深圳万科城实验学校初中部中考数学期末二次函数和几何综合汇编

深圳万科城实验学校初中部中考数学期末二次函数和几何综合汇编一、二次函数压轴题1．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点．（1）求点、点、点的坐标；（2）当点在线段上运动时，直线交于点，试探究当为何值时，四边形是平行四边形；（3）在点的运动过程中，是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．2．某数学兴趣小组在探究函数y＝x2﹣2|x|+3的图象和性质时，经历了以下探究过程：（1）列表（完成下列表格）．x…﹣3﹣2﹣1﹣0123…y…632236…（2）描点并在图中画出函数的大致图象；（3）根据函数图象，完成以下问题：①观察函数y＝x2﹣2|x|+3的图象，以下说法正确的有（填写正确的序号）A．对称轴是直线x＝1；B．函数y＝x2﹣2|x|+3的图象有两个最低点，其坐标分别是（﹣1，2）、（1，2）；C．当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大；D．当函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向下平移3个单位时，图象与x轴有三个公共点；E．函数y＝（x﹣2）2﹣2|x﹣2|+3的图象，可以看作是函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向右平移2个单位得到．②结合图象探究发现，当m满足时，方程x2﹣2|x|+3＝m有四个解．③设函数y＝x2﹣2|x|+3的图象与其对称轴相交于P点，当直线y＝n和函数y＝x2﹣2|x|+3图象只有两个交点时，且这两个交点与点P所构成的三角形是等腰直角三角形，求n的值．3．小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：y＝[x]，若x≥0时，[x]＝x2﹣1；若x＜0时，x＝﹣x+1．小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究．（1）下列关于该函数图像的性质正确的是；（填序号）①y随x的增大而增大；②该函数图像关于y轴对称；③当x＝0时，函数有最小值为﹣1；④该函数图像不经过第三象限．（2）①在平面直角坐标系xOy中画出该函数图像；②若关于x的方程2x+c＝[x]有两个互不相等的实数根，请结合函数图像，直接写出c的取值范围是；（3）若点（a，b）在函数y＝x﹣3图像上，且﹣＜[a]≤2，则b的取值范围是．4．已知抛物线有最低点为F．（1）当抛物线经过点E（-1，3）时，①求抛物线的解析式；②点M是直线下方抛物线上的一动点，过点M作平行于y轴的直线，与直线交于点N，求线段长度的最大值；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线．经过探究发现，随着m的变化，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x之间存在一个函数，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的交点为P，请结合图象求出点P的纵坐标的取值范围．5．综合与探究如图1，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线BC，点C关于x轴的对称点是点．（1）求点的坐标和直线BC的表达式；（2）如图2，点M在抛物线的对称轴上，N为平面内一点，依次连接BM，，，NB，当四边形是菱形时，求点M坐标；（3）如图3，点P是抛物线第一象限内一动点，过P作x轴的平行线分别交直线BC和y轴于点Q和点E，连接交直线BC于点D，连接，PB，设点P的横坐标为m，△的面积为，△PBD的面积为，求的最大值．6．如图，边长为5的正方形的两边在坐标轴上，以点为顶点的抛物线经过点，点是抛物线上第一象限内一点，过点作于点，点的坐标为．连接．（1）求抛物线的解析式；（2）求的值；（3）①在点运动过程中，当时，点的坐标为________；②连接，在①的条件下，把沿轴平移（限定点在射线上），并使抛物线与的边始终有两个交点，探究点纵坐标的取值范围是多少？7．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下．（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如下：…-3-2-10123……3-10-103…其中，______．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分．（3）进一步探究函数图象发现：①方程有______个实数根；②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是______．8．在平面直角坐标系中（如图）．已知点，点，点．如果抛物线恰好经过这三个点之中的两个点．（1）试推断抛物线经过点A、B、C之中的哪两个点？简述理由；（2）求常数a与b的值：（3）将抛物线先沿与y轴平行的方向向下平移2个单位长度，再与沿x轴平行的方向向右平移个单位长度，如果所得到的新抛物线经过点．设这个新抛物线的顶点是D．试探究的形状．9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，若点D是抛物线上第一象限内的一动点，设点D的横坐标为m，连接CD，BD，BC，AC，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；（3）如图2，若点N为抛物线对称轴上一点，探究抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+3经过A(1，0)、B(－3，0)两点，与y轴交于点C．直线BC经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）将△COB沿直线BC平移，得到△C1O1B1，请探究在平移的过程中是否存在点O1落在抛物线上的情形，若存在，求出点O1的坐标，若不存在，说明理由；（3）如图2，设抛物线的对称轴与x轴交于点E，连结AC，请探究在抛物线上是否存在一点F，使直线EF∥AC，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由．二、中考几何压轴题11．定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股点．已知点M、N是线段AB的勾股点，若AM＝1，MN＝2，则BN＝．（1）（类比探究）如图2，DE是△ABC的中位线，M、N是AB边的勾股点（AM＜MN＜NB），连接CM、CN分别交DE于点G、H．求证：G、H是线段DE的勾股点．（2）（知识迁移）如图3，C，D是线段AB的勾股点，以CD为直径画⊙O，P在⊙O上，AC＝CP，连结PA，PB，若∠A＝2∠B，求∠B的度数．（3）（拓展应用）如图4，点P（a，b）是反比例函数（x＞0）上的动点，直线与坐标轴分别交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段AB于E、F．证明：E、F是线段AB的勾股点．12．（感知）（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=．（探究）（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．（拓展）（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．13．（1）问题情境：如图1，已知等腰直角中，，，是上的一点，且，过作于，取中点，连接，则的长为_______（请直接写出答案）小明采用如下的做法：延长到，使，连接，为中点，为的中点，是的中位线……请你根据小明的思路完成上面填空；（2）迁移应用：将图1中的绕点作顺时针旋转，当时，试探究、、的数量关系，并证明你的结论．（3）拓展延伸：在旋转的过程中，当、、三点共线时，直接写出线段的长．14．如图，四边形是正方形，点为对角线的中点．（1）问题解决：如图①，连接，分别取，的中点，，连接，则与的数量关系是_____，位置关系是____；（2）问题探究：如图②，是将图①中的绕点按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．判断的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图③，是将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．若正方形的边长为1，求的面积．15．（探究证明）（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交AB、DC于点G、H，求证：；（结论应用）（2）如图②，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB＝2，BC＝3．求折痕EF的长；（拓展运用）（3）如图③，将矩形ABCD沿EF折叠．使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG，若AB＝2，BC＝3，EF＝，请求BP的长．16．综合与实践操作探究（1）如图1，将矩形折叠，使点与点重合，折痕为，与交于点．请回答下列问题：①与全等的三角形为______，与相似的三角形为______．并证明你的结论：（相似比不为1，只填一个即可）：②若连接、，请判断四边形的形状：______．并证明你的结论；拓展延伸（2）如图2，矩形中，，，点、分別在、边上，且，将矩形折叠，使点与点重合，折痕为，与交于点，连接．①设，，则与的数量关系为______；②设，，请用含的式子表示：______；③的最小值为______．17．（问题呈现）下面是华师版八年级下册数学教材第121页的第1题，请结合图①完成这道题的证明．如图①，点是正方形的边上的一点，点是的延长线上的一点，且．求证：．（拓展探究）如图②，在中，，，，垂足为点，点是边上的动点，点是边上的一点，且．（1）直接写出四边形的面积．（2）若，则四边形的周长为________．18．综合与实践（问题背景）如图1，矩形中，．点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边的点处．（问题解决）（1）填空：的长为______．（2）如图2，将沿线段向右平移，使点与点B重合，得到与交于点F，与交于点G．求的长；（拓展探究）（3）在图2中，连接，则四边形是平行四边形吗？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．19．（1）问题探究：如图1，在正方形中，点、、分别是、、上的点，且，求证：；（2）类比应用：如图2，在矩形中，，，将矩形沿折叠使点落在点处，得到矩形．①若点为的中点，试探究与的数量关系；②拓展延伸：连，当时，，，求的长．20．（1）（问题发现）如图①，正方形的两边分别在正方形的边和上，连接．填空：①线段与的数量关系为______；②直线与所夹锐角的度数为_______．（2）（拓展探究）如图②，将正方形绕点逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．（3）（解决问题）如图③，在正方形中，，点M为直线上异于B，C的一点，以为边作正方形，点N为正方形的中心，连接，若，直接写出的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、二次函数压轴题1．C解析：（1）（2）当，四边形是平行四边形（3）存在，点的坐标为，，【分析】（1）根据函数解析式列方程即可；（2）根据平行四边形的判定，用含未知数的值表示QM的长度，从而可求解;（3）设Q点的坐标为,分两种情况讨论：当时，由勾股定理可得：，当时，由勾股定理可得：，可解出的值.【详解】（1）令，则，C点的坐标为（0,2）；令，则解得，点A为（-1,0）；点B为（4,0）∴（2）如图1所示：点C与点D关于轴对称，点,设直线BD的解析式为，将代入得：解得∴直线BD的解析式为：∵∴当时，四边形是平行四边形设Q点的坐标为，则∴解得（不合题意，舍去）∴当，四边形是平行四边形（3）存在，设Q点的坐标为∵是以BD为直角边的直角三角形∴当时，由勾股定理可得：即解得（不合题意，舍去）∴Q点的坐标为当时，由勾股定理可得：即解得Q点的坐标为综上所述：点的坐标为，，.【点睛】本题考查了一次函数和抛物线的综合问题，解题的关键在于拿出函数解析式，会用含未知数的代数式表示出关键的点的坐标和线段的长度.2．B解析：（1）详见解析；（2）详见解析；（3）①B、D、E；②2＜m＜3；③n＝2或6．【分析】（1）把x＝﹣，0，分别代入函数表达式即可求解；（2）描点确定函数图象；（3）①结合图象，根据二次函数的性质依次判断各项即可求解；②根据二次函数的图象即可解答；③如图，当直线y＝n处于直线m或m′的位置时，由此即可求解．【详解】（1）把x＝﹣，0，分别代入函数表达式得：y＝，3，；故答案为，3，；（2）描点确定函数图象如下：（3）①A．对称轴是直线x＝0，故错误；B．函数y＝x2﹣2|x|+3的图象有两个最低点，其坐标分别是（﹣1，2）、（1，2），故正确；C．当﹣1＜x＜1时，函数在y轴右侧，y随x的增大而增大，故错误；D．当函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向下平移3个单位时，图象与x轴有三个公共点，正确；E．函数y＝（x﹣2）2﹣2|x﹣2|+3的图象，可以看作是函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向右平移2个单位得到，正确；故答案为：B、D、E；②从图象看，2＜m＜3时，方程x2﹣2|x|+3＝m有四个解；③如图，当直线y＝n处于直线m或m′的位置时，点P和图象上的点构成等腰直角三角形，即n＝2或6．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，正确的识别图象，利用数形结合思想是解决问题的关键．3．（1）③④；（2）①见解析；②或；（3）或【分析】（1）画出图象，根据函数的性质即可判断．（2）①根据题意列表、描点、连线即可．②将看成是一次函数，此函数与轴的交点是，因此要与图像有两个交点，则需要分情况讨论．当时，满足两个交点的要求；当时，与图像没有两个交点；当时，可以有两个交点，此种情况要代入，根据根的判别式求出的范围即可．（3）因为，所以根据分段函数的图像，求解取值在到2之间的自变量的范围，分情况讨论即可．再根据点在函数图象上，则，即，代入到的取值范围中求解即可．【详解】解：（1）画出图象，根据图象可知，①当时，随的增大而增大，故错误；②该函数图象关于轴不对称，故错误；③当时，函数有最小值为，正确；④该函数图象不经过第三象限，正确；故答案为：③④．（2）①在平面直角坐标系中画出该函数图象，②关于的方程有两个互不相等的实数根，可以看成是和有两个交点．是一次函数，与轴的交点为，当时，满足两个交点的条件．若将向下平移与图像有两个交点，则．方程为，即．△，，．故答案为：或．（3），当时，，，解出．当时，，，解出．或．点在函数图象上，，，或．故答案为：或．【点睛】此题考查的是分段函数，用数形结合的思想是解此题的关键．4．E解析：（1）①；②2；（2）；（3）【分析】（1）①把点E（-1，3）代入求出m的值即可；②先求出直线EF的解析式，设出点M的坐标，得到MN的二次函数关系式，根据二次函数的性质求解即可；（2）写出抛物线的顶点式，根据平移规律即可得到的顶点式，进而得到的顶点坐标，即，消去，得到与的函数关系式，再由即可求得的取值范围；（3）求出抛物线怛过点A（2，-3），函数H的图象恒过点B（2，-4），从图象可知两函数图象的交点P应在A，B之间，即点P的纵坐标在A，B点的纵坐标之间，从而可得结论．【详解】解：（1）①∵抛物线经过点E（-1，3）∴∴∴抛物线的解析式为：②如图，∵点F为抛物线的最低点，∴∴设直线EF的解析式为：把E（-1，3），F（1，-5）代入得，解得，∴直线EF的解析式为：设，则∴∵∴当时，MN有最大值，最大值为2；（2）∵抛物线∴平移后的抛物线∴抛物线的顶点坐标为∴∴∴∵∴∴∴与的函数关系式为：（3）如图，函数的图象为射线，时，；时，∴函数H的图象恒过点（2，-4）∵抛物线，当时，；当时，；∴抛物线G恒过点A（2，-3）由图象可知，若抛物线G与函数H的图象有交点P，则有∴点P纵坐标的取值范围为：【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到待定系数法求解析式、二次函数的性质和数形结合思想等知识，熟练运用二次函数的性质解决问题是本题的关键．5．A解析：（1），y＝－x＋4；（2）M（1，－1）；（3）的最大值是4．【分析】（1）先求得点A，B，C的坐标，即可求得的坐标，再用待定系数法求得直线BC的表达式；（2）过M作MH⊥y轴于点H，连接OM．证明△OMB≌△O，即可得∠MOB=．再求得∠MOB==45°；由此求得．再求得抛物线的对称轴，即可求得点M的坐标；（3）过B作BI⊥PQ于I．易求，再求得PQ的最大值，即可求得的最大值．【详解】（1）∵抛物线与x轴相交于点A，B，当y＝0时，，解，得；∴B（4，0）∵抛物线与x轴相交于点C，∴当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），．设BC的表达式为y＝kx＋b，将B，C两点坐标分别代入得，解，得．直线BC的表达式为y＝－x＋4；（2）过M作MH⊥y轴于点H，连接OM．∵四边形是菱形，∴BM=，∵B（4，0），C（0，4），∴OB＝OC，∵OM=OM，∴△OMB≌△O，∴∠MOB=．∵∠BO＝90°，∴∠MOB==45°；∵MH⊥y，．∵抛物线的对称轴为直线，．∴M（1，－1）．（3）过B作BI⊥PQ于I．∵PQ//x轴，∴∠IEO＝90°，∴四边形EOBI是矩形．．，∵点P在抛物线上，且点P的横坐标为m，∴点P的纵坐标为．∵PQ//x轴，∴点Q的纵坐标为，将其代入y＝－x＋4，∴点Q的横坐标为．∵点P是抛物线第一象限内，∴点P在点Q右侧，．，∴当m＝2时，PQ的最大值是2，∴的最大值是4．【点睛】本题是二次函数的综合题，解决第（3）题时构建二次函数模型是解决问题的关键．6．F解析：（1）；（2）；（3）①；②【分析】（1）由题可设抛物线解析式为，将N点坐标代入，求出a即可求出抛物线的函数表达式．（2）过点作轴于，由题可设，故可求出PF的长．在中，利用勾股定理可求出PE的长，即发现，故．（3）①由题意易求，即．结合（2）即可列出关于m的方程，解出m即可求出此时P点坐标．②根据题意可知将沿y轴平移，使抛物线与△PEF的边始终有两个交点的极限条件为：向上平移，一直到点与点重合前和向下平移，一直到点与点重合前．根据平移规律结合①即可得出答案．【详解】解：（1）由题可设抛物线解析式为，把代入，，解得，∴抛物线的函数表达式为．（2）如图，过点作轴于，由题可设，∴∵在中，，即，∴，∴，即．（3）①由题意可知，∵，∴，∴．由（2）可知，．∴，解得：（舍）．故，即．②根据题意可知将沿y轴平移，使抛物线与△PEF的边始终有两个交点的条件为：向上平移，一直到点与点重合前和向下平移，一直到点与点重合前．Ⅰ当沿y轴向上平移，且点与点重合时，如图，.∵,∴此时P点向上平移1个单位得到，即．∵点与点重合时，抛物线与△PEF的边有两个交点，即当时抛物线与△PEF的边有两个交点，∴．Ⅱ当沿y轴向下平移，且点与点P重合时，如图，.∵，∴此时P点向下平移4个单位得到，即．∵点与点P重合时，抛物线与△PEF的边只有一个交点，即当时抛物线与△PEF的边只有一个交点，∴．综上可知．【点睛】本题考查二次函数综合，勾股定理，两点的距离公式以及含角的直角三角形的性质．作出辅助线并利用数形结合的思想是解答本题的关键．7．（1）0；（2）图见解析；（3）①3；②【分析】（1）那x=-2代入解析式，即可求得m的值；（2）利用描点法画函数图象即可；（3）①观察图象找出图象与x轴的交点个数即可求解；②观察图象，找出图象与平行于x轴直线的交点个数为4个时对应y的取值范围即可．【详解】（1）x=-2时，m=（-2）2-=0；故答案为：0；（）如图所示（）①观察图象，可知与x轴有三个交点，所以有三个根，分别是、、；即答案为3；②∵关于的方程有四个根，∴函数的图象与y=a有四个交点，由函数图象知：的取值范围是．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，其中观察函数图像的能力是解答本题的关键．8．A解析：（1）点A、B在抛物线上，理由见解析；（2），；（3）等腰直角三角形【分析】（1）轴，故B、C中只有一个点在抛物线上，算出AC的解析式，交y轴于点，抛物线与y轴也交于点，故C不符要求，由此解答即可；（2）把A、B点的坐标代入解析式，由此解答即可；（3）由平移可得新的解析式，代入得出D点的坐标，再判断三角形的形状．【详解】（1）∵轴，故B、C中只有一个点在抛物线上，∵，交y轴于点．且抛物线与y轴也交于点，故C不符要求．∴点A、B在抛物线上（2）代入A、B到．，∴（3）∴代入到，（舍），，∴∴，，∴，，∴．∴是等腰直角三角形【点睛】本题考查了与待定系数法求二次函数解析式及判断点是否在图像上，平移变换勾股定理等知识，求解析式是解题的关键．9．A解析：（1）；（2）1或2；（3）存在，点M的坐标为或或【分析】（1）把点A、B的坐标代入二次函数解析式进行求解即可；（2）过点D作y轴平行线交BC于点E，由题意易得C点坐标是（0，2），然后可得直线BC的解析式，然后可表示点E坐标，进而可根据铅垂法进行表示△BCD的面积，最后问题可进行求解；（3）设点M的坐标为：（x，y），点N（1，s），点B（3，0）、C（0，2），根据题意易得当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，可分①当BC是平行四边形的边时，②当BC为对角线时，然后根据平行四边形的性质及中点坐标公式可求解．【详解】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2中，得：，解得：，∴抛物线解析式为；（2）过点D作y轴平行线交BC于点E，把x＝0代入中，得：y＝2，∴C点坐标是（0，2），又∵B（3，0），∴直线BC的解析式为y＝x+2，∵点D（m，），∴E（m，m+2），∴DE＝（）﹣（m+2）＝m2+2m，由S△BCD＝2S△AOC得：×DE×OB＝2××OA×OC，∴（m2+2m）×3＝2××1×2，整理得：m2﹣3m+2＝0解得：m1＝1，m2＝2∵0＜m＜3∴m的值为1或2；（3）存在，理由：设点M的坐标为：（x，y），y＝，则有点N（1，s），点B（3，0）、C（0，2），①当BC是平行四边形的边时，当点C向右平移3个单位，向下平移2个单位得到B，同样点M（N）向右平移3个单位，向下平移2个单位N（M），故：x+3＝1，y﹣2＝s或x﹣3＝1，y+2＝s，解得：x＝﹣2或4，故点M坐标为：（﹣2，）或（4，）；②当BC为对角线时，由中点公式得：x+1＝3，y+s＝2，解得：x＝2，故点M（2，2）；综上，M的坐标为：（2，2）或（﹣2，）或（4，）．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，关键是根据题意得到函数解析式，然后利用平行四边形的存在性问题可进行分析．10．F解析：（1），；（2）O1(,)或（，）；（3）满足条件的点F的坐标为F1(-2，3)，F2(3，-12)．【分析】（1）把A（1，0），B（-3，0）代入y=ax2+bx+3即可求解；（2）先求出直线OO1的解析式为，再根据，求解即可或是根据得出x的值，再根据直线OO1的解析式为求解；（3）先求出直线EF解析式为，再根据求解即可．【详解】解：（1）将点A（1,0），B（-3,0）代入抛物线解析式y=x2+bx+3得：解得：∴抛物线解析式为∴∴（2）∵点C为与轴的交点∴C（0，3）∵B(－3，0)∴OB＝OC∴∠CBO=45°∵将△COB沿直线BC平移，得到△C1O1B1∴直线OO1∥BC∴∠O1OA=45°∴直线OO1的解析式为根据题意得整理得解得∴O1(,)或)（，）解法2∵点C为与轴的交点∴C（0，3）∴OC=3∵将△COB沿直线BC平移，得到△C1O1B101C1=3∴整理得解得∵B(－3，0)∴OB＝OC∴∠CBO=45°∵将△COB沿直线BC平移，得到△C1O1B1∴直线OO1∥BC∴∠O1OA=45°∴直线OO1的解析式为y=x∴O1(,)或（，）(3)∵抛物线对称轴与x轴交于点E,则点E的坐标为E(-1,0),过点C作CF∥x轴根据抛物线的对称性得F的坐标为F(-2,3)∴AE=CF=2∵CF∥AE∴四边形CFEA为平行四边形∴EF∥CA设直线EF的解析式为得：解得：∴直线EF解析式为根据题意得解得满足条件的点F的坐标为F1(-2，3)，F2(3，-12)．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，学会用转化的思想思考问题．二、中考几何压轴题11．BN=或；（1）见解析；（2）∠B＝15°；（3）见解析．【分析】定义：根据勾股点的定理，即可求出BN的长；（1）根据已知条件可得到CG＝GM，CH＝HN，得到DG＝AM，GH＝MN，EH＝B解析：BN=或；（1）见解析；（2）∠B＝15°；（3）见解析．【分析】定义：根据勾股点的定理，即可求出BN的长；（1）根据已知条件可得到CG＝GM，CH＝HN，得到DG＝AM，GH＝MN，EH＝BN，根据条件求出（BN）2＝（MN）2+（AM）2，即可得到结果；（2）连接PD，根据已知条件可得PC2+BD2＝CD2，进而求出∠PDC＝∠A，在Rt△PCD中，得到2∠A+∠A＝90°，即可得到结果；（3）根据已知条件先求得点F的坐标为（2﹣，），即可求得BF、EF，根据已知条件可得BF2+AE2＝16+2a2﹣8a+﹣＝EF2，即可求得结果；【详解】定义：∵点M、N是线段AB的勾股点，∴或，∴BN=．（1）如图，∵CD＝DA，CE＝EB，∴DE∥AB，∴CG＝GM，CH＝HN，∴DG＝AM，GH＝MN，EH＝BN，∵BN2＝MN2+AM2，∴BN2＝MN2+AM2，∴（BN）2＝（MN）2+（AM）2，∴EH2＝GH2+DG2，∴G、H是线段DE的勾股点．(2)如图所示，连接PD，∵AC＝PC，∴∠A＝∠APC，∴∠PCD＝2∠A，∵C，D是线段AB的勾股点，∴AC2+BD2＝CD2，∴PC2+BD2＝CD2，∵CD是⊙O的直径，∴∠CPD＝90°，∴PC2+PD2＝CD2，∴PD＝BD，∴∠PDC＝2∠B，∵∠A＝2∠B，∴∠PDC＝∠A，在Rt△PCD中，∵∠PCD+∠PDC＝90°，∴2∠A+∠A＝90°，解得∠A＝30°，则∠B＝∠A＝15°．（3）∵点P（a，b）是反比例函数y＝（x＞0）上的动点，∴b＝．∵直线y＝﹣x+2与坐标轴分别交于A、B两点，∴点B的坐标为（0，2），点A的坐标为（2，0）；当x＝a时，y＝﹣x+2＝2﹣a，∴点E的坐标为（a，2﹣a）；当y＝时，有﹣x+2＝，解得：x＝2﹣，∴点F的坐标为（2﹣，）．∴BF＝＝（2﹣），EF＝,＝|2﹣a﹣|，AE＝＝（2﹣a）．∵BF2+AE2＝16+2a2﹣8a+﹣＝EF2，∴以BF、AE、EF为边的三角形是一个直角三角形，∴E、F是线段AB的勾股点．【点睛】本题主要考查了勾股定理的扩展应用，结合中位线定理、圆周角定理等知识点解题是关键．12．（1）见解析（2）见解析（3）见解析【分析】（1）证得∠BEC=∠EAD，证明Rt△AED∽Rt△EBC，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；（2）过点G作GM⊥CD于点M，由（解析：（1）见解析（2）见解析（3）见解析【分析】（1）证得∠BEC=∠EAD，证明Rt△AED∽Rt△EBC，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；（2）过点G作GM⊥CD于点M，由（1）可知，证得BC=GM，证明△BCH≌△GMH（AAS），可得出结论；（3）在EG上取点M，使∠BME=∠AFE，过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，证明△AEF∽△EBM，由相似三角形的性质得出，证明△DEF∽△ECN，则，得出，则BM=CN，证明△BGM≌△CGN（AAS），由全等三角形的性质可得出结论．【详解】（1）∵∠C=∠D=∠AEB=90°，∴∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°，∴∠BEC=∠EAD，∴Rt△AED∽Rt△EBC，∴；（2）如图1，过点G作GM⊥CD于点M，同（1）的理由可知：，∵，，∴，∴CB=GM，在△BCH和△GMH中，，∴△BCH≌△GMH（AAS），∴BH=GH；（3）证明：如图2，在EG上取点M，使∠BME=∠AFE，过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，∵∠EAF+∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠AEB+∠BEM=180°，∠EFA=∠AEB，∴∠EAF=∠BEM，∴△AEF∽△EBM，∴，∵∠AEB+∠DEC=180°，∠EFA+∠DFE=180°，而∠EFA=∠AEB，∴∠CED=∠EFD，∵∠BMG+∠BME=180°，∴∠N=∠EFD，∵∠EFD+∠EDF+∠FED=∠FED+∠DEC+∠CEN=180°，∴∠EDF=∠CEN，∴△DEF∽△ECN，∴，又∵，∴，∴BM=CN，在△BGM和△CGN中，，∴△BGM≌△CGN（AAS），∴BG=CG．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．13．（1）；（2）或；（3）或【分析】（1）延长到，使，连接，过作于，在中，利用勾股定理求得EH的长，再利用三角形中位线定理即可求解；（2）分在上方和下方两种情况讨论，延长与的延长线交于一点，利用解析：（1）；（2）或；（3）或【分析】（1）延长到，使，连接，过作于，在中，利用勾股定理求得EH的长，再利用三角形中位线定理即可求解；（2）分在上方和下方两种情况讨论，延长与的延长线交于一点，利用等腰直角三角形的性质结合三角形中位线定理即可求解；（3）分点D在线段AC上和在AC延长线上两种情况讨论，仿照（1）的方法即可求解．【详解】（1）延长到，使，连接，∵B为中点，为的中点，∴是的中位线，∴，过作于，∵，，∴四边形BDEG是矩形，∵等腰直角三角形，，∴∠C=∠A=45，∵，∴等腰直角三角形，∵，∴，∴，∵在中，，∴；（2）当时，分成两种情况：如图在上方，延长与的延长线交于一点，∵∠BAC=45，∴是等腰直角三角形，且B为AH的中点，∴，∴，∵点F是AE中点，∴，∴；如图，在下方，延长与的延长线交于一点，同理是等腰直角三角形，为中点，∴，∴，∵点F是AE中点，∴，∴；（3）当点D在线段AC上时，延长到，使，连接，∵B为中点，为的中点，∴是的中位线，过作于，∠ACB+∠DCE=90，∠ABC=90，∴四边形BCEG是矩形，∴GE=BC=6，BG=CE=2，∴GH=2+6=8，∴EH=，∴；当点D在AC延长线上时，延长到，使，连接，∵B为中点，为的中点，∴是的中位线，过作于，同理四边形BCEG是矩形，∴GE=BC=6，BG=CE=2，∴GH=6-2=4，∴EH=，∴；【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了矩形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质等，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考压轴题．14．（1），；（2）的形状是等腰直角三角形，理由见解析；（3）【分析】（1）根据题意可得PQ为△BOC的中位线，再根据中位线的性质即可求解；（2）连接并延长交于点，根据题意证出，为等腰直角三角形，解析：（1），；（2）的形状是等腰直角三角形，理由见解析；（3）【分析】（1）根据题意可得PQ为△BOC的中位线，再根据中位线的性质即可求解；（2）连接并延长交于点，根据题意证出，为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形，由且可得是等腰直角三角形；（3）延长交边于点，连接，．证出四边形是矩形，为等腰直角三角形，，再证出为等腰直角三角形，根据图形的性质和勾股定理求出O′A，O′B和BQ的长度，即可计算出的面积．【详解】解：（1）∵点P和点Q分别为，的中点，∴PQ为△BOC的中位线，∵四边形是正方形，∴AC⊥BO，∴，；故答案为：，；（2）的形状是等腰直角三角形．理由如下：连接并延长交于点，由正方形的性质及旋转可得，∠，是等腰直角三角形，，．∴，．又∵点是的中点，∴．∴．∴，．∴，∴．∴为等腰直角三角形．∴，．∴也为等腰直角三角形．又∵点为的中点，∴，且．∴的形状是等腰直角三角形．（3）延长交边于点，连接，．∵四边形是正方形，是对角线，∴．由旋转得，四边形是矩形，∴，．∴为等腰直角三角形．∵点是的中点，∴，，．∴．∴，．∴．∴．∴为等腰直角三角形．∵是的中点，∴，．∵，∴，，∴．∴．【点睛】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、旋转图形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质和勾股定理，根据题意作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．15．（1）见解析；（2）EF＝；（3）BP＝．【分析】（1）过点A作AP∥EF，交BC于P，过点B作BQ∥GH，交CD于Q，如图1，易证AP=EF，GH=BQ，△ABP∽△BCQ，然后运用相似三角形解析：（1）见解析；（2）EF＝；（3）BP＝．【分析】（1）过点A作AP∥EF，交BC于P，过点B作BQ∥GH，交CD于Q，如图1，易证AP=EF，GH=BQ，△ABP∽△BCQ，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；(2)连接BD，根据矩形的性质得出BD的长，再根据结论（1）得出，进而可求出EF的长.（3）过点F作FH⊥EG于H，过点P作PJ⊥BF于J．根据矩形的性质得到AD、CD的长，由结论（1）可得出DG的长，再由勾股定理得出AG的长，然后根据翻折的性质结合勾股定理得出四边形HGPF是矩形，进而得出FH的长度，最后根据相似三角形得出BJ、PJ的长度就可以得出BP的长度.【详解】（1）如图①，过点A作AP∥EF，交BC于P，过点B作BQ∥GH，交CD于Q，BQ交AP于T．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴四边形AEFP、四边形BGHQ都是平行四边形，∴AP＝EF，GH＝BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠BAT+∠ABT＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠C＝90°，AD＝BC，∴∠ABT+∠CBQ＝90°，∴∠BAP＝∠CBQ，∴△ABP∽△BCQ，∴,∴.（2）如图②中，连接BD．∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，∴BD＝,∵D，B关于EF对称，∴BD⊥EF，∴,∴,∴EF＝.（3）如图③中，过点F作FH⊥EG于H，过点P作PJ⊥BF于J．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，∠A＝90°，∴=,∴DG＝，∴AG＝＝1，由翻折可知：ED＝EG，设ED＝EG＝x，在Rt△AEG中，∵EG2＝AE2+AG2，∴x2＝AG2+AE2，∴x2＝（3﹣x）2+1，∴x＝，∴DE＝EG＝，∵FH⊥EG，∴∠FHG＝∠HGP＝∠GPF＝90°，∴四边形HGPF是矩形，∴FH＝PG＝CD＝2，∴EH＝，∴GH＝FP＝CF＝EG﹣EH＝﹣＝1，∵PF∥EG，EA∥FB，∴∠AEG＝∠JPF，∵∠A＝∠FJP＝90°，∴△AEG∽△JFP，∴，∴，∴FJ＝，PJ＝，∴BJ＝BC﹣FJ﹣CF＝3﹣﹣1＝，在Rt△BJP中，BP＝．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键在于灵活运用矩形的性质、相似三角形的判定与性质，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．16．（1）①；或；证明见解析；②菱形，证明见解析；（2）①；②；③【分析】（1）①利用矩形的性质与轴对称的性质证明如图1，连接证明即可得到答案；②如图1，由①得：再证明四边形为平行四边形解析：（1）①；或；证明见解析；②菱形，证明见解析；（2）①；②；③【分析】（1）①利用矩形的性质与轴对称的性质证明如图1，连接证明即可得到答案；②如图1，由①得：再证明四边形为平行四边形与可得结论；（2）①如图2，连接由折叠可得：再利用勾股定理可得答案；②如图3，连接交于证明四边形是菱形，可得从而可得答案；③由②得：可得，再利用二次函数的性质可得答案．【详解】解：（1）①矩形由折叠可得：如图1，连接由折叠可得：同理：故答案为：，或②如图1，由①得：矩形四边形为平行四边形，四边形为菱形，（2）①如图2，连接由折叠可得：矩形，，故答案为：②如图3，连接交于矩形重合，同理可得：由对折可得：四边形是菱形，，，故答案为：③由②得：当时，最小，最小值为的最小值为：故答案为：【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．17．问题呈现：证明见解析；拓展探究：（1）3；（2）．【分析】问题呈现：由同角的余角相等可知，，由正方形的性质知，，，则利用证可得，可得；拓展探究：（1）根据，，可得是等腰直角三角形，，并可得，，解析：问题呈现：证明见解析；拓展探究：（1）3；（2）．【分析】问题呈现：由同角的余角相等可知，，由正方形的性质知，，，则利用证可得，可得；拓展探究：（1）根据，，可得是等腰直角三角形，，并可得，，可求得，根据证可得，可得四边形的面积=，据此求解即可；（2）过点作交于点，根据是等腰直角三角形，，是斜边上的中垂线，的角平分线，可得：也是等腰直角三角形，，可得，再根据，可求出，根据，则四边形的周长为：，据此求解即可．【详解】证明：，，，，，在与中，，．【拓展探究】（1）在中，，，是等腰直角三角形，∴又，是斜边上的中垂线，的角平分线，，；又∵∴在和中，，，∴四边形的面积=（2）如下图示，过点作交于点∵由（1）可知，是等腰直角三角形，，是斜边上的中垂线，的角平分线，则可得：也是等腰直角三角形，，∴，若，则∴∵∴，，则四边形的周长为：．故答案是：．【点睛】本题综合考查了同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，已知正弦，正切求边长，解直角三角形等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．18．（1）6；（2）；（3）四边形不是平行四边形，理由见解析．【分析】（1）先根据已知条件和矩形的性质可得CD=AB=10,AD=BC=8，再根据折叠的性质可得DC＇=DC=10，最后运用勾股定理解解析：（1）6；（2）；（3）四边形不是平行四边形，理由见解析．【分析】（1）先根据已知条件和矩形的性质可得CD=AB=10,AD=BC=8，再根据折叠的性质可得DC＇=DC=10，最后运用勾股定理解答即可；（2）先根据折叠的性质和勾股定理可求得，进而求得BE、EC，然后连接，根据平移的性质可得，进而说明，最后运用相似三角形的性质解答即可；（3）先由折叠可得，再根据平移的性质和等腰三角形的判定与性质得到，过点作于点H，则且，根据相似三角形的性质可得；设，则，在中，运用勾股定理求得和DH；然后再在中求得，可以发现即，即可发现四边形不可能是平行四边形．【详解】解：（1）如图：∵矩形中，∴CD=AB=10，AD=BC=8根据折叠的性质可得DC＇=DC=10在直角三角形ADC＇中，AC＇=．（2）由折叠可知：．在中，根据勾股定理可求得，∴．在中，设，根据勾股定理，得，解得，即．如图：连接，则由平移可知，，且．于是可得，∴，又∵，∴．（3）四边形不是平行四边形，理由如下：由折叠可知；又∵平移可知，且，∴，∴，即是等腰三角形，∴．如图，过点作于点H，则且，∴．设，则，在中，根据勾股定理，得，解得，∴，∴．而在中，，根据勾股定理可求得，∴，即，故四边形不可能是平行四边形．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理以及相似