（人教A版）选择性必修一高二数学上册同步讲义+巩固练习2.4 圆的方程（原卷版）

2.4圆的方程课程标准核心素养回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.直观想象数学运算知识点1圆的标准方程1．圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．2．圆的要素：是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．如图所示．3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．注：（1）圆的方程的推导：设圆上任一点M(x，y)，则|MA|＝r，由两点间的距离公式，得eq\r(x－a2＋y－b2)＝r，化简可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)当圆心在原点即A(0,0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆．(3)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的．(4)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上．【即学即练1】圆心在x轴上，半径为5，且过点的圆的方程是________________．【即学即练2】与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________．【即学即练3】以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是________________．【即学即练4】已知直线与两坐标轴分别交于点，，求以线段为直径的圆的方程．知识点2点与圆的位置关系(1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断：d＞r⇔点在圆外；d＝r⇔点在圆上；d＜r⇔点在圆内．(2)根据点M(x0，y0)的坐标与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系判断：(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外；(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上；(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在圆内．【即学即练5】已知点P(2,1)和圆C：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝________.若点P在圆C外，则实数a的取值范围为________．【即学即练6】已知点M(5eq\r(a)＋1，eq\r(a))在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为________________．知识点3圆的一般方程1．圆的一般方程的概念当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．注：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(D,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(E,2)))2＝eq\f(D2＋E2－4F,4)，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).2．圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径长为eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).注：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点：(1)x2，y2项的系数均为1；(2)没有xy项；(3)D2＋E2－4F＞0.3．常见圆的方程的设法标准方程的设法一般方程的设法圆心在原点x2＋y2＝r2x2＋y2－r2＝0过原点(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2x2＋y2＋Dx＋Ey＝0圆心在x轴上(x－a)2＋y2＝r2x2＋y2＋Dx＋F＝0圆心在y轴上x2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＋Ey＋F＝0与x轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝b2x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq\f(1,4)D2＝0与y轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝a2x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq\f(1,4)E2＝04.二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF>0.))5.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.【即学即练7】(多选)下列结论正确的是()A．任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程B．圆的一般方程和标准方程可以互化C．方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示圆D．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0【即学即练8】(多选)若a∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0，1，\f(2,3)))，方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的值可以为()A．－2B．0C．1D.eq\f(2,3)【即学即练9】若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))【即学即练10】圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)【即学即练11】过O(0,0)，A(3,0)，B(0,4)三点的圆的一般方程为______． 知识点4圆的轨迹问题轨迹和轨迹方程区别：轨迹是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等．轨迹方程是点的坐标满足的关系式．【即学即练12】已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是()A．点 B．直线C．线段 D．圆【即学即练13】已知△ABC的顶点A(0,0)，B(4,0)，且AC边上的中线BD的长为3，则顶点C的轨迹方程是__________．考点一求圆的标准方程解题方略：求圆的标准方程的方法确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径．常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤由圆的标准方程求圆心、半径【例1-1】圆(x－1)2＋(y＋eq\r(3))2＝1的圆心坐标是()A．(1，eq\r(3)) B．(－1，eq\r(3))C．(1，－eq\r(3)) D．(－1，－eq\r(3))变式1：圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝eq\f(\r(3),3)x的距离是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C．1D.eq\r(3)（二）求圆的标准方程【例1-2】圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是__________________．变式1：求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程．变式2：圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)，则圆的标准方程为________．变式3：求圆心在x轴上，且过A(1,4)，B(2，－3)两点的圆的方程．变式4：已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．变式5：圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋y－3＝0对称的圆的标准方程是________________．考点二点与圆的位置关系解题方略：圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝eq\r(x0－a2＋y0－b2).位置关系利用距离判断利用方程判断点在圆外d>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2点在圆上d＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点在圆内d<r(x0－a)2＋(y0－b)2<r2判断点与圆的位置关系的方法(1)确定圆的方程：化为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)将点的坐标代入代数式(x－a)2＋(y－b)2，比较代数式的值与r2的大小关系．(3)下结论：若(x－a)2＋(y－b)2＝r2，表示点在圆上；若(x－a)2＋(y－b)2＞r2，表示点在圆外；若(x－a)2＋(y－b)2＜r2，表示点在圆内．此外，也可以利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内．【例2-1】已知圆(x－a)2＋(y－1)2＝2a(0＜a＜1)，则原点O在()A．圆内 B．圆外C．圆上 D．圆上或圆外变式1：点P(a,10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是()A．在圆内 B．在圆上C．在圆外 D．不确定变式2：已知a，b是方程x2－x－eq\r(2)＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是()A．点P在圆C内 B．点P在圆C外C．点P在圆C上 D．无法确定【例2-2】若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是________．变式1：若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为________．变式2：已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)．(1)若点M(6,9)在圆上，求a的值；(2)已知点P(3,3)和点Q(5,3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．【例2-3】已知M(2,0)，N(10,0)，P(11,3)，Q(6,1)四点，试判断它们是否共圆，并说明理由．考点三与圆有关的最值问题解题方略：1、圆上的点到定点的最大、最小距离设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记;①若点在外，则;②若点在上，则;③若点在内，则;2、与圆有关的最值问题常见的几种类型(1)形如u＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(l,b)截距的最值问题．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．【例3-1】已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求eq\f(y,x)的最大值和最小值．变式1：已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求y－x的最大值和最小值．变式2：已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求x2＋y2的最大值和最小值．【例3-2】已知圆C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，当m变化时，圆C上的点到原点的最短距离是________．【例3-3】设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为()A．6 B．4C．3 D．2变式1：圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________．【例3-4】已知点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，则x2－4y的最小值为________．考点四圆的一般方程解题方略：1、圆的一般方程辨析判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数．2、方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形条件图形D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))D2＋E2－4F>0表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，以eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆3、利用待定系数法求圆的方程的解题策略(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.圆的一般方程辨析【例4-1】已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(3，＋∞)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，＋∞))变式1：若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径．变式2：如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于直线y＝x对称，则必有()A．D＝E B．D＝FC．E＝F D．D＝E＝F将圆的一般方程化为标准方程【例4-2】圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的标准方程为()A．(x－2)2＋(y－3)2＝16 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝16C．(x＋2)2＋(y－3)2＝16 D．(x＋2)2＋(y＋3)2＝16由圆的一般方程求圆心、半径【例4-3】已知圆的方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，圆心坐标为(5,0)，则它的半径为()A．3B.eq\r(5)C．5D．4变式1：将圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0平分的直线是()A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0变式2：已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0,1)，则点B的坐标为________．变式3：圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.变式4：若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为()A．2或1 B．－2或－1C．2 D．1变式5：点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________．（四）求圆的一般方程【例4-4】已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4eq\r(3)，求圆的方程．变式1：过点M(－1,1)，且圆心与已知圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0相同的圆的方程为________________．变式2：过三点O(0,0)，M(7,1)，N(4,2)的圆的方程为________________．变式3：已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)．(1)求△ABC的外接圆的一般方程；(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值．（五）点与圆的一般方程的位置关系【例4-5】若点在圆的外部，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．考点五与圆有关的轨迹问题解题方略：求与圆有关的轨迹问题的方程(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．用代入法求轨迹方程的一般方法【例5-1】已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．(1)求圆C的方程；(2)线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．变式1：如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程．变式2：已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．【例5-2】设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是________．变式1：已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()A．π B．4πC．8π D．9π题组A基础过关练1、求满足下列条件的圆的标准方程：(1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)；(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)．2、已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝eq\r(2)C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝43、与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心且过点P(0,1)的圆的方程为________．4、若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝525、已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是()A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝06、方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为()A．以(a，b)为圆心的圆 B．以(－a，－b)为圆心的圆C．点(a，b) D．点(－a，－b)7、已知圆心在点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1,0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系．8、已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．9、求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点(5,2)和(3，－2)的圆的一般方程．10、当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，eq\r(5)为半径的圆的方程为()A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0题组B能力提升练11、若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,4)C.eq\f(3π,4)D.eq\f(π,5)12、已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是()A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝1613、已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________．14、已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与