（人教A版）选择性必修一高二数学上册同步题型讲与练专题1.1 空间向量及其线性运算【八大题型】（原卷版）

专题1.1空间向量及其线性运算【八大题型】TOC\o"1-3"\h\u【题型1空间向量概念的理解】 2【题型2空间向量的加减运算】 4【题型3空间向量的线性运算】 6【题型4由空间向量的线性运算求参数】 8【题型5向量共线的判定及应用】 11【题型6由空间向量共线求参数】 14【题型7向量共面的判定及应用】 16【题型8由空间向量共面求参数】 18【知识点1空间向量的概念】1．空间向量的概念(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量；数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量.【题型1空间向量概念的理解】【例1】下列命题中是假命题的是（

）A．任意向量与它的相反向量不相等B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小C．如果a=0，则D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同【变式1-1】下列说法正确的是（

）A．任一空间向量与它的相反向量都不相等B．不相等的两个空间向量的模必不相等C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小D．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆【变式1-2】给出下列命题：①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量a，b满足|a|=|b|，则a=b；③若空间向量m，n，p满足其中假命题的个数是（

）.A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-3】给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a,b满足a=④若空间向量m,n,p满足⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（

）A．4 B．3C．2 D．1【知识点2空间向量的线性运算】1．空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))减法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))数乘当λ>0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；当λ<0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并.(2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则.(3)空间向量加法的运算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量.【题型2空间向量的加减运算】【例2】在四面体OABC中，OA+AB−A．OA B．AB C．OC D．AC【变式2-1】正方体ABCD−A1B1CA．C1B B．BC1 C．【变式2-2】在空间四边形ABCD中，连接AC，BD，若△BCD是正三角形，且E为其重心，则AB+12A．AB B．2BD C．0 D．【变式2-3】空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是A．EB+BF+EH+GH=0→ B．EB+C．EF+FG+EH+GH=0→ D．EF–【题型3空间向量的线性运算】【例3】若A,B,C,D为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（

）A．ABB．2C．ABD．AB【变式3-1】已知正方体ABCD−A′B′C′D′，点E是A′C′A．AA′+C．12AA【变式3-2】在平行六面体ABCD−A1B1C1DA．3B1E=B1C1 【变式3-3】如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，E、F分别是BC、CC1的中点，A．−13ABC．−23AB【题型4由空间向量的线性运算求参数】【例4】如图所示，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在OA上，且A．12,−2C．−23,【变式4-1】在三棱柱ABC−A1B1C1中，D是CCA．α=12,C．α=1,   β=−1【变式4-2】如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点A．x=−12,y=C．x=−12,y=−【变式4-3】在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点P在A1A．34 B．1 C．54 【知识点3共线向量与共面向量】1．共线向量(1)空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)直线的方向向量在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a.(3)共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；②证明三点共线.【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点.2．共面向量(1)共面向量如图，如果表示向量a的有向线段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．(2)向量共面的充要条件如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)共面向量定理的用途：①证明四点共面；②证明线面平行.【题型5向量共线的判定及应用】【例5】如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断CE与MN是否共线？【变式5-1】如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A（1）用a,b,（2）求证：E，F，B三点共线.【变式5-2】如图，已知空间四边形ABCD，点E，H分别是AB，AD的中点，点F，G分别是CB，CD上的点，且CF=23CB，【变式5-3】如图，已知O,A,B,C,D,E,F,G,H为空间的9个点，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，求证：（1）AC//（2）OG=k【题型6由空间向量共线求参数】【例6】设向量e1，e2，e3不共面，已知AB=e1+e2+e3，BC=A．1 B．2 C．3 D．4【变式6-1】如果空间向量a,b不共线，且a−yb=xA．x=−1,y=3 B．x=−1,y=−3C．x=1,y=−3 D．x=1,y=3【变式6-2】已知{a,b,c}是空间的一个基底，若m=a+2A．−3 B．−13 C．3 【变式6-3】已知非零向量a=3m−2n−4p，b=(x+1)m+8n+2yp，且mA．−13B．−5C．8D．13【题型7向量共面的判定及应用】【例7】已知A,B,M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A,B,M是否共面．(1)OB+(2)OP=4【变式7-1】已知i,j,【变式7-2】已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.【变式7-3】已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OE=kOA，OF=kOB，(1)求证：E，(2)平面AC∥平面EG【题型8由空间向量共面求参数】【例8】已知O为空间任意一点，A,B,C,P四点共面，但任意三点不共线．如果BP=mOA+OB+A．-2 B．-1 C．1 D．2【变式8-1】已知