湖南省邵阳市2025-2026学年高二上学期9月拔尖创新班联考数学试题（含答案）

2025年9月邵阳市高二拔尖创新班联考试题卷本试卷共4页，19个小题。满分150分。考试用时120分钟。一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)A.2√3B.4C.3√3A.81B.1452025年9月邵阳市高二拔尖创新班联考试题卷(数学)第1页(共4页)7.已知圆C:(x-4)²+y²=4,点P(1,√3)关于直线y=kx(k∈R)的对称点Q在圆C上，直线PQ与圆C的另一个交点为G,则PA.2B.2√28.若关于x的方程(eˣ-tx)(x-tlnx)=0恰有三个不同的实根a,b,c(a<b<c),则A.a+c<2bB.a+c=2bC.ac>b²D.ac=b²二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，2AB=AA₁=2,M是BC的中点，N是线段CC₁上的动点，则B.正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积C.若AB₁⊥MN,则D.直线MN与AB₁是异面直线10.设抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点为F,0为坐标原点，过点F的直线交C于A,B两点，过点A,B分别作准线的垂线，对应垂足分别为点M,N,连接MF,NF,则D.记△AMF,△MFN,△BNF的面积分别为S₁,S₂,S₃,则S²=4S₁S₃11.在△ABC中，角A,B,C段BC上，且AD=4,则A.角A的大小B.若AD为∠BAC的角平分线，则三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)14.抛掷一枚质地不均匀的骰子，每次掷出点数为5的概率为p(0<p<1).若连续抛掷这枚骰子三次，每次抛掷均相互独立，则事件“三次抛掷中恰有1次掷出的点数为5”的概率的2025年9月邵阳市高二拔尖创新班联考试题卷(数学)第2页(共4页)2025年9月邵阳市高二拔尖创新班联考试题卷(数学)第3页(共4页)(1)求C;16.(15分)设数列{an}满足a₁=2,aₙ+1=3aₙ+3”-2(n∈N").(2)求数列{a}的前n项和S.17.(15分)已知函,其中a,b均为实数.(1)若b=e⁻¹,f(x)在点(1,f(1))处的切线过定点P,求P的坐标；2025年9月邵阳市高二拔尖创新班联考试题卷(数学)第4页(共4页)18.(17分)如图(一),在△PBC中，BA⊥PC于点A,√2AP=2AB=AC=4,四(2)E是AC的中点，连接P₁E,BE,记二面角B-P₁E-A为α,二面角B-P₁C-A为β(i)设三棱锥P₁-ABC的(2)设点P(t,0)(0<t<a)关于E所对应的极线为直线1,1与x轴交于点Q,过点P作直线x2025年9月邵阳市高二拔尖创新班联考参考答案与评分标准一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)题号12345678BCBBADCD两式相乘整理得m²+n²=4又点Q在圆C上，有(m-4)²+n²=4,即m²+n²-8m+12=0.两式结合，得Q(2,0).设0又CQ=CG=2,故△CQG为正三角形，PG=PQ+QG=2+28.D【解析】若x=1是其中一个根，则有t=e,但此时方程(eˣ-tx)(x-tlnx)=0不足三个根，(单独分析x=1的情况，是因为此处lnx作分母).通过求导与分析，不难作出的大致图象(如下图),而在(1,e)上单调递减，故e“=b(2式).由,b>1,lnc>1,)上单调递增，故b=lnc(3式).由(1式)得：整理并代入(2)(3)式，得b²=elnb=el"clne“=ac,即选项D正确.而a+c>2√ac=2b(基本不等式且不取等).综上所述，故选D.2025年9月邵阳市高二拔尖创新班联考参考答案与评分标准(数学)第1页(共7页)2025年9月邵阳市高二拔尖创新班联考参考答案与评分标准(数学)第2页(共7页)二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)题号910.BCD【解析】选项A:设直线AB:与抛物线C:y²=2px(p>0)联立，整理得y²-2pty-p²=0,设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),故选项A错误.选项B:结合题意及抛物线的定义，有|AF|=|AM|=2p,故,代入抛物线C:y²=2px,得y₁=±√3p,则kAF=±√3.故选项B正确.选项D:不妨设点A在第一象限，故选项C正确.同理，结合选项A运算的联立，x₁+x₂=t(y₁+y₂)+p=2pt²+p,,则S²=4S₁S₃.故选项D正确.即2sinAcosA+sinCcosB+sinBcosC=0,2s故选项A正确.故选项B正确.2025年9月邵阳市高二拔尖创新班联考参考答案与评分标准(数学)第3页(共7页)在△ABD中，由正弦定理得：由于,则BD的长度的取值范围为故选项C正确.选项D:若AD·BC=0,根据等面积法由余弦定理得：由余弦定理得：,整理可△ABC的周长解得a≥8√3,故△ABC的周长,周长的最小值为16+8√3.故选项D错误.三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)14.【解析】因为每次投掷出点数为5的概率为p(0<p<1),则每次投掷出其他点数的概率为1-p,故P=p(1-p)(1-p)+(1-p)p(1-p)+(1-p)(1-p)p=3p(1-p)(1-p)=(三元基本不等式).四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)(1)解：在ABC中，由(a-c)(sinA+sinC)=(a-b)sinB,(2)由(1)知由于△ABC是锐角三角形，则,故16.(15分)…10分前n项和Sₙ=1·3⁰+2·3¹+3·3²+…+(n-1)·3”⁻²+n·3”故3Tₙ=1·3¹+2·3²+3·3³+…+(n-1)·3”⁻¹+n·3”,两式相减得2T=-3⁰-3¹-3²-3³17.(15分)2025年9月邵阳市高二拔尖创新班联考参考答案与评分标准(数学)第4页(共7页)2025年9月邵阳市高二拔尖创新班联考参考答案与评分标准(数学)第5页(共7页)即y=(e“⁻¹-1)(a-1)(x-2……故其所过定点P为(2,1)又∵a>1,∴e“⁻¹-x>e⁻¹-x.令H(x)=eˣ⁻¹-x,得H'(x)=e²⁻易得y=H'(x)在(0,1)上单调递减，(1,+∞)上单调递增.故H'(x)≥H'(1),H'(1)=0.令令则h(a)在(1,+∞)上单调递增，故h(a)≥h(1)=0.18.(17分)又∵P₁CC平面ACP₁,∴AB⊥P₁C.(2)(i)证明：当AP₁⊥AC时，分别以AB,别过两个圆心作对应平面的垂线，则交点为0,根据已知条件，得点0(1,2,√2),如图，以点A为坐标原点，AB,AC所在直线为x轴，易得平面P₁EA和平面P₁CA的一个法向量r=(1,0,0).设平面P₁BE的一个法向量m=(x₁,y₁,z1),设平面P₁BC的一个法向量n=(x₂,y₂,Z₂),令x₂=2√2sinθ,得n故…10分分……17分19.(17分)(1)解：根据极线方程的定义，右焦点对应的极线设B(x₁,y₁),C(x₂,y₂),M(x₃,y3),直线BC:x=my+1,代入椭圆方程整理得：(3m²+4)y²+6my-9=0,2025年9月邵阳市高二拔尖创新班联考参考答案与评分标准(数学)第6页(共7页)故点,同理得点