山东省青岛市昌乐二中2025-2026学年高二上学期开学模拟监测数学试题(含解析)

山东省青岛市昌乐二中2025-2026学年高二上学期开学模拟监测数学试题及答案解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（其中为虚数单位），则（）....2.在四边形中，若，则“”是“四边形是菱形”的（）.充分不必要条件.必要不充分条件.既不充分也不必要条件.充要条件3.已知向量，.若，则（）....4.已知函数，则（）.在定义域内是增函数.是奇函数.的最小正周期为.图象的一个对称中心是5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，，则的原图形的面积为（）....6.已知函数为偶函数，则的值为（）....7.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四个面称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面，则它的外接球半径和内切球半径的比值为（）....8.如图，诶圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是（）.圆锥的侧面积为.三棱锥的体积的最大值为.的取值范围是.若，为线段上的动点，则的最小值为二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）.若，，，则.若，，则.若，，则.若，，则10.在中，内角的对边分别为，则下列说法正确的是（）.若，，，则只有一解.若，则为钝角三角形.若的外心为，，，则.若，则的形状是直角三角形11.如图，已知圆台形水杯盛有牛奶（不计厚度），杯口的直径为4，杯底的直径为2，杯高为4，当杯底水平放置时，牛奶面的高度为水杯高度的一半，若加入37颗大小相同的椰果（球形），椰果沉入杯底，牛奶恰好充满水杯，则（）.该水杯侧面积为.该水杯里牛奶的体积为.放入的椰果半径为.该水杯外接球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点在半径为2的同一球面上，且，，则三棱锥体积的最大值为.13.如图，在正方体中，，分别是棱的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是.14.如图所示的是某城市的一座纪念碑，一位学生为测量该纪念碑的高度，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点.现测得，，米，在点处测得碑顶的仰角为30°，则该同学通过测量计算出纪念碑高为米.（保留根号）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知复数，，是虚数单位.（1）若是实系数一元二次方程的一个根，求实数和的值；（2）当为何值时，关于的二次方程有一个实根.16.（15分）高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底面是正四棱柱的模型，并画出了如图所示的直观图.其中正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.（1）若，；（ⅰ）求该模型的体积；（ⅱ）求顶部正四棱锥的侧面积；（2）若顶部正四棱锥的侧棱长为6，当为多少时，底部正四棱柱的侧面积最大？并求出的最大值.17.（15分）已知函数，将函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.（1）求的单调递增区间；（2）在中，若，，求面积的最大值.18.（17分）锐角的三个内角所对的边分别为，满足.（1）求角的大小及角的取值范围；（2）若，求的周长的取值范围；（3）若的外接圆的圆心为，且，求的取值范围.19.（17分）任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗成立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且.若令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题：（1）试将写成三角形式；（2）已知，，，求的值；（3）设，当时，求的最大值和最小值.答案解析一、选择题1.B解析：已知，则.2.D解析：在四边形中，由，可得四边形为平行四边形，若，则平行四边形对角线垂直，∴▱为菱形，反之也成立，故“”是“四边形是菱形”的充要条件.3.B解析：∵，∴，得，∴.4.D解析：对于A，∵，故A错误；对于B，∵在处有定义，但，故B错误；对于C，的最小正周期为，故C错误；对于D，，故是图象的一个对称中心，故D正确.5.B解析：∵轴，∴直观图的面积为，原图形面积为直观图面积的倍，∴原图面积为.6.B解析：∵诶偶函数，∴，将函数化简：，由偶函数性质：，即，利用正弦函数的性质，可得：，，解得，结合，∴.7.A解析：根据已知条件可以将三棱锥放在正方体中，如图，∴三棱锥的外接球即为正方体的外接球，设三棱锥的外接球的半径为，内切球的半径为，则，解得，∴，∵，∴，∴三棱锥的表面积为：，又∵，∴，则它的外接球半径和内切球半径的比值为.8.D解析：在中，，则圆锥的母线长，半径.对于A，圆锥的侧面积为，故A错误；对于B，当时，的面积最大，此时，则三棱锥体积的最大值为,故B错误；对于C，在中，，又，则，当点与点重合时，为最小值，当点与点重合时，，达到最大值，又与不重合，则，又，得，故C错误；对于D，由，，，得,又，则为等边三角形，则，将以i轴旋转到与共面，得到，则为等边三角形，，如图如，由，，得，∴，故D正确.二、选择题9.AD解析：对于A，若，，，则，故A正确；对于B，若，，则或相交或是异面直线，故B错误；对于C，若，，则或，故C错误；对于D，由于，则内存在直线，于是，，故D正确.10.AB解析：对于A，∵，∴只有一解，故A正确；对于B，∵，∴，又，∴，则为钝角三角形，故B正确；对于C，的外心为，∴为垂直平分线的交点，，故C错误；对于D，由正弦定理得，，即，∴，即或，即，∴德行形状是直角三角形或等腰三角形，故D错误.11.BCD解析：由题意知圆台的上底面圆半径，下底面圆半径，圆台高，设圆台的母线为，则，故圆台的侧面积为，故A错误；牛奶棉所在的圆的半径为，故水杯中牛奶的体积为，故B正确；水杯的体积为，故37个小球的体积为，设小球的半径为，进而，解得，故C正确；设水杯的外接球的球心到上底面的距离为，则，解得，故外接球的半径为，∴其表面积为，故D正确.三、填空题12.解析：如图所示，设的外接圆圆心为，三棱锥的外接球球心为，由，，则，即，且，∴外接圆半径为，则，∴当点在的延长线上时，三棱锥的体积最大，此时三棱锥的高为，即三棱锥体积.13.解析：取的中点，的中点，连接，由是的中点，得，，则四边形为平行四边形，，，由是的中点，得，，梯形是正方体被平面所截得的截面，，，，∴所求截面的周长是.14.解析：∵，，，在中，，由正弦定理得，即，截得，在中，，即纪念碑高为米.四、解答题15.解：（1）若是实系数一元二次方程的一个根，则也是实系数一元二次方程的一个根，根据韦达定理得，，解得.（2）由有，∴，∴，解得，∴，当时，原方程有一个实根为.16.解：（1）（ⅰ）由，得，又，因此正四棱锥的体积，正四棱柱的体积，∴模型的体积.（ⅱ）取的中点，连接，由，得，∴正四棱锥的侧面积.（2）设，正四棱柱的侧面积为，则，，，于是，而，∴当，即时，，∴当时，下部分正四棱柱的侧面积最大，最大面积是.17.解：（1），将向左平移个单位长度，得到，则当，单调递增，故的单调递增区间为.（2），∵，∴，由余弦定理得，当且仅当时取等号，∴，故面积的最大值为.18.解：（1）∵，由正弦定理可得，∴，故，∵为锐角，∴，∵为锐角三角形，则，解得，∴角的取值范围是.