八年级数学因式分解专题训练卷

八年级数学因式分解专题训练卷*对于二次项系数不为1的二次三项式，如\(ax^2+bx+c\)，十字相乘法的应用更为复杂，需要将\(a\)和\(c\)分别分解因数，再交叉相乘求和得到\(b\)。这部分我们将在例题中涉及一些基础类型。因式分解的一般步骤进行因式分解时，通常遵循以下步骤：1.“一提”：先看多项式各项是否有公因式，如果有，应先提取公因式。2.“二套”：再看提取公因式后的多项式（或原多项式）是否符合公式法的条件，如平方差公式、完全平方公式等，若符合，就套用公式进行分解。3.“三分组”：若以上两步都不能直接分解，可考虑用分组分解法。4.“四查”：分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。最后要检查结果是否正确（可通过整式乘法还原验证）。典型例题解析例1：分解因式\(4x^3y-6x^2y^2+2xy^3\)分析：首先观察各项，都含有公因式\(2xy\)，应先提取公因式。解：\[\begin{align*}4x^3y-6x^2y^2+2xy^3&=2xy(2x^2-3xy+y^2)\quad\text{（提取公因式\(2xy\)）}\\&=2xy(2x-y)(x-y)\quad\text{（对括号内的二次三项式用十字相乘法分解）}\end{align*}\]说明：提取公因式后，务必对剩余的多项式继续检查是否可分解。例2：分解因式\((x^2+4)^2-16x^2\)分析：此多项式可看作是\((x^2+4)\)与\(4x\)的平方差形式，适合用平方差公式。解：\[\begin{align*}(x^2+4)^2-16x^2&=(x^2+4)^2-(4x)^2\\&=(x^2+4+4x)(x^2+4-4x)\quad\text{（应用平方差公式）}\\&=(x^2+4x+4)(x^2-4x+4)\\&=(x+2)^2(x-2)^2\quad\text{（每个括号内都是完全平方式，继续分解）}\end{align*}\]说明：分解后要检查每个因式是否还能继续分解。例3：分解因式\(a^2-b^2+ac+bc\)分析：此多项式有四项，考虑分组分解。将前两项分为一组（平方差），后两项分为一组（提公因式），再看两组之间是否有公因式。解：\[\begin{align*}a^2-b^2+ac+bc&=(a^2-b^2)+(ac+bc)\quad\text{（分组）}\\&=(a+b)(a-b)+c(a+b)\quad\text{（分别分解每组）}\\&=(a+b)[(a-b)+c]\quad\text{（提取公因式\((a+b)\)）}\\&=(a+b)(a-b+c)\end{align*}\]说明：分组的方式不是唯一的，但要确保分组后能继续分解。例4：分解因式\(x^2-5x+6\)分析：这是一个二次三项式，常数项为正，一次项系数为负，考虑十字相乘法，寻找两个负数，使其和为-5，积为6。解：因为\(-2\times(-3)=6\)，且\(-2+(-3)=-5\)，所以\[x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\]专题训练一、基础巩固（将下列各式分解因式）1.\(m^2n-mn^2\)2.\(-3x^3+6x^2-3x\)3.\(16a^2-9b^2\)4.\(x^2+10x+25\)5.\(4y^2-12y+9\)6.\(a^2b-ab+b\)7.\(x^2-7x-18\)(尝试十字相乘法)8.\(2x^2-8\)(先提公因式，再用公式)二、能力提升（将下列各式分解因式）9.\((x^2+y^2)^2-4x^2y^2\)10.\(3a(x-y)+9b(y-x)\)(注意符号变化)11.\(x^3-6x^2+9x\)12.\(a^2-2ab+b^2-c^2\)(可考虑三一分组后用平方差)13.\(m^2-n^2+2m-2n\)14.\(x^2+4x-12\)15.\(3x^2+5x-2\)(挑战二次项系数不为1的十字相乘)16.\(ab-a-b+1\)三、拓展延伸（将下列各式分解因式）17.\((a+2)(a-8)+25\)(先展开再分解)18.\(x^4-8x^2+16\)(可看作关于\(x^2\)的二次三项式)19.\(1-x^2+2xy-y^2\)(后三项结合)20.已知\(a+b=5\)，\(ab=3\)，求代数式\(a^3b+2a^2b^2+ab^3\)的值。(先分解因式，再代入求值)参考答案与提示一、基础巩固1.\(mn(m-n)\)(直接提公因式)2.\(-3x(x^2-2x+1)=-3x(x-1)^2\)(先提负公因式，再用完全平方公式)3.\((4a+3b)(4a-3b)\)(平方差公式)4.\((x+5)^2\)(完全平方公式)5.\((2y-3)^2\)(完全平方公式)6.\(b(a^2-a+1)\)(提公因式，注意最后一项是\(b\times1\))7.\((x-9)(x+2)\)(十字相乘：\(-9\times2=-18\),\(-9+2=-7\))8.\(2(x^2-4)=2(x+2)(x-2)\)(先提公因式2，再用平方差)二、能力提升9.\((x^2+y^2+2xy)(x^2+y^2-2xy)=(x+y)^2(x-y)^2\)(先用平方差，再用完全平方)10.\(3a(x-y)-9b(x-y)=3(x-y)(a-3b)\)(将\((y-x)\)变形为\(-(x-y)\))11.\(x(x^2-6x+9)=x(x-3)^2\)(先提公因式x，再用完全平方)12.\((a-b)^2-c^2=(a-b+c)(a-b-c)\)(前三项用完全平方，再用平方差)13.\((m-n)(m+n)+2(m-n)=(m-n)(m+n+2)\)(前两项平方差，后两项提公因式，再整体提公因式)14.\((x+6)(x-2)\)(十字相乘)15.\((3x-1)(x+2)\)(十字相乘：\(3x\timesx=3x^2\),\(-1\times2=-2\),\(3x\times2+x\times(-1)=5x\))16.\((ab-a)-(b-1)=a(b-1)-(b-1)=(a-1)(b-1)\)(分组分解)三、拓展延伸17.\(a^2-6a-16+25=a^2-6a+9=(a-3)^2\)(先展开，再合并同类项，最后用完全平方)18.\((x^2-4)^2=[(x+2)(x-2)]^2=(x+2)^2(x-2)^2\)(先看作\(x^2\)的完全平方，再对\(x^2-4\)用平方差)19.\(1-(x^2-2xy+y^2)=1-(x-y)^2=(1+x-y)(1-x+y)\)(后三项用完全平方，再用平方差)20.\(ab(a^2+2ab+b^2)=ab(a+b)^2\)。当\(a+b=5\)，\(ab=3\)时，原式\(=