2025年湖南省邵阳市高考数学第一次联考试卷【附答案】

第1页（共1页）2025年湖南省邵阳市高考数学第一次联考试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，集合，则A． B．， C． D．，2．已知向量，，与的夹角为，则A． B． C． D．3．已知复数满足：，为虚数单位），则A．5 B． C． D．4．已知，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．为了推广一种新产品，某公司开展了有奖促销活动：将6件这种产品装一箱，每箱中都放置2件能够中奖的产品．若从一箱中随机抽出2件，能中奖的概率为A． B． C． D．6．经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则的长为A． B． C． D．7．定义在上的偶函数，其导函数为．若，恒成立，则A． B． C． D．8．已知函数在区间，上有且仅有4个零点，则的取值范围是A． B． C． D．二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．（6分）下列说法正确的是A．决定系数越小，模型的拟合效果越好 B．若随机变量服从两点分布，，则 C．若随机变量服从正态分布，，则 D．一组数，，，的平均数为，若再插入一个数，则这个数的方差变大10．（6分）已知抛物线的焦点为，准线过点，是抛物线上的动点，则A． B．当时，的最小值为 C．点到直线的距离的最小值为2 D．当时，直线的斜率的最大值为11．（6分）已知函数，，则下列结论正确的是A．当时，为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．当时，，， D．若，，，则三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．若等比数列满足：，，则数列的公比．13．某校高三（5）班班主任准备从2名男生和4名女生中选取3人担任数学、物理、化学学科课代表，每学科安排1人，且至少有1名男生，则不同的选取方法有．（请用数字作答）14．已知在棱长为3的正方体中，点是底面内的动点，点为棱上的动点，且，则的最小值为．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知在△中，三个角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，点在边上，且，求的值．16．（15分）已知函数（1）．（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若函数有2个零点，求实数的取值范围．17．（15分）如图，在直四棱柱中，，，，，，分别为，的中点．（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）若，是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．18．（17分）已知双曲线的渐近线方程为，右顶点为，点在上．（1）求的方程；（2）过点的直线与相交于，两点，点与点关于轴对称，问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；（3）将圆心在轴上，且与的两支各恰有一个公共点的圆称为“子圆”，若两个“子圆”外切于点，圆心距为，求．19．（17分）已知正项数列的前项和为，且．当时，将，，，进行重新排列，构成新数列，使其满足：或（其中，．（1）当时，写出所有满足的数列；（2）试判断数列是否为等差数列，并加以证明；（3）当时，数列满足：，，，，，，2，3，，是公差为且的等差数列，求公差．

2025年湖南省邵阳市高考数学第一次联考试卷参考答案与试题解析题号12345678答案BCCABDBD一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，集合，则A． B．， C． D．，解：因为集合，，则．故选：．2．已知向量，，与的夹角为，则A． B． C． D．解：因为，，所以．．所以．因为，所以．故选：．3．已知复数满足：，为虚数单位），则A．5 B． C． D．解：，，．故选：．4．已知，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解：绘制出的图像，当时，，即充分性成立，当时，，即必要性不成立．．故“”是“”的充分不必要条件．故选：．5．为了推广一种新产品，某公司开展了有奖促销活动：将6件这种产品装一箱，每箱中都放置2件能够中奖的产品．若从一箱中随机抽出2件，能中奖的概率为A． B． C． D．解：将6件这种产品装一箱，每箱中都放置2件能够中奖的产品，从一箱中随机抽出2件，基本事件共有件，其中，能中奖的基本事件有件，能中奖的概率为．故选：．6．经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则的长为A． B． C． D．解：椭圆方程：焦点分别为，，直线过左焦点倾斜角为，直线的方程为，由，整理得设，，，，可得，，由现场公式，故选：．7．定义在上的偶函数，其导函数为．若，恒成立，则A． B． C． D．解：令，，，，设，因为是偶函数，即，则，故是奇函数．由于，故函数在上递增．又，，所以，即，即，所以．故选：．8．已知函数在区间，上有且仅有4个零点，则的取值范围是A． B． C． D．解：，令，得，，，，令，则，作出函数的图象，在区间，上有且仅有4个零点，，解得，的取值范围是，．故选：．二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．（6分）下列说法正确的是A．决定系数越小，模型的拟合效果越好 B．若随机变量服从两点分布，，则 C．若随机变量服从正态分布，，则 D．一组数，，，的平均数为，若再插入一个数，则这个数的方差变大解：对于，决定系数越大，模型的拟合效果越好，故错误；对于，若随机变量服从两点分布，，则，故正确，对于，若随机变量服从正态分布，，则，故正确，对于，我们令，，，此时平均数，方差为，插入一个数2，此时平均数为，方差为，方差显然变小了，故错误．故选：．10．（6分）已知抛物线的焦点为，准线过点，是抛物线上的动点，则A． B．当时，的最小值为 C．点到直线的距离的最小值为2 D．当时，直线的斜率的最大值为解：易知抛物线的准线为，因为准线过点，所以，则抛物线的方程为，故选项正确；设抛物线上的点的动点为，，对于选项，当时，；当时，，当且仅当时，等号成立，故选项正确；易知，到直线的距离，当时，，故选项错误；易知抛物线的焦点，因为，所以，当时，；当时，，当且仅当时，等号成立．故选项正确．故选：．11．（6分）已知函数，，则下列结论正确的是A．当时，为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．当时，，， D．若，，，则解：对于，当时，，函数是奇函数，正确；对于，，即的图象不关于对称，错误；对于，当时，，正确；对于，由，得，令，，，则在，上单调递减，而，，且均在时取等号，则，，因此，正确．故选：．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．若等比数列满足：，，则数列的公比2．解：因为等比数列等比数列满足，，则．故答案为：2．13．某校高三（5）班班主任准备从2名男生和4名女生中选取3人担任数学、物理、化学学科课代表，每学科安排1人，且至少有1名男生，则不同的选取方法有96．（请用数字作答）解：根据题意，用间接法分析：从6人中选3人，安排担任数学、物理、化学学科课代表，有种选法，其中全部为女生的安排方法有种，则有种安排方法．故答案为：96．14．已知在棱长为3的正方体中，点是底面内的动点，点为棱上的动点，且，则的最小值为．解：如图（一，因为，，又，所以，如图（二，建立平面直角坐标系，则，，，设点，根据，所以，化简得：，该方程表示圆心为，的圆的一部分，又点关于的对称点，所以．故答案为：．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知在△中，三个角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，点在边上，且，求的值．解：（1）因为，所以．即，由正弦定理，可化为：，所以，又，所以；（2）易知，因为，，，所以，所以，又，，，所以，即的值为．16．（15分）已知函数（1）．（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若函数有2个零点，求实数的取值范围．解：（1）函数（1），则（1），所以（1）（1），解得．故，，即切点为，所以曲线在点，（1）处的切线方程为，即．（2）由题意得，当时，，故函数没有零点；当时，令，得．令，则，，因为有2个零点，所以和有2个交点，令，所以．令，得．当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以，当时，；当时，；当时，；当时，且．所以实数的取值范围为．17．（15分）如图，在直四棱柱中，，，，，，分别为，的中点．（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）若，是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．解：（1）证明：在直四棱柱中，，，，，，分别为，的中点，，，，又，，又，，，．（2）证明：在直四棱柱中，平面，平面，平面，，，，，两两垂直，以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，设，则，0，，，2，，，1，，，0，，，1，，，0，．，2，，，1，，，1，，，0，，设为平面的法向量，则，令，得，0，，设平面的法向量，则，取，得，0，，，平面与平面不重合，平面平面．（3），是线段上的动点，当时，为平面的法向量，，0，，则，，，设，，，，，，，，，，0，，，，，设直线与平面所成角为，，当且仅当时，等号成立，若，是线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为．18．（17分）已知双曲线的渐近线方程为，右顶点为，点在上．（1）求的方程；（2）过点的直线与相交于，两点，点与点关于轴对称，问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；（3）将圆心在轴上，且与的两支各恰有一个公共点的圆称为“子圆”，若两个“子圆”外切于点，圆心距为，求．解：（1）因为双曲线的渐近线方程为，所以设双曲线的方程为，将点代入得，即，所以双曲线的方程为；（2）当直线的斜率不为零时，设直线的方程为，，，，，，，由消去整理得，依题意得：，且△，即且，，，易知，直线的斜率存在，设直线的方程为．令，得．所以直线过定点，当直线的斜率为0时，直线的方程为，过点，综上，直线过定点．（3）考虑以为圆心的“子圆”，由的方程与的方程消去，得关于的二次方程．依题意，该方程的判别式，所以．对于外切于点的两个“子圆”，，显然点在轴上，设，，的半径分别为，，不妨设，的圆心分别为，．则，．两式相减得：，而，所以．所以，整理得：．因为，点，所以．所以，故．19．（17分）已知正项数列的前项和为，且．当时，将，，，进行重新排列，构成新数列，使其满足：或（其中，．（1）当时，写出所有满足的数列；（2）试判断数列是否为等差数列，并加以证明；（3）当时，数列满足：，，，，，，2，3，，是公差为且的等差数列，求公差．解：（1）因为，①所以当时，，即，解得．当时，，②由①②得：，即．因为，，所以，即．所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．所以．由题意可得当且的数列为：2，4，1，3，5和2，5，3，1，