北师大版(2024)八年级上册数学第七章《命题与证明》单元整体教学设计

第1页共27页北师大版(2024)八年级上册数学第七章《命题与证明》单元整体教学设计第一部分单元主题及内容阐述……第二部分课标对本单元的要求*第三部分单元教材分析*第四部分第*章第一节第*课时*二、课程标准内容要求*三、教学目标和目标解析*四、学生学情分析*五、教学策略分析……………………六、教学重难点*十、参考文献*一、单元主题：认识证明的价值，初步掌握证明的方法及相应表达规范，体会证明的严谨性，形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维习惯，发展推理能力等。二、单元设计思路：本章是证明的起始阶段.学生先前已经通过观察、测量、实验、操作等活动探究得到了一些几何结论，学生也尝试进行了一些验证和说理，基本认可这些结论，但毕竟不是证明.本章首先要让学生明确认识到：这些探究的结论需要加以证明；同时证明需要一个话语体系，为此就有了所谓的定义、命题等.其次，证明需要确定一些出发点，为此需要梳理有关结论，选择某些结论作为证明的出发点(实际上这就是构建局部的公理体系);有了这些证明的出发点，接着就依次证明一些先前探究得到的定理，在证明过程中，初步掌握证明的要求和格式，认识到证明的严谨性，做到步步有据，发展学生的推理能力.本章以之前学过的部分基本事实作为证明的起点，经历根据基本事实推出其他结论的过程，证明与平行线的性质有关的一些结论，将“平行线的证明”纳入到“命题与证明”这一史广泛的章节中，并且增加了“认识证明”这一部分内容，这一调整不仅让证明的学习更加系统化，还提升了学生的逻辑思维能力和证明技巧的培养。系统地加强学生的逻辑思维训练，帮助学生理解数学中的证明过程和思维方式。通过“认识证明”这一章节的增加，教材旨在培养学生的严谨推理能力。新教材较为简洁，没有三角形内角和定理。三、单元内容：本章共二节五个课时的内容。第一节：认识证明第二节：平行线的证明1.体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力.2.通过具体实例，认识证明，了解定义、命题、定理、推论的意义.3.结合具体实例，会区分命题的条件和结论.4.知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式。5.判断命题的真假，了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误角)的补角相等、三角形的任意两边之和大于第三边的性质.7.掌握基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.8.掌握基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.9.掌握平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.了解平行线性质定理的证明.10.探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角平行直线被第三条直线所截，内错角相等(或同旁内角互补).1.推理能力：通过具休实例，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件和结论。了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。2.儿何直观：在证明过程中，能正确画出图形，并能用图形直观地帮助理解和表达推理过程。3.逻辑思维：了解证明的必要性和意义，知道证明要合乎逻辑，体会证明的学语言(符号、文字、图形)进行有条理的表达。心目标不是“记住结论”,而是“学会思考”。骗人、列举不完备”,从而主动渴望一种绝对可靠的方法(即证明)。3.脚手架与模仿：证明需要规范格式和严密逻辑。初期应提供清晰的范例(“模板”)和循序渐进的指导，帮助学生“蹒跚学步”,再逐步撤去脚手架。(一)、地位分析：承上启下的“思维枢纽”维枢纽”。承上(对过去知识的升华):它是对七年级学习的平行线、三角形等上升为严格的数学语言体系。启下(为未来学习奠基):它是后续学习所有严格更深入的圆和二次函数，其推理的核心方法论均源于此章。它所培养的逻辑思维能力(如分析法、综合法、反证法)是高中乃至整个理科学习的核心思维工具，本章学不好，后续数学学习将举步维艰。(二)、核心分析：超越知识的“思维体操”本章的深层价值不在于那几个定理本身，而在于其蕴含的数学思想方法：转化与化归思想：以基本事实作为证明的出发点和依据，这是解决数学问题的根本人法。本事实”(公理)出发，通过逻辑推理，证明出一个个“定理”,像搭积木一样构建起整个几何大厦。这是理性精神的启蒙。数形结合思想：证明过程的每一步，都需要在图形上找到对应关系，严格遵循“图形-文字-符号”三种语言的转换规则。直观推理阶段：通过观察、画图、测量建立初步判断；非形式化演绎推理：借助已知结论推导新结论；形式化演绎推理：在《命题与证明》章节系统介绍命题、证明、逻辑语言，推动逻辑思维能力发展。整合基本事实构建证明体系：教材将七、八年级获得的图形性质归纳为“基本事实”,为证明活动打好基础。突出合情推理与演绎推理结合：边观察边论证，强化逻辑思维与直观感知的(三)、学情难点分析1.心理层面：畏难情绪，认为“证明”抽象、枯燥，思维习惯仍停留在直观感知阶段，未适应逻辑抽象的范式。2.语言层面：不会将文字语言转化为符号语言和图形语言。书写不规范，漏写依据。缺乏“数学写作”的训练，不清楚证明的本质是“展示推理过程给人看”。3.思维层面：不会添辅助线，没有“创造性不知从何下手，不会逆向分析(从结论倒推)。空问想象能力和逻辑联想能力不4.概念层面：对“定理”、“基本事实”、“判定”、“性质”等术语的理解停留在表面，没有建立起概念之间的逻辑从属关系网络。(四)、与其它内容的联系分析与“平行线”:本章是平行线性质的第一次大规模、高价值应用，让学生深刻休会到以前所学的知识不是孤立的，而是有力的工具。与“全等三角形”:本章是学习全等三角形的直接前奏。全等的证明是几何证明的主体，其思路分析、格式书写、辅助线添加等所有技能，均在本章萌芽并接受初步训练。可以说，本章是“新兵营”,全等三角形是“第一战场”。与“等腰三角形”、“勾股定理”等：这些重要定理的证明，都需要严谨的演绎推理能力，本章是这一切的基础。(五)、教学价值总述《命题与证明》一章，是初中数学课程中培养学生理性精神、逻辑思维和严谨科学态度的最关键章节。它的成功教学，意味着：1.为学生安装了“数学思维的引擎”,让他们从被动的知识接收者，开始转变为主动的推理探索者。2.在学生心中树立了“确定性”的标杆，让他们明白数学真理不依赖于权威或实验，而依赖于无懈可击的逻辑。3.搭建了从感性认知通往理性王国的桥梁，是学生学术成长和思维成熟的一次重要飞跃。第七章命题与证明第七章命题与证明逻辑关系概念建立规则学习核心技能2核心技能1课题课时数7.1认识证明37.2平行线的证明227第四部分第七章《命题与证明》第一节第1课时《认识证明》教学设计1.经历观察、验证、归纳等过程，在活动中体会到观察、实验、归纳得到的结论未必可靠。初步感受证明的必要性，发展学生的推理意识。2.了解确定数学结论正确与否的常用方法：计算、举出反例、推理论证等。3.结合课本内容，体会理性思考、勇于探索的科学精神。1.体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。2.知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式。1.理解为什么要证明.2.经历观察、归纳、验证等活动过程，在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性，发展学生的推理意识.3.培养学生言之有据的人生观，明白眼睛有时也会骗自己.学生在以前的学习中，经历了通过观察、归纳、验证等活动得到数学结论的过程，并且能通过简单的计算、逻辑推理验证结论；能应用这些结论解决一些简单的问题，具备一定的合情推理能力，并能进行初步的逻辑推理.学生已经参与了对事件的观察、实验、猜测、归纳等活动，为本节的白主探究、合作交流等活动打下了良好的基础.基于已有的学习经验，部分学生不理解测量、实验、归纳得到的结论可能不正确；对于正确的结论即使能感知其正确，却又不能清楚的说明正确的依据.规的探索方法(如观察、测量、猜想、归纳),活动的结果既有正确的也有错误的，让学生感受证明的必要性.形性质是有区别的，这之前并不是严谨的证明，对此学生很难区分.实践中掌握证明的方法。引导学生总结证明的重要性及 中间是正方形吗探究探究证明的方法活动1:实例验证活动2:反例验证这个结论?取n=0,1,2,3,4,5试一试。解：当n取0,1,2,3,4,5时，对应n2-2n-11的值如下：n012345然数n,代数式n2-2n-11的值不一定都是质数。活动3:推理验证有一个是正确的。下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：第一题第二题题第四题题得分甲CCABB4乙CCBBC3丙BCCBB2丁BCCBA认识证明1.实例验证2.反例验证3.推理验证(一)课前反思：通过本课的教学，使学生认识到探究得到的结论未必可靠，就是可靠的结论也需要进行严格的推理论证.为此，在教学中，让学生通过观察、测量、归纳等推理论证过程，总结活动经验，认识证明的必要性.(二)课后反思：第一节第2课时《定义与命题》教学设计1.理解定义、命题的概念，能区分命题的条件和结论，并把命题写成“如果……那么……”的形式。2.了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对假命题举1.通过具体实例，了解定义、命题的意义。2.结合具体实例，会区分命题的条件和结论。3.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。例的作用.会把命题改写成“如果……那么……”的形式，能判断命题的真假.2.通过举反例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法；通第12页共27页过对欧几里得《原本》的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价3.通过了解数学知识，拓展学生的视野，从而激发学生学生在以前的学习中接触了不少几何知识，对很多名字、概念有了很深的认识。本节课将对学生传授定义与命题的基本含义，对此，学生已经有比较多的经验和基础。在以前的学习中学生对本节课将采取的讨论、举例说明等学习方式有了比较深刻的认识，为今天的学习作了必要的铺垫。教法：通过探究讨论，启发、引导学生学习本课内容。学法：观察、讨论、交流、归纳、应用。通过课堂讨论和练习掌握新知识。(二)难点：找出命题的条件和结论.情境导入小红与小刚正在津津有味地讨论《我们爱科学》的部分内容。坐在旁边的两个人一边听着他们谈话，一边也在悄悄议论着。喜欢穿黑衣服的贼。个小偷吧?思考：为什么会出现这样的情况?新知初探探究一定义活动1:定义：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的含义的句子叫作该名称或术语的定义。如：“具有中华人民共和国国籍的人，叫作中华人民共和国公民”是“中华人民共和国公民”的定义。“两点之问线段的长度，叫作这两点之间的距离”是“两点之问的距离”的定义。“无限不循环小数称为无理数”是“无理数”的定义。“有两边相等的三角形叫作等腰三角形”是“等腰三角形”的定义。意图说明结合具休实例让学生增加对定义的理解，锻炼学生有条理的数学表达能力。探究二命题活动2:命题的概念下面的语句中，哪些语句对事情作出了判断，哪些没有?与同伴进行交流。(1)任何一个三角形一定有一个角是直角；(2)对顶角相等；(3)无论n为怎样的自然数，式子n2-n+11的值都是质数；(4)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；(5)你喜欢数学吗?(6)作线段AB=CD。学生经过思考，自主探究，与同伴交流，借助语文的经验，可以得到正确的结归纳总结：判断一件事情的句子，叫作命题。例如，上面语句中的(1)(2)(3)(4)对事情进行了判断，都是命题。如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。注意：(1)只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题。如：相等的角是对顶角。第14页共27页(2)如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。如：活动3:命题的构成观察下列命题，这些命题有什么共同的结构特征?(1)如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；(2)如果a=b,那么a2=b2;(3)如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等。结论是由己知事项推断出的事项。命题通常可以写成“如果……,那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。命题活动4:命题的分类有些命题如果条件成立，那么结论一定成立；而有些命题条件成立时，结论不一定成立。正确的命题叫真命题，不正确的命题叫假命题。而不具有命题的结论的例子。意图说明通过三个活动使学生理解命题的概念、命题的构成、命题的分类，然后紧跟定义与命题1.定义2.命题的概念探究二证明命题活动2:从基本事实出发，就可以证明已经探索过的结论了。例如，我们可以证明下面的定理：定理：三角形的任意两边之和大于第三边。例题证明对顶角相等已知：如图所示，直线AB与直线CD相交于点0,∠AOC与∠BOD是对顶角。证明：∵直线AB与直线CD相交于点0(已知),意图说明通过学生合作交流，培养了学生互助交流的意识；让学生初步感受证明推理的过程，休会证明的思路，休验书写的过程以及数学的严谨性。定理与证明1.公理2.定理3.八条基本事实4.定理的证明(一)课前反思：通过本课的教学，使学生知道证明的必要性，初步掌握简单在学生先前已通过观察、测量、实验、操作等活动探究得到了结论，学生基本认可，但毕竟不是证明。引导学生初步掌握证明的要求和格式，认识到证明的严谨性，做到步步有据，发展学生的推理能力。展示铁轨、双杠等生活实例，让学生观察其特点，发学习兴趣。借助教具演示，如用木条模拟直线位置变化，引导学生总结同位角、内错角、同旁内角的关系与两直线平行的联系，再给出准确判定定理。安排基础证明题与复杂图形题，让学生运用判定定理进行推理，强化对知识的理解和运用。(一)重点：运用判定两直线平行的公理和定理进行推理；探索并掌握两直线平行的判定方法.(二)难点：证明题的书写步骤及推理依据，情境导入请找出图中的平行线，思考它们为什么平行?新知初探探究一平行线的判定活动1:如图所示，∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2。求证明：∵∠1=∠2(已知),∠1=∠3(对顶角相等),∴∠3=∠2(等量代换)。直线平行。简述为：内错角相等，两直线平行。应用格式：∵∠1=∠2(已知),∴a//b(内错角相等，两直线平行)。活动2:“两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行”这个命题也正确吗?说明理由。定理证明：如图所示，∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补。求证：a//b。学生思考交流后独立完成，教师给予点评指导。证明：∵∠1与∠2互补(已知),∴∠1+∠2=180°(互补的定义)。∴∠1=180°-∠2(等式的性质)。∵∠3+∠2=180°(平角的定义),∴∠3=180°-∠2(等式的性质)。∴∠1=∠3(等量代换)。∴a//b(同位角相等，两直线平行)。小结：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简述为：同旁内角互补，两直线平行。应用格式：∵∠1+∠2=180°(已知),∴a//b(同旁内角互补，两直线平行)。意图说明两个例子都是以基本事实“同位角相等，两直线平行”为依据分别证明平行线的判定定理：“内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线平行”。在此过程中要引导学生明确现在证明的出发点有哪些，哪些概念、法则、基本事实、定理可用，让学生养成证明时“有理有据”的习惯，培养严谨的学习态度。探究二平行线判定的应用(1)如图所示，利用两个全等的直角三角尺作出平行线，请说说其中的道理。解：可以利用“内错角相等，两直线平行”说明两条直线平行。(2)在一张不规则的四边形纸片上折出平行线，并予以证明；与同伴交流各自的折纸方法与证明过程。意图说明利用平行线的判定定理解释作图的道理。教学中还可以让学生利用手中的直尺、三角尺等工具快捷地作出平行线，从而得到更多作平行线的方法，说明道理的方平行线的判定1.同位角相等，两直线平行.3.同旁内角互补，两直线平行.(一)课前反思：判定两直线平行的条件我们在七年级已经学过，上一节又已经明确了基本事实“同位角相等，两直线平行”,因此教学中，让学生先自主证明平行线的有关定理，感受证明的过程和规范格式，使学生从几何证明的开始阶段就认识到，证明的依据只能是有关概念的定义、所规定的基本事实及已经证明的定理.(二)课后反思：第二节第2课时《平行线的性质》教学设计1.理解并掌握平行线的三条性质定理。2.能够根据平行线的性质进行简单的推理与计算。3.区分平行线的性质和判定的关系，培养学生逆向思维的能力。1.掌握平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。2.探索并证明平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等(或同旁内角互补)。3.了解平行于同一条直线的两条直线平行。1.结合图形用符号语言来表示平行线的三条性质的条件和结论，并能总结归纳出证明的一般步骤.2.经历探索平行线的性质定理的证明过程，培养学生的观察分析和逻辑推理的能力，并在探究活动中学会学习.3.培养学生合作探究的学习方法，休会互逆的思维过程和几何中的应用价八年级的学生有探究热情，较强的求知欲，也具备一定的思考能力。之前学生学习了平行线的定义和判定的方法，对探究平行线的性质初步具备了研究思路，但推理过程的符号化对于刚刚接触几何的八年级学生而言具有一定难度。在本节课的教学中，注重过程性评价，在教学过程中，生的思考，通过学生的回答情况对学生进行评价，另一方面，利用课堂练习，使学生的认知情况得到反馈，进而及时调整教学。通过过程性评价，全面考查学生的学六、教学重难点(一)重点：平行线的性质，(二)难点：运用定理和性质进行推理，写出己知和求证.七、教学过程温故知新(1)平行线的判定方法有哪三种?它们是先知道什么,后知道什么?(2)已知直线AB及其外一点P,画出过点P的AB的平行线。(3)根据同位角相等可以判定两直线平行，反过来如果两直线平行，同位角之间有什么关系呢?内错角，同旁内角之间又有什么关系呢?学习了本节课以后，我们就能得出这些问题的答案了。新知初探探究一平行线的性质活动1:根据“两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等”。你能作出相关的图形吗?问题1:你能根据所作的图形写出已知、求证吗?问题2:你能说说证明的思路吗?已知：如图所示，直线AB//CD,∠1和∠2是直线AB,CD被直线EF截出的同位求证：∠1=∠2.该如何证明呢?今天介绍一个特别的方法——反证法。证明：假设∠1≠∠2,那么我们可以过点M作直线GH,使∠EMH=∠2,如图所示。根据“同位角相等，两直线平行”,可知GH//CD)。又因为AB//CD,这样经过点M存在两条直线AB与GH都与直线CD平行。这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾。这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2。有时，直接证明很困难，我们就证明命题的另一面不成立。也就是假设结论的反面不成立，推导出与已知条件、定理、基本事实矛盾，那么所作的假设不成立，原命题成立。活动2:在上一节中，我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角的数量关