七年级数学完全平方公式专项练习

七年级数学完全平方公式专项练习同学们，我们已经学习了乘法公式中的完全平方公式。这个公式在代数运算中占据着非常重要的地位，它不仅仅是简便运算的工具，更是后续学习因式分解、解一元二次方程等知识的基础。掌握好完全平方公式，关键在于深刻理解其结构特征，并能灵活运用。今天，我们就通过一系列专项练习来巩固和深化对这一公式的理解与应用。一、完全平方公式回顾与结构剖析首先，让我们重温一下完全平方公式的两种基本形式：1.两数和的完全平方公式：\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]语言描述：两个数的和的平方，等于这两个数的平方和，加上这两个数乘积的两倍。2.两数差的完全平方公式：\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]语言描述：两个数的差的平方，等于这两个数的平方和，减去这两个数乘积的两倍。结构特征剖析：*公式左边是一个二项式的平方，即两个相同的二项式相乘\((a\pmb)(a\pmb)\)。*公式右边是一个三项式，其中首末两项分别是左边二项式中两项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的两倍，其符号与左边二项式中间的符号相同（和则加，差则减）。*可以简单记忆为：“首平方，尾平方，首尾两倍中间放，中间符号看前方。”这里的“首”和“尾”指的是公式左边二项式中的两项。温馨提示：\((a-b)^2\)也可以看作是\([a+(-b)]^2\)，利用两数和的完全平方公式展开，结果是一致的，同学们可以自行验证，以加深理解。二、公式的理解与辨析（避免常见错误）在应用公式时，最容易出现的错误就是丢掉中间的“两倍乘积项”，或者弄错符号。我们来看几个辨析题：1.判断下列各式是否正确，若不正确，请改正。*\((x+2)^2=x^2+4\)（）*\((m-3)^2=m^2-3m+9\)（）*\((-a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)（）*\((2a+3b)^2=4a^2+6ab+9b^2\)（）辨析与改正：*错。应为\(x^2+4x+4\)。漏掉了\(2\timesx\times2\)。*错。应为\(m^2-6m+9\)。中间项应为\(2\timesm\times(-3)=-6m\)。*错。应为\(a^2-2ab+b^2\)或\(b^2-2ab+a^2\)。\((-a+b)^2=(b-a)^2=b^2-2ab+a^2\)。*错。应为\(4a^2+12ab+9b^2\)。中间项应为\(2\times(2a)\times(3b)=12ab\)。2.\((a+b)^2\)与\(a^2+b^2\)有什么关系？在什么情况下\((a+b)^2=a^2+b^2\)？解答：\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)，所以\((a+b)^2\)比\(a^2+b^2\)多了一个\(2ab\)。当\(ab=0\)时，即\(a=0\)或\(b=0\)时，两者相等。三、专项练习（一）基础巩固型——直接套用公式A组：直接展开下列各式1.\((a+5)^2\)2.\((n-4)^2\)3.\((3x+2y)^2\)4.\((\frac{1}{2}m-2n)^2\)5.\((-2p-q)^2\)（提示：可先化为\([-(2p+q)]^2=(2p+q)^2\)再展开，或直接将\(-2p\)看作\(a\)，\(-q\)看作\(b\)）6.\((x^2+3y)^2\)（二）变式提升型——公式的灵活应用B组：利用公式进行简便计算1.\(101^2\)（提示：\(101=100+1\)）2.\(99^2\)（提示：\(99=100-1\)）3.\(202^2-404\times2+2^2\)（提示：观察式子结构，是否符合完全平方公式的逆用？）C组：整体思想应用（把多项式看作一个整体）1.\((a+b+c)^2\)（提示：先将\((a+b)\)看作一个整体，即\([(a+b)+c]^2\)，再展开）2.\((x-y-z)^2\)3.\((m+2n-3p)^2\)D组：公式的逆用（配方思想初步）1.若\(x^2+6x+k\)是一个完全平方式，则\(k=\)______。2.若\(a^2-8a+m\)是一个完全平方式，则\(m=\)______。3.填空：\(x^2-5x+(\quad)=(x-\quad)^2\)E组：综合应用与化简求值1.已知\(a+b=5\)，\(ab=3\)，求\(a^2+b^2\)的值。（提示：\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\)）2.已知\(x-y=2\)，\(x^2+y^2=10\)，求\(xy\)的值。3.先化简，再求值：\((2x+3y)^2-(2x-3y)^2\)，其中\(x=1\)，\(y=-1\)。四、练习解答与提示（一）基础巩固型——直接套用公式A组解答：1.\((a+5)^2=a^2+2\timesa\times5+5^2=a^2+10a+25\)2.\((n-4)^2=n^2-2\timesn\times4+4^2=n^2-8n+16\)3.\((3x+2y)^2=(3x)^2+2\times(3x)\times(2y)+(2y)^2=9x^2+12xy+4y^2\)4.\((\frac{1}{2}m-2n)^2=(\frac{1}{2}m)^2-2\times(\frac{1}{2}m)\times(2n)+(2n)^2=\frac{1}{4}m^2-2mn+4n^2\)5.\((-2p-q)^2=[-(2p+q)]^2=(2p+q)^2=(2p)^2+2\times(2p)\timesq+q^2=4p^2+4pq+q^2\)（或直接展开：\((-2p)^2+2\times(-2p)\times(-q)+(-q)^2=4p^2+4pq+q^2\)）6.\((x^2+3y)^2=(x^2)^2+2\times(x^2)\times(3y)+(3y)^2=x^4+6x^2y+9y^2\)（二）变式提升型——公式的灵活应用B组解答：1.\(101^2=(100+1)^2=100^2+2\times100\times1+1^2=____+200+1=____\)2.\(99^2=(100-1)^2=100^2-2\times100\times1+1^2=____-200+1=9801\)3.\(202^2-404\times2+2^2=202^2-2\times202\times2+2^2=(202-2)^2=200^2=____\)（逆用完全平方公式\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)）C组提示与部分解答：1.\((a+b+c)^2=[(a+b)+c]^2=(a+b)^2+2(a+b)c+c^2=a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+c^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)（这是三数和的平方公式，结论可以记住：等于各数平方和加上两两乘积的两倍）2.\((x-y-z)^2=[x-(y+z)]^2=x^2-2x(y+z)+(y+z)^2=x^2-2xy-2xz+y^2+2yz+z^2=x^2+y^2+z^2-2xy-2xz+2yz\)3.（思路同1、2，将前两项或后两项看作整体逐步展开）D组解答：1.\(x^2+6x+k=x^2+2\timesx\times3+k\)，对比\(a^2+2ab+b^2\)，可知\(b=3\)，所以\(k=b^2=9\)。2.\(a^2-8a+m=a^2-2\timesa\times4+m\)，所以\(m=4^2=16\)。3.\(x^2-5x+(\frac{25}{4})=(x-\frac{5}{2})^2\)（因为\(2ab=5x\)，\(a=x\)，所以\(2b=5\)，\(b=\frac{5}{2}\)，\(b^2=\frac{25}{4}\)）E组解答：1.\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=5^2-2\times3=25-6=19\)2.因为\((x-y)^2=x^2-2xy+y^2\)，所以\(2^2=10-2xy\)，即\(4=10-2xy\)，解得\(2xy=6\)，\(xy=3\)。3.\((2x+3y)^2-(2x-3y)^2=[4x^2+12xy+9y^2]-[4x^2-12xy+9y^2]=4x^2+12xy+9y^2-4x^2+12xy-9y^2=24xy\)当\(x=1\)，\(y=-1\)时，原式\(=24\times1\times(-1)=-24\)。（也可先用平方差公式\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)化简：\([(2x+3y)+(2x-3y)][(2x+3y)-(2x-3y)]=(4x)(6y)=24xy\)，更简便）五、总结与建议完全平方公式看似简单，但要做到熟练、准确、灵活地应用，离不开大量的练习和深刻的理解。希望同学们在做完这些练习后，能：1.再次回顾