2025中考数学总复习《锐角三角函数》练习题及答案详解【典优】

中考数学总复习《锐角三角函数》练习题考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在的网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与格线的交点，则的值是（）

A． B． C． D．2、如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点O旋转到的位置，已知的长为5米．若栏杆的旋转角，则栏杆A端升高的高度为（）A．米 B．米 C．米 D．米3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，那么cosB的值等于（）A． B． C． D．4、如图，琪琪一家驾车从地出发，沿着北偏东的方向行驶，到达地后沿着南偏东的方向行驶来到地，且地恰好位于地正东方向上，则下列说法正确的是（）A．地在地的北偏西方向上 B．地在地的南偏西方向上C． D．5、如图1所示，△DEF中，∠DEF＝90°，∠D＝30°，B是斜边DF上一动点，过B作AB⊥DF于B，交边DE（或边EF）于点A，设BD＝x，△ABD的面积为y，图2是y与x之间函数的图象，则△ABD面积的最大值为（）A．8 B．16 C．24 D．48第Ⅱ卷（非选择题80分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，小明家附近有一观光塔CD，他发现当光线角度变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化．经测量发现，当小明站在点A处时，塔顶D的仰角为37°，他往前再走5米到达点B（点A，B，C在同一直线上），塔顶D的仰角为53°，则观光塔CD的高度约为_____.（精确到0.1米，参考数值：tan37°≈，tan53°≈）2、△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面积为5，那么∠A的度数是_________．3、矩形ABCD中，E为边AB上一点，将沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若，．（1）矩形ABCD的面积为________；（2）的值为_________．4、如图,在中,是斜边上的中线,点是直线左侧一点,联结,若,则的值为______．5、如图，以BC为直径作圆O，A，D为圆周上的点，ADBC，AB=CD=AD=1．若点P为BC垂直平分线MN上的一动点，则阴影部分图形的周长最小值为__________．三、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．（1）如图1，当α＝60°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由；（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．2、．3、（1）计算：．（2）如图，在菱形ABCD中，于点E，，，求菱形的边长．4、如图，RtABC中，，的平分线交BC于点O，以OC为半径的半圆交BC于点D．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）如果求AC的长．5、如图，在▱ABCD中，过B作BE⊥CD于点E，连结AE，F为AE上一点，且∠AFB＝∠D．（1）求证：△ABF∽△EAD．（2）若，AD＝6，∠BAE＝30°，求BF的长．6、如图，内接于，弦AE与弦BC交于点D，连接BO，，（1）求证：；（2）若，求的度数；（3）在（2）的条件下，过点O作于点H，延长HO交AB于点P，若，，求半径的长．-参考答案-一、单选题1、B【分析】利用，得到∠BAC=∠DCA，根据同圆的半径相等，AC=AB=3，再利用勾股定理求解可得tan∠ACD=，从而可得答案.【详解】解：如图，∵，∴∠BAC=∠DCA．∵同圆的半径相等，∴AC=AB=3，而在Rt△ACD中，tan∠ACD=．∴tan∠BAC=tan∠ACD=．故选B．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用图形的性质进行角的等量代换是解本题的关键．2、C【分析】过点A′作A′C⊥AB于点C，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】解：过点A′作A′C⊥AB于点C，由题意可知：A′O=AO=5，∴sinα=，∴A′C=5sinα，故选：C．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．3、D【分析】根据题意画出图形，求出AB的值，进而利用锐角三角函数关系求出即可．【详解】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴，∴cosB＝＝．故选：D．【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟知余弦函数的定义是解题关键．4、B【分析】根据题意可知，，由此即可得到即可判断A；由可以判断B；由可以判断C；求出即可判断D．【详解】解：如图所示：由题意可知，，，，即在处的北偏西，故A不符合题意；，地在地的南偏西方向上，故B不符合题意；，故C错误．，，，故D不符合题意．故选B．【点睛】本题考查的是解直角三角形和方向角问题，熟练掌握方向角的概念是解题的关键．5、C【分析】由图得点A到达点E时，面积最大，此时，由三角函数算出AB，由三角形面积公式即可求解．【详解】由图可得：点A到达点E时，面积最大，此时，，∴．故选：C．【点睛】本题考查二次函数图像问题以及解直角三角形，由题判断点A运动到哪里能使面积最大是解题的关键．二、填空题1、8.6米【解析】【分析】根据题意，利用锐角三角函数解直角三角形即可．【详解】解：由题意知，∠A=37°，∠DBC=53°，∠D=90°，AB=5，在Rt△CBD中，tan∠DBC=，∴BC=≈，在Rt△CAD中，tan∠A=，即=tan37°≈∴解得：CD=≈8.6，答：观光塔CD的高度约为8.6米．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数解直角三角形的方法是解答的关键．2、60°或120°##120°或60°【解析】【分析】首先根据已知条件可以画出相应的图形，根据AC=5，可以求出AC边上的高，再根据∠A的三角函数值可得∠A的度数，注意需要分情况讨论．【详解】解：当∠A是锐角时，如图，过点B作BD⊥AC于D，∵AC＝5，△ABC的面积为5，∴BD＝5×2÷5＝2，在中，sinA＝＝＝，∴∠A＝60°．当∠A是钝角时，如图，过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于D，∵AC＝5，△ABC的面积为5，∴BD＝5×2÷5＝2，在Rt△ABD中，sin∠BAD＝sinA＝＝＝，∴∠BAD＝60°．∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°．故答案为60°或120°．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是画出合适的图形，作出相应的辅助线．3、【解析】【分析】（1）矩形ABCD中，由折叠可得DF=AD=3，在中，用勾股定理求得，即可求得矩形ABCD的面积；（2）由折叠可得，，矩形ABCD中，，四点共圆，故，设，在中，由勾股定理得：，即可求的值.【详解】（1）矩形ABCD中，，，，，，，由折叠可得DF=AD=3，在中，，矩形ABCD的面积=，故答案为：；（2）将沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，，，矩形ABCD中，，四点共圆，，设，则，在中，由勾股定理得：，即，解得，=.故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的性质、锐角三角函数等知识，掌握相应的定理是解答此题的关键.4、【解析】【分析】先证明，则，进而证明，据求得相似比，根据面积比等于相似比的平方即可求解【详解】解：是斜边上的中线，即又又又设，则故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形全等的性质与判定，相似三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质与判定，正切的定义，证明是解题的关键．5、【解析】【分析】连接BP，BD，OD，根据线段垂直平分线的性质定理，可得BP=CP，从而得到当点B、P、D三点共线时，DP+CP的值最小，最小值为BD的长，再由直径所对的圆周角为直角，可得∠BDC=90°，再由，可得∠COD==60°，从而得到，进而得到，即可求解．【详解】解：如图，连接BP，BD，OD，∵MN为BC的垂直平分线，∴BP=CP，∴DP+CP=DP+BP≥BD，即当点B、P、D三点共线时，DP+CP的值最小，最小值为BD的长，∵BC为直径，∴∠BDC=90°，∵AB=CD=AD，∴，∴∠COD==60°，∴，∴，∴DP+CP的最小值为，∴阴影部分图形的周长最小值为．故答案为：【点睛】本题主要考查了圆周角定理，线段垂直平分线的性质定理，特殊角锐角三角函数，熟练掌握圆周角定理，线段垂直平分线的性质定理，特殊角锐角三角函数是解题的关键．三、解答题1、（1），理由见解析；（2），理由见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件证明即得到；（2）过点作于，过点作，进而可得，同理可得证明进而证明，根据相似三角形的性质列出比例式即可求得【详解】（1），理由如下，∵，∴是等边三角形，，∵线段绕点P逆时针旋转后得到线段，∴是等边三角形，，∴，∴，∴，∴；（2）．理由如下，如图，过点作于，过点作，∵，∴，，∵，∴，，∴，即，∵，，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，特殊角的三角函数值，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．2、【解析】【分析】先去掉绝对值，再计算三角函数值和零指数幂，然后化简算术平方根后可以得解．【详解】解：原式===．【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值、零指数幂的计算和算术平方根的化简和计算是解题关键．3、（1）1；（2）13【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂及实数的绝对值的含义即可完成；（2）根据菱形的性质可得AB=AD，再由已知条件设，，则由勾股定理可得AE，则由BE=8建立方程即可求得k，从而求得菱形的边长．【详解】解：（1）原式.（2）四边形ABCD是菱形，.，，设，，则，，，∴，即菱形的边长为13.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、负整数指数幂及实数的绝对值，菱形的性质、三角函数及勾股定理，灵活运用这些知识是关键．4、（1）见解析；（2）6【解析】【分析】（1）过点作，垂足为，根据角平分线的性质证明，进而即可证明AB是⊙O的切线；（2）勾股定理求得EB,进而根据即可求得AC【详解】（1）证明：如图，过点作，垂足为，是的平分线,，OC为半径为的半径是的切线（2）在中，【点睛】本题考查了角平分线的性质，切线的判定与性质，勾股定理，根据正切值求边长，掌握切线的判定是解题的关键．5、（1）见解析；（2）．【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质得，推，再根据，证三角形相似，用的是两角对应相等两个三角形相似；（2）先根据，推，在直角三角形中，用三角函数求出的长，再根据，得比例线段，把已知的线段代入计算即可．【详解】（1）证明：四边形为平行四边形，，，，；（2）解：，，，，，，，，，，解得：．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解题的关键是熟练应用平行四边形的性质和相似三角形的判断，三角函数的应用与相似比例线段的结合．6、（1）见解析；（2）30°；（3）【解析】【分析】（1）如图所示，连接OA，则，由OA=OB，得到∠OAB=∠OBA，即可推出，即∠OBA+∠ACB=90°，再由∠OBA=∠CAE，则∠ACB+∠CAE=90°，由此即可证明；（2）如图所示，连接CE，则∠ABC=∠AEC，由，可得∠AEC=30°，则∠ABC=30°；（3）如图所示，过点O作OF⊥AB于F，则BF=AF，设FP=x，可得BP=BF+PF=6+2x，OP=2FP=2x，推出PH=OP+OH=1+2x，则BP=2+4x，从而得到2+4x=6+2x，由此求解即可．【详解】解：（1）如图所示，连接OA，∴，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，∴，即∠OBA+∠ACB=90°，又∵∠OBA=∠CAE，∴∠ACB+∠CAE=90°，∴∠ADC=90°，∴AE⊥BC；（2）如图所示，连接CE，∴∠ABC=∠AEC，∵，AE⊥BC，∴，∴∠AEC=30°，∴∠ABC=30°；（3）如图所示，过点O作OF⊥AB于