角三角形的两个锐角互余的逆命题为．14．下列图形中：①等腰三角形、②线段、③角、④直角三角形，不一定是轴对称图形的是（填写序号）；15．画一个图形的轴对称图形的一般步骤：①过已知点作已知直线的，并确定垂足；②在直线的另一侧，以垂足为一端点，在垂线上作一条线段使之等于已知之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；③连接通过原图形已知点所作的这些对称点，就得到原图形的．这个方法可以称为作轴对称图形的“垂线法”．16．如图，圆柱形纸杯高为，底面周长为，在杯内壁底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处爬行到内壁处的最短距离为（杯壁厚度不计）．17．如图，在菱形ABCD中，，，Q为AB的中点，P为对角线BD上的任意一点，则的最小值为．三、解答题18．如图，（1）中的梯形符合什么条件时，可以经过旋转和轴对称形成（2）中的图案？19．如图，在平面直角坐标系中，和关于点E成中心对称．(1)画出对称中心E，并写出点E的坐标______；(2)画出与关于点O成中心对称的；(3)x轴上存在一点P，使的值最小，则点P坐标是______．20．观察这个三角形它是轴对称图形吗？若是请画出其对称轴．21．在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题：(1)如图1，的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心，求AB长；(2)如图2，弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过的中点D，，求的半径．22．如图，在ABCD中，，，，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGH，点A的对应点为点H，点D的对应点为点G．当点H与点C重合时．(1)填空：点E到CD的距离是______；(2)求证：；(3)△CEF的面积为______；23．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P．24．【阅读理解】如果把一个命题（记作）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题称为原命题，命题称为原命题的逆命题．例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”．【解决问题】给出命题“如果，那么．”(1)写出命题的题设和结论，及逆命题．(2)判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明．《15.1图形的对称性》参考答案题号12345678910答案CDCABDACCA题号1112答案DB1．C【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．【详解】解：从左到右，第一、二、三个图形是轴对称图形，第四个图形不是轴对称图形，所以轴对称图形的个数为3个．故选：C．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，仔细辨别图象是解题的关键．2．D【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．利用轴对称图形的定义逐项进行判断即可．【详解】解：A.该图形不是轴对称图形，故不符合题意；B.该图形不是轴对称图形，故不符合题意；C.该图形不是轴对称图形，故不符合题意；D.该图形是轴对称图形，故符合题意；故选：D．3．C【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．【详解】解：∵垂直平分，垂直平分，∴，，∴的周长为，故选：C．4．A【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，根据“入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该直线的夹角相等”得到，由平行线的性质可得，即可得出结论．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【详解】解：如图，∵从点光源射出的光线射到直线上的点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点，∴，∵，∴，∴当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为．故选：A．5．B【分析】本题考查轴对称，根据轴对称的性质，得到，由线段中点得到，再根据三角形的周长公式进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∵点关于直线的对称点恰好落在的中点处，∴，，∴的周长为；故选：B．6．D【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，GB＝GC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵DE是AB边的垂直平分线，∴EA＝EB，∵FG是BC边的垂直平分线，∴GB＝GC，∵△BEG的周长为20，∴GB+EB+GE＝20，∴EA+GC+GE＝20，即AC+2GE＝20，∵GE＝2，∴AC＝20﹣2×2＝16，故选：D．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．7．A【分析】根据轴对称的性质对各选项进行逐一判断即可．【详解】A、没有刻度尺不能作轴对称，故本选项正确；、连接菱形的对角线即是对称轴，故本选项错误；、等腰梯形对称轴是两腰延长线的交点和对角线的交点的连线，故本选项错误；、连接两个对角线即是对称轴，故本选项错误．故选：A．【点睛】本题考查的是作图-轴对称变换，熟知轴对称的性质是解题的关键．8．C【分析】根据三角形的面积公式得到AD=6，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于直线EF对称，于是得到AD的长度=PB+PD的最小值，即可得到结论．【详解】解：∵BC＝10，，AD⊥BC于点D，∴AD＝12，∵EF垂直平分AB，∴PA＝PB，PB＋PD＝PA＋PD，如图，当P为EF与AD的交点时，PA＋PD取最小值，此时，PA＋PD＝AD＝12，∴PB＋PD的最小值为12，故本题选：C．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，知道AD的长度=PB+PD的最小值是解题的关键．9．C【分析】作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则PA+PB最小，连接OA′,AA′.，根据点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，可得∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，由点B是的中点，可得∠BON=30°，可求∠A′OB=90°，在Rt△中根据勾股定理A′B=即可．【详解】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则PA+PB最小，连接OA′,AA′.∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是的中点，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°，又∵OA=OA′=1，在Rt△中，∴A′B=，∴PA+PB=PA′+PB=A′B=．故选：C．【点睛】本题考查弧与圆心角的关系，勾股定理，轴对称性质，掌握弧与圆心角的关系，勾股定理，轴对称性质作对称点，利用两点之间线段最短求最值是解题关键．10．A【分析】根据折叠的性质，平行线的性质，平角的定义，计算解答．【详解】解：∵长方形沿折叠后，点D、C分别落在、位置，∴，∵长方形，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，平行线的性质，平角的定义，熟练掌握长方形的性质，折叠的性质是解题的关键．11．D【分析】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形各内角为的性质，本题中计算是解题的关键．根据题意画出图形设角为钝角，作，且为的中点可以求证为等腰三角形，即，根据，即可求证为等边三角形，则，即可计算菱形的内角中钝角的度数．【详解】解：过作，由题意知，且为的中点，∴，∵菱形，∴，∴，∴为等边三角形，，∵菱形，∴，．故选：D．12．B【分析】如图，连接AC，由△ABD是等边三角形得AB=AD，从而得点A、CD都在线段BD的垂直平分线上，即可判断①正确，由平行线的性质可得∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°，即可判断②正确，三角形的外角性质得∠DCE=∠DFE-∠CDB=60°-40°=20°，从而判断③错误，先找到CE=AE，又由△ABD和△DEF都是等边三角形，AB＝8，DE＝2，得AD=AB=8，EF=DE=2，从而有CF=CE-EF=4，即可判断④正确．【详解】解：如图，连接AC，∵△ABD是等边三角形，∴AB=AD，∠ABD=∠DAB=∠EDF=60°，∵，∴点A、C都在线段BD的垂直平分线上，∴连接AC，则AC垂直平分线段BD，故①正确，∵，∴∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°，∴△DEF是等边三角形，故②正确，∵BC=BD，，∴∠CDB=∠CBD=40°，∵∠DFE=60°，∴∠DCE=∠DFE-∠CDB=60°-40°=20°，故③错误，∵AC垂直平分BD，AB=AD，∠BAD=60°，∴∠CAB=∠CAD=30°，∵AB//CE，∴∠ACE=∠CAB=∠CAD，∴CE=AE，∵△ABD和△DEF都是等边三角形，AB＝8，DE＝2，∴AD=AB=8，EF=DE=2，∴CF=CE-EF=AE-EF=AD-DE-EF=8-2-2=4，故④正确，故选：B．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定及性质，等边三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定及性质是解题的关键．13．有两个角互余的三角形是直角三角形【分析】本题考查的命题与定理，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．直接写出原命题的逆命题即可．【详解】解：直角三角形的两个锐角互余的逆命题为有两个角互余的三角形是直角三角形，故答案为：有两个角互余的三角形是直角三角形．14．④【分析】本题考查了轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．直接利用轴对称图形的概念分析得出答案．【详解】解：①等腰三角形、②线段、③角、④直角三角形．其中，不一定是轴对称图形的是④．故答案为：④．15．垂线点和垂足轴对称图形【解析】略16．【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．将杯子侧面展开，作A关于的对称点，连接，则即为最短距离，利用勾股定理进行计算即可．【详解】如图，将杯子侧面展开，作A关于的对称点，连接，则即为最短距离，∴，∴∴蚂蚁从外壁处爬行到内壁处的最短距离为故答案为：．17．【分析】连接AC，CQ，则CQ的长即为AP+PQ的最小值，再根据菱形ABCD中，∠BCD=120°得出∠ABC的度数，进而判断出△ABC是等边三角形，故△BCQ是直角三角形，根据勾股定理即可得出CQ的长．【详解】解：连接AC，CQ，∵四边形ABCD是菱形，∴A、C关于直线BD对称，∴CQ的长即为AP+PQ的最小值，∵∠BCD=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵Q是AB的中点，∴CQ⊥AB，BQ=BC=×2=1，∴CQ=．故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟知菱形的性质及两点之间线段最短是解答此题的关键．18．当（1）中的梯形为等腰梯形且底角为60°（或120°）且梯形的腰与上底相等时，可以经过旋转和轴对称形成（2）中的图案【分析】通过观察图中梯形之间的数量关系可求出梯形的内角度数分别是120度、60度，从而确定它所满足的条件．【详解】解：当（1）中的梯形为等腰梯形且底角为60°（或120°）且梯形的腰与上底相等时，可以经过旋转和轴对称形成（2）中的图案.通过观察图例可知：拼接点处有3个角，分别是120°，所以可知梯形满足的条件是：①等腰梯形，②底角为60°（或120°），③梯形的腰与上底相等．【点睛】主要考查了轴对称的性质和梯形的性质以及旋转的性质．轴对称图形具有以下的性质：（1）轴对称图形的两部分是全等的；（2）对称轴是连接两个对称点的线段的垂直平分线．要注意旋转的三要素：①定点−旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．19．(1)(2)见解析(3)【分析】本题考查了画对称图形，画两个图形的对称中心，求一次函数的解析式，求一次函数与坐标轴的交点坐标，最短路径问题等，（1）连接、、，它们的交点为；（2）根据关于原点对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可；（3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，点P即为所求．【详解】（1）解：如图，点为所作；点坐标为；故答案为：．（2）解：如图，为所作；（3）解：作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图，则，设直线所在直线解析式为：，、解得：：P点坐标为．20．是，见解析【详解】是轴对称图形21．(1)cm(2)cm【分析】（1）如图1，作交于，交于，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得求出的值，进而可求的值；（2）如图2，延长交于，连接，设半径为，由题意知，由折叠和中点的性质可知，在中，由勾股定理得，即，求出满足要求的解即可．【详解】（1）解：如图1，作交于，交于，连接由题意知，，在中，由勾股定理得∴∴的长为．（2）解：如图2，延长交于，连接，设半径为由题意知，由折叠和中点的性质可知，在中，由勾股定理得，即解得：，（不合题意，舍去）∴半径的长为．【点睛】本题考查了垂径定理，折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．22．(1)(2)见解析(3)【分析】（1）要求点E到的距离，由平行四边形两对边平行可知只需求出之间的距离即可，已知和，从而想到过点C作的垂线，构造直角三角形求解；（2）要证，根据平行四边形的对边相等、对角