数学妙题考研真题及答案

数学妙题考研真题及答案

一、单项选择题1.设函数$f(x)$在$x=0$处可导，且$f(0)=0$，则$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}$等于（）A.$f^\prime(0)$B.$0$C.$f(0)$D.不存在答案：A2.已知函数$y=f(x)$的导函数为$f^\prime(x)$，且$f^\prime(x)\gt0$，则函数$y=f(x)$在其定义域内是（）A.单调递增函数B.单调递减函数C.常值函数D.无法确定单调性答案：A3.设$A$，$B$为$n$阶方阵，且$AB=O$，则必有（）A.$A=O$或$B=O$B.$\vertA\vert=0$或$\vertB\vert=0$C.$A+B=O$D.$\vertA\vert+\vertB\vert=0$答案：B4.若级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$发散，则级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)$（）A.一定收敛B.一定发散C.可能收敛也可能发散D.无法判断答案：B5.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$f(a)f(b)\lt0$，则在区间$(a,b)$内（）A.至少存在一点$\xi$，使得$f(\xi)=0$B.至多存在一点$\xi$，使得$f(\xi)=0$C.一定不存在点$\xi$，使得$f(\xi)=0$D.有且仅有一点$\xi$，使得$f(\xi)=0$答案：A6.已知向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，向量组$\beta_1=\alpha_1+\alpha_2$，$\beta_2=\alpha_2+\alpha_3$，$\beta_3=\alpha_3+\alpha_1$，则向量组$\beta_1,\beta_2,\beta_3$（）A.线性相关B.线性无关C.可能线性相关也可能线性无关D.无法判断答案：B7.设随机变量$X$服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，则$P(\vertX-\mu\vert\lt\sigma)$的值（）A.与$\mu$和$\sigma$都有关B.与$\mu$有关，与$\sigma$无关C.与$\mu$无关，与$\sigma$有关D.与$\mu$和$\sigma$都无关答案：D8.若函数$f(x)$在点$x_0$处可微，则$f(x)$在点$x_0$处（）A.一定连续B.不一定连续C.一定有极限D.不一定有极限答案：A9.设$A$为$n$阶可逆矩阵，$\lambda$是$A$的一个特征值，则$A^{-1}$的一个特征值为（）A.$\lambda$B.$\frac{1}{\lambda}$C.$\lambda^2$D.$\vert\lambda\vert$答案：B10.已知函数$f(x)$在区间$[0,1]$上的定积分$\int_{0}^{1}f(x)dx=2$，则$\int_{0}^{1}2f(x)dx$等于（）A.2B.4C.1D.0答案：B二、多项选择题1.下列函数中，在其定义域内是奇函数的有（）A.$y=x^3$B.$y=\sinx$C.$y=e^x$D.$y=\ln(1+x^2)$答案：AB2.以下关于函数极限的说法正确的是（）A.若$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)$存在，$\lim\limits_{x\tox_0}g(x)$存在，则$\lim\limits_{x\tox_0}(f(x)+g(x))$存在B.若$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)$存在，$\lim\limits_{x\tox_0}g(x)$不存在，则$\lim\limits_{x\tox_0}(f(x)g(x))$不存在C.若$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=A$，则对于任意给定的$\varepsilon\gt0$，存在$\delta\gt0$，当$0\lt\vertx-x_0\vert\lt\delta$时，有$\vertf(x)-A\vert\lt\varepsilon$D.若函数$f(x)$在$x_0$处极限存在，则$f(x)$在$x_0$处一定连续答案：AC3.设$A$，$B$为$n$阶方阵，下列等式成立的有（）A.$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$B.$(AB)^T=B^TA^T$C.$\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert$D.$(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$答案：BCD4.下列级数中，收敛的有（）A.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$B.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$C.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$D.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}n$答案：AC5.对于二元函数$z=f(x,y)$，下列说法正确的是（）A.若偏导数$\frac{\partialz}{\partialx}$，$\frac{\partialz}{\partialy}$在点$(x_0,y_0)$处连续，则函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可微B.若函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可微，则偏导数$\frac{\partialz}{\partialx}$，$\frac{\partialz}{\partialy}$在点$(x_0,y_0)$处一定连续C.函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的全微分$dz=\frac{\partialz}{\partialx}\vert_{(x_0,y_0)}dx+\frac{\partialz}{\partialy}\vert_{(x_0,y_0)}dy$D.若偏导数$\frac{\partialz}{\partialx}$，$\frac{\partialz}{\partialy}$在点$(x_0,y_0)$处存在，则函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处一定连续答案：AC6.设向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性相关，则（）A.该向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示B.存在一组不全为零的数$k_1,k_2,\cdots,k_s$，使得$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0$C.该向量组的秩小于$s$D.若向量组$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$可以由$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性表示，则$t\lts$答案：ABC7.设随机变量$X$的概率分布为$P(X=k)=\frac{C}{2^k}$，$k=1,2,\cdots$，则（）A.$C=1$B.$X$服从几何分布C.$E(X)=2$D.$D(X)=2$答案：AC8.下列关于矩阵特征值与特征向量的说法正确的是（）A.若$\lambda$是矩阵$A$的特征值，$\xi$是对应的特征向量，则$A\xi=\lambda\xi$B.矩阵$A$的不同特征值对应的特征向量一定线性无关C.若矩阵$A$可逆，则$A$的特征值都不为零D.矩阵$A$的特征值之和等于矩阵$A$的主对角线元素之和答案：ABCD9.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上可积，则（）A.函数$f(x)$在区间$[a,b]$上一定连续B.函数$f(x)$在区间$[a,b]$上一定有界C.$\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$D.若$m\leqf(x)\leqM$，$x\in[a,b]$，则$m(b-a)\leq\int_{a}^{b}f(x)dx\leqM(b-a)$答案：BCD10.以下关于函数极值的说法正确的是（）A.若函数$f(x)$在点$x_0$处可导，且$f^\prime(x_0)=0$，则$x_0$一定是函数$f(x)$的极值点B.若函数$f(x)$在点$x_0$处取得极值，且$f(x)$在点$x_0$处可导，则$f^\prime(x_0)=0$C.函数$f(x)$在区间$(a,b)$内的极大值一定大于极小值D.函数$f(x)$的极值点可能是驻点或不可导点答案：BD三、判断题1.若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在区间$[a,b]$上一定有最大值和最小值。（）答案：对2.若向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性相关，则$\alpha_1$一定可以由$\alpha_2$和$\alpha_3$线性表示。（）答案：错3.级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n$是收敛的。（）答案：错4.若函数$f(x)$在点$x_0$处的导数$f^\prime(x_0)=0$，则$f(x)$在点$x_0$处取得极值。（）答案：错5.设$A$，$B$为$n$阶方阵，若$AB=BA$，则$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$。（）答案：对6.二元函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的偏导数$\frac{\partialz}{\partialx}$，$\frac{\partialz}{\partialy}$存在，则函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处一定连续。（）答案：错7.若随机变量$X$与$Y$相互独立，则$E(XY)=E(X)E(Y)$。（）答案：对8.矩阵$A$的特征值一定是实数。（）答案：错9.定积分$\int_{a}^{b}f(x)dx$的值与积分变量用什么字母表示无关。（）答案：对10.若函数$f(x)$在区间$I$上的二阶导数$f^{\prime\prime}(x)\gt0$，则函数$f(x)$在区间$I$上是凹的。（）答案：对四、简答题1.简述函数极限与数列极限的关系。函数极限与数列极限密切相关。海涅定理指出，函数$f(x)$当$x\tox_0$时极限存在且等于$A$的充要条件是，对于任意以$x_0$为极限的数列$\{x_n\}$（$x_n\neqx_0$），数列$\{f(x_n)\}$的极限都存在且等于$A$。这说明可以通过研究数列极限来判断函数极限，同时函数极限的性质也能为数列极限的研究提供思路。2.简述矩阵可逆的判定条件。矩阵$A$可逆的判定条件有多个。首先，$A$可逆的充要条件是$\vertA\vert\neq0$；其次，$A$可逆当且仅当存在矩阵$B$，使得$AB=BA=E$；从秩的角度，$A$可逆等价于$r(A)=n$（$n$为矩阵$A$的阶数）；从线性方程组角度，$A$可逆意味着线性方程组$Ax=b$有唯一解；从特征值角度，$A$可逆当且仅当$A$的所有特征值都不为零。3.简述级数收敛的必要条件。若级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，则$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$。这是级数收敛的必要条件，但不是充分条件。也就是说，当$\lim\limits_{n\to\infty}a_n\neq0$时，级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$一定发散；然而当$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$时，级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$不一定收敛，比如调和级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$，虽然$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$，但该级数是发散的。4.简述二维随机变量的联合分布函数的性质。二维随机变量$(X,Y)$的联合分布函数$F(x,y)$具有以下性质：一是有界性，$0\leqF(x,y)\leq1$，且$F(-\infty,y)=0$，$F(x,-\infty)=0$，$F(-\infty,-\infty)=0$，$F(+\infty,+\infty)=1$；二是单调性，关于$x$和$y$都是单调不减的；三是右连续性，即$F(x+0,y)=F(x,y)$，$F(x,y+0)=F(x,y)$；四是对于任意$x_1\ltx_2$，$y_1\lty_2$，有$P(x_1\ltX\leqx_2,y_1\ltY\leqy_2)=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y