初中数学归纳题库及答案

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一、单项选择题1.观察下列一组数：1，3，5，7，9，…，第\(n\)个数是（）A.\(2n-1\)B.\(2n+1\)C.\(n+1\)D.\(n-1\)【答案】A2.已知一列数：\(2\)，\(5\)，\(10\)，\(17\)，\(26\)，…，则第\(6\)个数是（）A.\(35\)B.\(37\)C.\(40\)D.\(41\)【答案】B3.用火柴棒按如图方式搭三角形，搭\(n\)个三角形需要火柴棒的根数是（）A.\(2n\)B.\(2n+1\)C.\(3n\)D.\(3n-1\)【答案】B4.一组按规律排列的式子：\(a^2\)，\(\frac{a^4}{3}\)，\(\frac{a^6}{5}\)，\(\frac{a^8}{7}\)，…，则第\(n\)个式子是（）A.\(\frac{a^{2n}}{2n-1}\)B.\(\frac{a^{2n}}{2n+1}\)C.\(\frac{a^{n}}{2n-1}\)D.\(\frac{a^{n}}{2n+1}\)【答案】A5.已知一列数：\(1\)，\(-2\)，\(3\)，\(-4\)，\(5\)，\(-6\)，…，则第\(100\)个数是（）A.\(100\)B.\(-100\)C.\(50\)D.\(-50\)【答案】B6.观察下列等式：\(3^1=3\)，\(3^2=9\)，\(3^3=27\)，\(3^4=81\)，\(3^5=243\)，\(3^6=729\)，\(3^7=2187\)，…，则\(3^{2023}\)的个位数字是（）A.\(3\)B.\(9\)C.\(7\)D.\(1\)【答案】C7.如图，第\(1\)个图形中有\(1\)个正方形，第\(2\)个图形中有\(5\)个正方形，第\(3\)个图形中有\(14\)个正方形，…，按此规律，第\(5\)个图形中正方形的个数是（）A.\(30\)B.\(55\)C.\(91\)D.\(140\)【答案】B8.一列数\(a_1\)，\(a_2\)，\(a_3\)，…，满足条件：\(a_1=\frac{1}{2}\)，\(a_{n}=\frac{1}{1-a_{n-1}}\)（\(n\geqslant2\)，且\(n\)为整数），则\(a_{2023}\)的值为（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(2\)C.\(-1\)D.\(1\)【答案】C9.观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第\(20\)个图形共有（）个★A.\(63\)B.\(57\)C.\(68\)D.\(60\)【答案】D10.把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（\(1\)），（\(3\)，\(5\)，\(7\)），（\(9\)，\(11\)，\(13\)，\(15\)，\(17\)），（\(19\)，\(21\)，\(23\)，\(24\)，\(25\)，\(27\)，\(29\)），…，现有等式\(A_m=(i,j)\)表示正奇数\(m\)是第\(i\)组第\(j\)个数（从左往右数），如\(A_7=(2,3)\)，则\(A_{2023}\)=（）A.\((32,50)\)B.\((32,51)\)C.\((33,50)\)D.\((33,51)\)【答案】B二、多项选择题1.下列关于数字规律的说法正确的是（）A.数列\(2\)，\(4\)，\(8\)，\(16\)，\(32\)，…的规律是后一个数是前一个数的\(2\)倍B.数列\(1\)，\(4\)，\(9\)，\(16\)，\(25\)，…的规律是第\(n\)个数是\(n^2\)C.数列\(1\)，\(3\)，\(6\)，\(10\)，\(15\)，…的规律是相邻两个数的差依次增加\(1\)D.数列\(2\)，\(5\)，\(10\)，\(17\)，\(26\)，…的规律是第\(n\)个数是\(n^2+1\)【答案】ABCD2.观察下列图形规律，以下说法正确的是（）A.用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，第\(n\)个图形需要棋子\(3n+1\)个B.用火柴棍按如图所示的方式摆大小相同的“\(E\)”，第\(n\)个图形需要火柴棍\(5n+1\)根C.如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案（\(1\)）需要\(4\)根小棒，图案（\(2\)）需要\(10\)根小棒，按此规律摆下去，第\(n\)个图案需要\(6n-2\)根小棒D.如图，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第\(n\)个图形需要围棋子的个数是\(n^2+2n\)【答案】ACD3.对于数列\(1\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(5\)，\(8\)，\(13\)，…（从第三项起，每一项都等于前两项之和），以下说法正确的是（）A.这是斐波那契数列B.该数列的第\(10\)项是\(55\)C.该数列中相邻两项的比值越来越接近黄金分割比\(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)D.该数列的递推公式可以表示为\(a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}\)（\(n\geqslant3\)，\(a_1=1\)，\(a_2=1\)）【答案】ABCD4.观察下列等式：\(1^3=1^2\)，\(1^3+2^3=3^2\)，\(1^3+2^3+3^3=6^2\)，\(1^3+2^3+3^3+4^3=10^2\)，…，以下结论正确的是（）A.等式左边是从\(1\)开始的连续自然数的立方和B.等式右边是这些连续自然数的和的平方C.\(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=(\frac{n(n+1)}{2})^2\)D.\(1^3+2^3+3^3+\cdots+10^3=55^2\)【答案】ABCD5.下列关于找规律的方法正确的是（）A.对于数字规律，可以先观察相邻数字之间的差值、比值等关系B.对于图形规律，要注意图形的形状、数量、位置等方面的变化C.可以通过列举前几项，然后尝试总结出通用的规律表达式D.当遇到复杂的规律时，可以将其分解成几个简单的规律来分别研究【答案】ABCD6.观察数列\(-1\)，\(2\)，\(-3\)，\(4\)，\(-5\)，\(6\)，…，以下说法正确的是（）A.该数列的第\(n\)项可以表示为\((-1)^n\timesn\)B.当\(n\)为偶数时，该项为正数C.该数列的奇数项为负数，偶数项为正数D.该数列的前\(100\)项的和为\(50\)【答案】ABCD7.已知数列\(a_n\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，则以下说法正确的是（）A.\(a_2=3\)B.\(a_3=7\)C.可以通过构造等比数列求出\(a_n\)的通项公式D.\(a_n=2^n-1\)【答案】ABCD8.观察下列一组数：\(\frac{1}{2}\)，\(\frac{2}{5}\)，\(\frac{3}{10}\)，\(\frac{4}{17}\)，\(\frac{5}{26}\)，…，以下正确的是（）A.第\(n\)个数是\(\frac{n}{n^2+1}\)B.分子是从\(1\)开始的连续自然数C.分母是分子的平方加\(1\)D.这组数随着\(n\)的增大，数值越来越大【答案】ABC9.下列关于数学归纳法的说法正确的是（）A.数学归纳法是一种证明与自然数有关的命题的方法B.数学归纳法的第一步是验证当\(n=1\)时命题成立C.数学归纳法的第二步是假设当\(n=k\)（\(k\geqslant1\)，\(k\)为自然数）时命题成立，证明当\(n=k+1\)时命题也成立D.用数学归纳法证明命题时，两个步骤缺一不可【答案】ABCD10.观察下列等式：\(2^1=2\)，\(2^2=4\)，\(2^3=8\)，\(2^4=16\)，\(2^5=32\)，\(2^6=64\)，\(2^7=128\)，\(2^8=256\)，…，则（）A.\(2^{2023}\)的个位数字是\(8\)B.\(2^n\)（\(n\)为正整数）的个位数字是以\(2\)、\(4\)、\(8\)、\(6\)为周期循环的C.要确定\(2^n\)的个位数字，只需看\(n\)除以\(4\)的余数D.\(2^{100}\)的个位数字是\(6\)【答案】ABCD三、判断题1.数列\(3\)，\(6\)，\(9\)，\(12\)，\(15\)，…的规律是后一个数比前一个数大\(3\)，第\(n\)个数是\(3n\)。（√）2.用棋子摆成如图所示的“\(T\)”字图案，摆成第\(n\)个“\(T\)”字图案需要的棋子数是\(3n+2\)。（×，应为\(3n+1\)）3.数列\(1\)，\(4\)，\(9\)，\(16\)，\(25\)，…的第\(n\)项是\(n^2\)，那么第\(10\)项是\(100\)。（√）4.观察等式\(1+3=2^2\)，\(1+3+5=3^2\)，\(1+3+5+7=4^2\)，…，可以得出\(1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2\)。（√）5.已知数列\(a_n\)满足\(a_1=2\)，\(a_{n+1}=a_n+2\)，则\(a_n=2n\)。（√）6.数列\(-2\)，\(4\)，\(-8\)，\(16\)，\(-32\)，…的第\(n\)项可以表示为\((-2)^n\)。（√）7.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，摆\(n\)条“金鱼”需用火柴棒的根数为\(6n+2\)。（√）8.观察数列\(2\)，\(5\)，\(10\)，\(17\)，\(26\)，…，相邻两项的差依次是\(3\)，\(5\)，\(7\)，\(9\)，…，所以第\(n\)项是\(n^2+1\)。（√）9.数学归纳法可以用来证明所有的数学命题。（×，只能证明与自然数有关的命题）10.数列\(1\)，\(\frac{1}{2}\)，\(\frac{1}{3}\)，\(\frac{1}{4}\)，\(\frac{1}{5}\)，…的第\(n\)项是\(\frac{1}{n}\)，随着\(n\)的增大，该数列的数值越来越小。（√）四、简答题1.观察数列\(5\)，\(9\)，\(13\)，\(17\)，\(21\)，…，请找出规律并写出第\(n\)个数的表达式。答：通过观察可知，相邻两个数的差值都为\(4\)，这是一个首项\(a_1=5\)，公差\(d=4\)的等差数列。根据等差数列通项公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，可得\(a_n=5+(