人教版七年级数学下册实数专题讲义

人教版七年级数学下册实数专题讲义例如，\(|\sqrt{5}|=\sqrt{5}\)，\(|-\sqrt{2}|=\sqrt{2}\)，|0|=0。绝对值的几何意义是：数轴上表示一个数的点到原点的距离。因此，绝对值总是非负的。4.3倒数如果两个实数的乘积是1，那么这两个数互为倒数。实数a（a≠0）的倒数是\(1/a\)。例如，2的倒数是1/2，\(\sqrt{3}\)的倒数是\(1/\sqrt{3}\)（通常会化简为\(\sqrt{3}/3\)）。0没有倒数，因为任何数与0相乘都得0，不可能得1。五、实数大小的比较比较实数大小的方法与比较有理数大小的方法基本相同：1.数轴比较法：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。2.正数、负数和0的比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。3.两个正数比较：*绝对值大的正数大。*对于带根号的正数，可以先比较它们平方的大小，平方大的原数也大。例如，比较\(\sqrt{5}\)和2，因为\((\sqrt{5})^2=5\)，\(2^2=4\)，5>4，所以\(\sqrt{5}>2\)。4.两个负数比较：绝对值大的反而小。在比较两个无理数的大小时，我们常常需要先估算它们的近似值，或者将它们转化为易于比较的形式。例题解析：比较下列各组数的大小：(1)\(-\sqrt{3}\)和-1.7(2)\(\sqrt{10}\)和3.16解：(1)因为\(\sqrt{3}\approx1.732\)，所以\(|-\sqrt{3}|\approx1.732\)，|-1.7|=1.7。由于1.732>1.7，所以\(-\sqrt{3}<-1.7\)（两个负数比较，绝对值大的反而小）。(2)因为\(3.16^2=9.9856\)，而\((\sqrt{10})^2=10\)。由于10>9.9856，所以\(\sqrt{10}>3.16\)。六、实数的运算实数的运算法则和运算律与有理数的运算法则和运算律基本相同。6.1运算法则包括加法、减法、乘法、除法、乘方和开方（开平方、开立方等）。*加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。*减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。*乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0。*除法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。*乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在\(a^n\)中，a叫做底数，n叫做指数。*开方：开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算。6.2运算律*加法交换律：a+b=b+a*加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)*乘法交换律：ab=ba*乘法结合律：(ab)c=a(bc)*乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac这些运算律对于实数同样适用，它们是简化运算的重要工具。6.3运算顺序在进行实数混合运算时，要遵循以下顺序：1.先算乘方和开方；2.再算乘除；3.最后算加减。4.如果有括号，先算括号里面的。同级运算，从左到右依次进行。例题解析：计算：\(\sqrt{4}+|1-\sqrt{2}|-(-\frac{1}{2})^{-1}\)解：\(\sqrt{4}=2\)，因为\(\sqrt{2}\approx1.414>1\)，所以\(|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1\)，\((-\frac{1}{2})^{-1}=-2\)。原式=\(2+(\sqrt{2}-1)-(-2)\)=\(2+\sqrt{2}-1+2\)=\(3+\sqrt{2}\)在进行含有无理数的运算时，结果如果含有根号，一般要保留根号形式，除非题目要求取近似值。七、平方根与立方根（复习与深化）7.1平方根如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（或二次方根）。即如果\(x^2=a\)，那么x叫做a的平方根。*一个正数有两个平方根，它们互为相反数。例如，4的平方根是±2。*正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作\(\sqrt{a}\)，读作“根号a”；另一个平方根是\(-\sqrt{a}\)。因此，正数a的平方根可以记作±\(\sqrt{a}\)。*0的平方根是0，0的算术平方根也是0，即\(\sqrt{0}=0\)。*负数没有平方根，因为任何实数的平方都不可能是负数。求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。7.2立方根如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（或三次方根）。即如果\(x^3=a\)，那么x叫做a的立方根，记作\(\sqrt[3]{a}\)，读作“三次根号a”。*正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0。*任何实数都有唯一的立方根。求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算。例题解析：(1)求下列各数的平方根和算术平方根：①25②0.01③\(\frac{4}{9}\)(2)求下列各数的立方根：①8②-27③0.125解：(1)①因为\((±5)^2=25\)，所以25的平方根是±5，算术平方根是5。②因为\((±0.1)^2=0.01\)，所以0.01的平方根是±0.1，算术平方根是0.1。③因为\((±\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}\)，所以\(\frac{4}{9}\)的平方根是±\(\frac{2}{3}\)，算术平方根是\(\frac{2}{3}\)。(2)①因为\(2^3=8\)，所以8的立方根是2，即\(\sqrt[3]{8}=2\)。②因为\((-3)^3=-27\)，所以-27的立方根是-3，即\(\sqrt[3]{-27}=-3\)。③因为\(0.5^3=0.125\)，所以0.125的立方根是0.5，即\(\sqrt[3]{0.125}=0.5\)。八、实数的估算在实际应用中，我们常常需要知道无理数的近似值。估算无理数的大小，通常采用“夹逼法”，即找出与这个无理数最接近的两个有理数，确定它的大致范围，然后逐步缩小范围，得到更精确的近似值。例如，估算\(\sqrt{7}\)的大小：因为\(2^2=4\)，\(3^2=9\)，所以\(2<\sqrt{7}<3\)。进一步，\(2.6^2=6.76\)，\(2.7^2=7.29\)，所以\(2.6<\sqrt{7}<2.7\)。再进一步，\(2.64^2=6.9696\)，\(2.65^2=7.0225\)，所以\(2.64<\sqrt{7}<2.65\)。继续下去，可以得到更精确的近似值，如\(\sqrt{7}\approx2.6458\)（精确到小数点后四位）。计算器是进行实数估算的有力工具，但理解估算的方法和原理同样重要。九、实数的应用实数在解决实际问题中有着广泛的应用，例如：1.几何问题：计算边长、面积、体积等，当涉及到非完全平方数或非完全立方数时，就会用到无理数。例如，一个面积为2平方米的正方形，其边长为\(\sqrt{2}\)米。2.物理问题：许多物理公式和计算中会涉及到开方运算，如速度、加速度、力等。3.测量与估算：在无法得到精确值或不需要精确值的情况下，实数的估算可以帮助我们快速得到问题的近似解。例题解析：一个正方体形状的水箱，容积是8立方米，求它的棱长。如果容积是10立方米呢？解：设正方体的棱长为x米。当容积是8立方米时，\(x^3=8\)，所以\(x=\sqrt[3]{8}=2\)米。当容积是10立方米时，\(x^3=10\)，所以\(x=\sqrt[3]{10}\)米。\(\sqrt[3]{10}\)是一个无理数，其近似值约为2.154米。十、本章小结与注意事项本章小结：*我们学习了无理数，知道了无理数