（重排）2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）一试（A卷）试题与参考答案及评分标准

4.设函数f(x)的定义域为R,g(x)=(x-1)f(x),h(x)=f(x)+x。若g(x)为奇函数，h(x)为偶函数，则f(x)的最大值为．行＂发生的概率记为P(Γ)，则P(Γ)所有可能值为．7.平面中的3个单位向量,,满足...（其中[xΓ={(x,y)|y2=2x+2|x|{————点AP+AQ=2,M为棱AD的中点．在ΔMPQ中，MH为PQ边上的高．求MH长度的最小值．ABP MHQ MDC11.若log3(9x),log9(27x),log27(3x)成等差数列，则正数答案：9．解得t=2，故x=3t=9．答案：194．于点Q．若△F2PQ的周长为8，则线段F1Q的长度为．解：由于故F1,F2是Γ1与Γ2的公共焦点．PQ十PF2=10QF1,QF2=2QF1．4.设函数f(x)的定义域为R，g(x)=(x—1)f(x)，h(x)=f(x)十x．若g(x)为奇函数，h(x)为偶函数，则f(x)的最大值为．答案所以(x—1)f(x)=(x十1)f(—x)=(x十1)(f(x)十2x)．2因此f当x时，f(x)取到最大值答案：18．解：由于故“l1所在直线与l2所在直线平行”发生的概率记为P(Γ)，则P(Γ)的所有可能值为．B当ABCD为梯形时，P当ABCD为平行四边形时，P因此P(Γ)的所有可能值为7.平面中的3个单位向量a,b,c满足a.b=[a.c]十[b.c]（其中[x]表示不超若a.b=1，则b=a，此时==1=c（相应的例子存在，例如c3当θ=0或时，f(θ)=1≠0，当时，f(θ)<0，均不合要求．当时，f(θ)=0，满足要求，此时8.将1,2,3,…,9排列为a,b,c,d,e,f,g,h,i，使得3个三位数abc,def,ghi之和等于2025，则不同的排列方法数为．答案：1944．满足A=19,B=11且{a,d,g}与{b,e,h}是{1,2,3,…,9}的两个不交的集合虑到a,d,g的次序，b,e,h的次序，c,f,列方法数为9×63=1944．9.（本题满分16分）在平面直角坐标系Γ={(x,y)y2=2x十2x}．若Γ中的3个不同的点M,P,Q满足：M为PQ的中点，且OP.OQ=—2，求点解：根据条件，Γ是x轴负半轴与抛物线Ω:y2=4x的并集．…………4分假如P,Q均在Ω上，则PQ的中点M不可能在Ω上，且M也不可能在x轴因此，可不妨设P在x轴负半轴上，Q在抛物线Ω上，易知此时M在Ω上．2=2m2,a2=2m2,a=2m2,410.（本题满分20分）设正四面体ABCD各棱长均为2，P,Q分别是棱），△MPQ中，MH为PQ边上的高．求MH长度的最小值．APPMH·B··DC22S△MPQ=MP.MQ.sin上PMQ=·MP2.MQ2—(MP.MQ.cos上PMQ)2所以MH…………10分解法2：取点M在平面ABC上的射影N，则有MH≥MN．…………5分取点D在平面ABC上的射影O．由正四面体的性质知O为正三角形ABC的中心，又由M为AD的中点知N为AO的中点．从而5ANN.MOB··DCAQNNP1·P·BCQ1O下面证明存在P,Q的适当位置，使得点N,H重合．Q1O让动点P从AB的中点P1出发沿AB边向点B运动，点Q从AC的中点Q1出发沿CA边向A运动，始终保持AP十AQ=2．记PQ与AO的交点为T，则最初T为线段P1Q1与AO的交点，在线段NO上，最终T重合于A，故在运动过程中存在一个时刻，T与N重合，对该时刻的P,Q，由MN丄平面ABC知MN丄PQ于点N，即N,H重合．此时MH取到最小值…………20分11.（本题满分20分）设α为实数，m,n为正整数，|sinmα||sinnα|m.|sinmα.sinnα|十|sinmnα|．证明：不等式两边乘以m.|sinmα.sinnα|十|sinmnα|，化简为