284垂径定理练习题冀教版九年级数学上册

28.4垂径定理*

【基础练习】

知识点垂径定理

1.如图1,AB是。0的直径,弦CD±AB,垂足为M,下列结论不成立的是（）

A.CM=DMB.CB=DBC.AC=ADD.OM=MB

图1图2

2.如图2,。。的半径为13,弦AB的长是24,0N_LAB,垂足为N,则ON的长为（）

A.5B.7C.9D.11

3.如图3,AB是00的直径,弦CD±AB于点E,若AB=8,AE=1,则弦CD的长是（）

A.V7B.2V7C.6D.8

4.如图4,AB是OO的弦,OC_LAB,交。0于点C,连接OA,OB,BC.若NABC=20。，则NA0B的度

数是（）

A.40°B.50°C.70°D.80°

5.如图5所示，OO的直径CD=10cm,AB是。0的弦,AM=BM,OM：0C=3：5,则AB的长为（）

A.8cmB.同cmC.6cmI）.2cm

6.如图6,AB,AC,BC都是OO的弦,OM_LAB,ON_LAC,垂足分别为M,N,若MN=1,则BC的长

为

c

o・

,oA

—48-----1

图6图7

7.[2020•广州改编]往直径为52cm的圆柱形容器内装入•些水以后,截面如图7所示，若水

面宽AB=48cm,则水的最大深度为.cm.

8.如图8,线段AB是。0的直径,弦CD1AB于点H,P是每5上任意一点,AH=2,CD=8.

(1)求。0的半径r;

⑵求sin/CPD.

9.如图9,AB为00的弦,半径OC交AB于点D,AD=DB,0C=5,CD=2,求AB的长.

图9

【能力提升】

10.在半径为13的00中，弦AB〃CD,弦AB和CD之间的距离为7.若AB=24,则CD的长为()

A.10B.4^30

C.1()或4同D.ID或2/1^5

11.如图10,在。0中,弦AB=1,点C在AB上移动,连接OC,过点C作CD1OC交00于点D,则

CD的最大值为

12.如图11,0P与y轴交于点M(0,-4),N(0,T0),圆心P的横坐标为-4,则。P的半径

为

13.如图12,P是0()内一定点.

(1)过点P作弦AB,使P是AB的中点(不写作法,保留作图痕迹).

(2)若。0的半径为13,0P=5,

①求过点P的弦的长度m的取值范围;

②过点P的弦中,长度为整数的弦有

14.如图13,隧道的截面由半圆和长方形构成,长方形的长BC为8m,宽AB为1m,该隧道内设

双向行驶的车道(共有2条车道)，现有一辆货运卡车高4m,宽2.3m,则这辆货运卡车能否通过

由垂径定理可知标=6B,AC=AD,选项B,C成立.而0M与MB不一定相等,选项D不成立.

故选D.

2.A3.B

4.D［解析］:•NABC=20°,・•・ZA0C=40°.

TAB是0()的弦，0C_LAB,AAC=BC,/.NA0C=NB0C=4(T,工ZA0B=80°.

5.A［解析］如图所示，连接OA.

lOO的直径CD=10cm,

••・00的半径为5cm,即OA=OC=5cm.

VOM：0C=3:5,

0M=3cm.

VAM=BM,

AAB±CD.

在RtAAOM中,AM=V5^32=4(cm),

/.AB=2AM=2X4=8(cm).故选A.

6.2［解析］・・・OM_LAB,ONXAC,垂足分别为M,N,AM,N分别是AB,AC的中点，・'.MN是AABC

的中位线，，BC=2MN=2.

7.16［解析］如图所示,连接0B,过点0作OC±AB于点D,交。0于点C.

VAB=48cm,ABD=-AB=-X48=24(cm).VOO的直径为52cm,.・.0B=0C=26cni.在RtAOBD

22

中，OD=VOB2-BD2=V262-242=10(cm),.,.CD=0C-0D=26-10=16(cm).

48

8.解：（D如图，连接oc.

VAB±CD,CD=8,

/.ZCH0=90°,CH=^CD=4.

在RtACOIl中，

V0C=r,OH=r-2,CH=4,

・・・/:42+(1-2)2,解得r=5.

(2)如图，连接OD.

•・・AB_LCD,AB是OO的直彳三，

AAD=AC=-CD,AZCOA^ZCOD.

22

VNCPD弓NCOD,・•・ZCPD=ZCOA.

••,在RtAOCH中,sinNCOA丹=

OC5

4

.,•sin/CPD=sinNCOA?

9.解:连接OB,如图所示.

700=5,CD=2,

/.0D=5-2=3,0B=0C=5.

VAD=DB,A0C1AB,

・・・N0DB=90°,AB=2BD,

/.BD=VOB2-OD2=V5M2=4,

AAB=2BD=8.

10.D［解析］过点0作OE±AB于点E,连接0A,则AE二和三X24:12.

在RtA/\OE中，OEWOA2-AE2=V132-122=5.

若AB与CD在圆心。的同侧，如图①所示，延长UE交CD于点卜连接0C,则

0F=0E+EF=5+7=12.VAB/7CI),A0F1CD.

在RtAOCF中，CF=V0C2-0F2=V132-122=5,ACD=2CF=2X5=10.

若AB与CD在圆心0的异侧，如图②所示.反向延长0E交CD于点F,连接OC.VAB/7CD,

A0F±CD,A0F=EF-0E=7-5=2.在RtAOCFCF=VOC2-OF2=V132-22=V165,

/.CD=2CF=2X7165=27165.故CD的长为10或2V165.故选D.

11.［解析］连接0D,如图.・・・CD_LOC,工ZDC0=900,/.CD=VOD2-OC2=Vr2-OC2,

,/圆的半径r一定，・•・当0C的值最小时,CD的值最大,而当OC_LAB时,0C最小,此时D,B两点

重合,CD=CB=iAB=1x号,即CD的最大值为今

12.5［解析］如图所示,过点P作PD1MN于点I),连接P.M.

•「OP与y轴交于\l9-4),N(0,T0)两点，・・・0M=4,0N=10：，MN=6.・・旧)_|_\电・・・DM=DN§N=3.

•・•点P的横坐标为-4,即PD=4,・・.PMRPD2+DM?=+32=5,即。P的半径为5.

13.解：(1)如图①,连接0P并延长,过点P作AB10P,弦AB即为所求.

(2)①过点P的所有弦中,直径最长,为26,与0P垂直的弦最短.

连接0A,如图②所示.

V0P±AB,.,.AP=BP=VOA2-OP2=V132-52=12,AAB=2AP=24,

・•・过点P的弦的长度m的取值范围为24WmW26.

@4

14.解:这辆货运卡车能通过该隧道.理由如下：

如图，在AD上取点G,使0G=2.3m,

过点G作GF1BC于点F,延长FG交半圆于点E,连接0E,则EG±AD,GF=AB=1m.

VOE4AD^BC^XBM(m),

222

•••在RtAOEG中，由勾股定理,得

EG-VOE2-OG2=V42-2.32=/107T(m)>3m,

・••点E到BC的距离EF=G/T07T+l)m>(3+l)m=4m.故这辆货运卡车能通过该隧道.

15.解：(1)证明：如图①,过点0作OG1AB于点G,OH±CD于点H,连接OA,OC,OB,0D,

则AG=BG,CH=DH.

'：ZEPO=ZFPO,OGIAB,OH1CD,

/.OG=OH.

在RtAOBGftRtAODH中，

WE=^uARtAOBG^RtAODH,

【UG=Un,

ABG=DH,AAB=CD.

(2)成立.理由:如图②，点P在圆上,此时点P,A,C重合,过点0作OG1AB于点G,OH_LAD于点

H,则AG=BG,AH=DH.

•••ZEAO=ZDAO,OG±AB,OH±AD,

AOG=OH.

在RtZXOAG和RtZXOAH中，

怨ZnuARtAOAG^RtAOAH,

—UH,

，AG二AH,・・