2025线性代数期末真题及答案详细解

2025线性代数期末真题及答案详细解一、选择题（每题3分，共15分）1.设\(A\)为\(3\)阶方阵，且\(\vertA\vert=2\)，则\(\vert2A^{-1}\vert\)的值为（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(4\)D.\(8\)2.已知向量组\(\alpha_1=(1,0,0)^T\)，\(\alpha_2=(0,1,0)^T\)，\(\alpha_3=(0,0,1)^T\)，\(\beta=(1,1,1)^T\)，则向量\(\beta\)由向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表示的系数为（）A.\((1,1,1)\)B.\((1,-1,1)\)C.\((-1,1,1)\)D.\((1,1,-1)\)3.设\(A\)是\(n\)阶方阵，\(r(A)=r\ltn\)，则\(A\)的\(n\)个行向量中（）A.任意\(r\)个行向量线性无关B.必有\(r\)个行向量线性无关C.任意\(r\)个行向量构成极大线性无关组D.任意一个行向量都能由其余\(n-1\)个行向量线性表示4.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3+8x_2x_3\)的矩阵为（）A.\(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&2&4\\3&4&3\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&2&4\\3&4&0\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&4&6\\4&2&8\\6&8&3\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&2&3\\4&2&4\\6&8&3\end{pmatrix}\)5.设\(\lambda_1,\lambda_2\)是\(n\)阶矩阵\(A\)的两个不同特征值，\(\xi_1,\xi_2\)分别是属于\(\lambda_1,\lambda_2\)的特征向量，则（）A.对任意\(k_1\neq0,k_2\neq0\)，\(k_1\xi_1+k_2\xi_2\)是\(A\)的特征向量B.存在常数\(k_1\neq0,k_2\neq0\)，使\(k_1\xi_1+k_2\xi_2\)是\(A\)的特征向量C.当\(k_1\neq0,k_2\neq0\)时，\(k_1\xi_1+k_2\xi_2\)不可能是\(A\)的特征向量D.仅当\(k_1=k_2=0\)时，\(k_1\xi_1+k_2\xi_2\)是\(A\)的特征向量二、填空题（每题3分，共15分）1.行列式\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=\)______。2.设\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，则\((A^T)^{-1}=\)______。3.已知向量组\(\alpha_1=(1,2,3)^T\)，\(\alpha_2=(2,4,6)^T\)，\(\alpha_3=(3,6,9)^T\)，则该向量组的秩为______。4.设\(A\)是\(3\)阶实对称矩阵，\(\lambda_1=1,\lambda_2=2,\lambda_3=3\)是\(A\)的三个特征值，则\(\vertA\vert=\)______。5.若二次型\(f(x_1,x_2)=ax_1^2+2bx_1x_2+ay_2^2\)正定，则\(a,b\)应满足的条件是______。三、计算题（每题10分，共60分）1.计算行列式\(D=\begin{vmatrix}1&-1&1&x-1\\1&-1&x+1&-1\\1&x-1&1&-1\\x+1&-1&1&-1\end{vmatrix}\)。2.设\(A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{pmatrix}\)，且\(AX+E=A^2+X\)，求矩阵\(X\)。3.求向量组\(\alpha_1=(1,-1,2,4)^T\)，\(\alpha_2=(0,3,1,2)^T\)，\(\alpha_3=(3,0,7,14)^T\)，\(\alpha_4=(1,-1,2,0)^T\)的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。4.已知线性方程组\(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\2x_1+(a+2)x_2+(a+1)x_3=a+3\\x_1+2x_2+ax_3=3\end{cases}\)，讨论\(a\)取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解，并在有无穷多解时求出通解。5.求正交变换\(x=Qy\)，将二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-4x_2x_3\)化为标准形。6.设\(A\)是\(3\)阶矩阵，已知\(A\)的特征值为\(1,-1,2\)，求\(\vertA^3-3A^2+2E\vert\)。四、证明题（每题10分，共10分）设\(A\)是\(n\)阶方阵，且满足\(A^2-3A+2E=O\)，证明：\(A\)可相似对角化。答案及详细解答一、选择题1.答案：C解答：根据矩阵行列式的性质，若\(A\)为\(n\)阶方阵，\(\vertkA\vert=k^n\vertA\vert\)，\(\vertA^{-1}\vert=\frac{1}{\vertA\vert}\)。已知\(A\)为\(3\)阶方阵，\(\vertA\vert=2\)，则\(\vert2A^{-1}\vert=2^3\vertA^{-1}\vert=8\times\frac{1}{2}=4\)。2.答案：A解答：设\(\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3\)，即\((1,1,1)^T=k_1(1,0,0)^T+k_2(0,1,0)^T+k_3(0,0,1)^T=(k_1,k_2,k_3)^T\)，所以\(k_1=1,k_2=1,k_3=1\)。3.答案：B解答：矩阵的秩等于其行向量组的秩，\(r(A)=r\ltn\)，则\(A\)的行向量组的秩为\(r\)，根据向量组秩的定义，必有\(r\)个行向量线性无关。A选项，任意\(r\)个行向量不一定线性无关；C选项，任意\(r\)个行向量不一定构成极大线性无关组；D选项，只有当\(r\ltn-1\)时才可能有一个行向量能由其余\(n-1\)个行向量线性表示。4.答案：A解答：对于二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j\)（\(a_{ij}=a_{ji}\)），其矩阵\(A=(a_{ij})\)。在二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3+8x_2x_3\)中，\(a_{11}=1,a_{12}=2,a_{13}=3,a_{22}=2,a_{23}=4,a_{33}=3\)，所以矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&2&4\\3&4&3\end{pmatrix}\)。5.答案：C解答：假设\(k_1\xi_1+k_2\xi_2\)是\(A\)的特征向量，对应的特征值为\(\lambda\)，则\(A(k_1\xi_1+k_2\xi_2)=\lambda(k_1\xi_1+k_2\xi_2)\)，又\(A(k_1\xi_1+k_2\xi_2)=k_1A\xi_1+k_2A\xi_2=k_1\lambda_1\xi_1+k_2\lambda_2\xi_2\)，所以\(k_1\lambda_1\xi_1+k_2\lambda_2\xi_2=\lambda(k_1\xi_1+k_2\xi_2)\)，即\(k_1(\lambda_1-\lambda)\xi_1+k_2(\lambda_2-\lambda)\xi_2=0\)。因为\(\xi_1,\xi_2\)线性无关，所以\(k_1(\lambda_1-\lambda)=0\)，\(k_2(\lambda_2-\lambda)=0\)，又\(\lambda_1\neq\lambda_2\)，\(k_1\neq0,k_2\neq0\)，矛盾，所以当\(k_1\neq0,k_2\neq0\)时，\(k_1\xi_1+k_2\xi_2\)不可能是\(A\)的特征向量。二、填空题1.答案：0解答：\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=1\times\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}-2\times\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}=1\times(45-48)-2\times(36-42)+3\times(32-35)=-3+12-9=0\)。2.答案：\(\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)解答：先求\(A^T=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\)，再求\(\vertA^T\vert=1\times4-2\times3=-2\)，\((A^T)^=\begin{pmatrix}4&-3\\-2&1\end{pmatrix}\)，则\((A^T)^{-1}=\frac{1}{\vertA^T\vert}(A^T)^=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)。3.答案：1解答：因为\(\alpha_2=2\alpha_1\)，\(\alpha_3=3\alpha_1\)，所以向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性相关，且极大线性无关组所含向量个数为\(1\)，即向量组的秩为\(1\)。4.答案：6解答：对于\(n\)阶矩阵\(A\)，\(\vertA\vert\)等于其所有特征值的乘积，已知\(A\)是\(3\)阶实对称矩阵，特征值为\(\lambda_1=1,\lambda_2=2,\lambda_3=3\)，则\(\vertA\vert=1\times2\times3=6\)。5.答案：\(a\gt\vertb\vert\)解答：二次型\(f(x_1,x_2)=ax_1^2+2bx_1x_2+ay_2^2\)的矩阵\(A=\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}\)，二次型正定的充要条件是其矩阵的各阶顺序主子式都大于零。一阶顺序主子式\(a\gt0\)，二阶顺序主子式\(\vertA\vert=a^2-b^2\gt0\)，即\(a\gt\vertb\vert\)。三、计算题1.解答：将\(D\)的第\(2,3,4\)列都加到第\(1\)列得：\(D=\begin{vmatrix}x&-1&1&x-1\\x&-1&x+1&-1\\x&x-1&1&-1\\x&-1&1&-1\end{vmatrix}=x\begin{vmatrix}1&-1&1&x-1\\1&-1&x+1&-1\\1&x-1&1&-1\\1&-1&1&-1\end{vmatrix}\)再将第\(1\)行乘以\(-1\)加到第\(2,3,4\)行得：\(D=x\begin{vmatrix}1&-1&1&x-1\\0&0&x&-x\\0&x&0&-x\\0&0&0&-x\end{vmatrix}=x\times1\times\begin{vmatrix}0&x&-x\\x&0&-x\\0&0&-x\end{vmatrix}=x\timesx\times\begin{vmatrix}x&-x\\0&-x\end{vmatrix}=x^4\)2.解答：由\(AX+E=A^2+X\)，移项得\(AX-X=A^2-E\)，即\((A-E)X=(A-E)(A+E)\)。先求\(A-E=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}\)，\(\vertA-E\vert=-1\neq0\)，所以\(A-E\)可逆。两边同时左乘\((A-E)^{-1}\)得\(X=A+E=\begin{pmatrix}2&0&1\\0&3&0\\1&0&2\end{pmatrix}\)。3.解答：构造矩阵\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=\begin{pmatrix}1&0&3&1\\-1&3&0&-1\\2&1&7&2\\4&2&14&0\end{pmatrix}\)对\(A\)进行初等行变换：\(A\sim\begin{pmatrix}1&0&3&1\\0&3&3&0\\0&1&1&0\\0&2&2&-4\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&0&3&1\\0&1&1&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-4\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&0&3&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}\)所以\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4\)是一个极大线性无关组，且\(\alpha_3=3\alpha_1+\alpha_2+0\alpha_4\)。4.解答：方程组的增广矩阵\(\overline{A}=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\2&a+2&a+1&a+3\\1&2&a&3\end{pmatrix}\)进行初等行变换：\(\overline{A}\sim\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&a&a-1&a+1\\0&1&a-1&2\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&a-1&2\\0&a&a-1&a+1\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&a-1&2\\0&0&(1-a)(a-2)&a-3\end{pmatrix}\)-当\(a\neq1\)且\(a\neq2\)时，\(r(A)=r(\overline{A})=3\)，方程组有唯一解。-当\(a=2\)时，\(\overline{A}\sim\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&1&2\\0&0&0&-1\end{pmatrix}\)，\(r(A)=2\)，\(r(\overline{A})=3\)，方程组无解。-当\(a=1\)时，\(\overline{A}\sim\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&2\\0&0&0&0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&0&1&-1\\0&1&0&2\\0&0&0&0\end{pmatrix}\)令\(x_3=k\)，则通解为\(x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1-k\\2\\k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\)，\(k\inR\)。5.解答：二次型\(f(x_1,x_2,x_3)\)的矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&-2\\0&-2&2\end{pmatrix}\)先求\(A\)的特征值：\(\vert\lambdaE-A\vert=\begin{vmatrix}\lambda-1&0&0\\0&\lambda-2&2\\0&2&\lambda-2\end{vmatrix}=(\lambda-1)[(\lambda-2)^2-4]=(\lambda-1)\lambda(\lambda-4)=0\)解得\(\lambda_1=0,\lambda_2=1,\lambda_3=4\)。当\(\lambda_1=0\)时，解方程组\((0E-A)x=0\)，即\(\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-2&2\\0&2&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\)，得基础解系\(\xi_1=(0,1,1)^T\)，单位化得\(\eta_1=(0,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})^T\)。当\(\lambda_2=1\)时，解方程组\((E-A)x=0\)，即\(\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-1&2\\0&2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\)，得基础解系\(\xi_2=(1,0,0)^T\)，单位化得\(\eta_2=(1,0,0)^T\)。当\(\lambda_3=4\)时，解方程组\((4E-A)x=0\)，即\(\begin{pmatrix}3&0&0\\0&2&2\\0&2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\)，得基础解系\(\xi_3=(0,-1,1)^T\)，单位化得\(\eta_3=(0,-\frac{1}{\sq