《三角形的内角》课件

11.2.1三角形的内角与三角形有关的角八年级上册初中数学1.三角形的概念和表示方法、三角形按角分类和按边分类、三角形的三边关系以及实际应用.2.三角形的高、中线、角平分线的概念、表示方法和性质，三条高、三条中线、三条角平分线分别在三角形的位置以及它们各自交点分别在三角形的位置.3.三角形的稳定性以及实际应用.知识回顾1.学习和掌握三角形的内角和定理.2.理解三角形的内角和定理的推导、验证过程.3.在解决实际问题时能熟练运用三角形的内角和定理.学习目标小学的时候我们通过测量或者剪拼已经验证过三角形的内角和等于180°，现在怎么通过推理去验证这个结论呢？请大家在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，得到一个平角.在这个操作中，你能发现证明的思路吗？课堂导入如图，∠B，∠C分别拼凑在∠A的左右两侧，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点A的直线l.想一想，直线l与△ABC的边BC有什么关系？由这个图，你能想出证明“三角形的内角和等于180°”的方法吗？从位置关系和角度的大小关系可以看出，直线l与边BC是平行关系.知识点1三角形内角和定理新知探究如图，已知△ABC，求证∠A+∠B+∠C=180°.证明：过点A作直线l，使得l//BC.∵l//BC，∴∠2=∠B，∠3=∠C.∵∠1、∠2、∠3构成平角，∴∠1+∠2+∠3=180°.则∠BAC+∠B+∠C=180°.你能想出来其他的证明方法吗？三角形内角和定理的证明AC123lB方法二证明：过点C作直线l，使得l//AB，延长BC.∵l//AB，∴∠2=∠A，∠3=∠B.∵∠1、∠2、∠3构成平角，∴∠1+∠2+∠3=180°.则∠ACB+∠A+∠B=180°.三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°三角形内角和定理的证明如图，已知△ABC，求证∠A+∠B+∠C=180°.AC123lB例1

如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线.求∠ADB的度数.解：∵∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=20°.∵在△ADB中，∠B=75°，∴∠ADB=180°-∠BAD-∠B=85°.ADCB跟踪训练新知探究例2

如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度?ABCD北北分析：A、B、C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角，如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB.E例2

如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度?ABCD北北E解：因为∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°，由AD//BE得，∠BAD+∠ABE=180°，所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°，例2

如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度?ABCD北北E∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°.例2

如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度?ABCD北北E答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60度，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90度.例3如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角∠CBD=45°，从C处观测A，B两处的视角∠ACB是多少度？┐ABDC解：∵∠CAD=30°，∠ADC=90°，∴∠ACD=60°.∵∠CBD=45°，∠ADC=90°，∴∠BCD=45°.∴∠ACB=∠ACD-∠BCD=15°.解：∠A+∠B=90°.∵在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°，则∠A+∠B=180°-∠C.∴∠A+∠B=90°.例4在直角三角形ABC中，∠C=90°，两个锐角有什么关系？CBA┐知识点2直角三角形的性质与判定

新知探究性质：直角三角形的两个锐角互余.几何语言：在△ABC中，如果∠C=90°，那么∠A+∠B=90°.直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形AB可以写成Rt△ABC.注意：“Rt△”后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用.直角三角形的性质与判定例5

如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？解：在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC，在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED.∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.ABCDE跟踪训练新知探究等角的余角相等判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.几何语言：在△ABC中，由∠A+∠B=90°，得∠C

=90°，即△ABC是直角三角形.注意：在直角三角形中，若已知一个锐角或者两个锐角之间的关系，可以直接运用两个锐角互余求解，不需要再利用三角形的内角和定理求解.直角三角形的性质与判定3.如图，AB//CD，∠BAE=∠DCE=45°，填空：

∵AB//CD，

∴∠1+45°+∠2+45°=______.

∴∠1+∠2=______.

∴∠E=______.

∴△AEC是_____________.ABDCE1245°45°180°90°90°直角三角形例6如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？ADBC解：∠ACD与∠B大小相等.在△BCD中，CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∠B+∠BCD=90°.∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，则∠ACD=∠B.┌跟踪训练新知探究例7如图，∠C=90°，∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？ACEBD12解：△ADE是直角三角形.∵在△ABC中，∠C=90°，

∴∠A+∠2=90°.∵∠1=∠2，∴∠A+∠1=90°，∴△ADE是直角三角形.1.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，点E是AB边上的一点，CE交AD于点M，且∠DCM=∠MAE.求证：△ACE是直角三角形.证明：∵AD是BC边上的高，∴∠DMC+∠DCM=90°.∵∠DMC=∠AME，∠DCM=∠MAE，∴∠AME+∠MAE=90°.∴∠AEC

=90°.

∴△ACE是直角三角形.ABCDEM┌随堂练习2.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠1=∠B.求证：△ABC是直角三角形.证明：∵AD⊥BC，∴∠BAD+∠B=90°.∵∠1=∠B，

∴∠BAD+∠1=90°，∴∠BAC=90°.∴△ABC是直角三角形.ABDC1┌三角形的内角三角形内角和定理直角三角形的性质直角三角形的判定课堂小结有两个角互余的三角形是直角三角形直角三角形的两个锐角互余三角形的内角和为180°1.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE//BC交AC于点E，若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小是（）A.44°B.40°C.39°D.38°EACBD拓展提升解析：∵∠A=54°，∠B=48°，∴∠ACB=180°-54°-48°=78°.∵CD平分∠ACB，

∴∠DCB=39°.∵DE//BC，∴∠CDE=∠DCB=39°.C2.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数.分析：利用三角形内角和定理，将已知的角度与未知角之间联系起来.利用等量代换将相等的角进行替换.ACBD12342.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数.ACBD1234解：∵∠3+∠ADB=180°，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠3=∠1+∠2.∵∠3=∠4，∠1=∠2，

∴∠4=∠1+∠2=2∠1.∵∠1+∠2+∠4+∠DAC=180°，2.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数.ACBD1234∴∠DAC=180°-∠1-∠2-∠4=180°-4∠1.∵∠BAC=∠1+∠DAC=∠1+（180°-4∠1）=180°-3∠1=63°，∴∠1=39°，∴∠DAC=24°.学前温故新课早知1.平角的度数是

.

2.两条平行线被第三条直线所截,则

相等;内错角

;同旁内角

.

180°同位角

相等

互补

学前温故新课早知1.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于

.如图,在△ABC中,∠A+∠B+∠C=

.

2.在△ABC中,∠A=55°,∠B=25°,则∠C的度数是

.

3.直角三角形的两个锐角

.

180°180°100°互余

4.有两个角

的三角形是直角三角形.

互余

三角形内角和定理的运用【例题】

如图,在△ABC中,AE是边BC上的高,AD是角平分线,∠B=42°,∠C=68°,分别求∠BAC,∠DAE的度数.分析:从已知条件入手,首先对△ABC应用三角形内角和定理求出∠BAC的度数,然后根据角平分线性质求出∠DAC的度数;在Rt△AEC中,由∠EAC与∠C互余,求出∠EAC的度数,最后根据∠DAE=∠DAC-∠EAC求出∠DAE的度数.解:∵∠B=42°,∠C=68°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°.∵AD是△ABC的角平分线,∴∠DAC=∠BAC=35°.∵AE是高,∠C=68°,∴∠EAC=90°-∠C=22°,∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=35°-22°=13°.12345671.在△ABC中,若∠A=2∠B=70°,则∠C的大小是(

).A.40° B.75° C.35° D.105°答案解析解析关闭∵∠A=70°,∠B=35°,∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-35°=75°.答案解析关闭B12345672.如图,在△ABC中,∠A=60°,∠B=40°,DE∥BC,则∠AED的度数是(

)

A.50° B.60°C.70° D.80°答案解析解析关闭∵∠A=60°,∠B=40°,∴∠C=180°-∠A-∠B=80°.又DE∥BC,∴∠AED=∠C=80°.答案解析关闭D1234567A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不能确定答案解析解析关闭答案解析关闭12345674.一块三角形木板的残余部分如图所示,量得(阴影部分)∠A=100°,