《信号、系统分析与控制》课件第4章 连续信号的频域分析

第4章连续信号的频域分析

前面章节讨论了信号的时域分析，本章将研究信号的频域（包括s域）分析及其应用。4.1连续周期信号的频域分析连续周期信号的频谱是指连续周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系。4.1.1频谱的概念对周期信号的时域分析表明，一个周期信号只要满足狄里赫利条件，就可以利用正弦型信号或复指数信号进行描述。周期信号x(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和，根据（2.1.7）和（2.1.8）式可知：

周期信号可以分解为不同频率虚指数信号之和，不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数cn不同，因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。cn是频率的函数，它反映了组成信号各次谐波的幅度和相位随频率变化的规律，称为“频谱函数”，用X(nW)表示。根据上式有：（4.1.1）其模称为幅度频谱，幅角称为相位频谱。在MATLAB中分别用abs(X)和angle(X)表示幅频特性和相频特性。可直接画出信号各次谐波对应的线状分布图形，即振幅频谱和相位频谱图形。从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。由此可见，任意波形的周期信号完全可以用反映信号频率特性的复系数来描述。它与傅立叶级数（CTFS）表示式之间存在着一一对应的关系，即

上式双向箭头表示对应关系，即已知x(t)，可以求得相应的X(nW)，反之亦然。用频率函数来描述或表征任意周期信号的方法，称为周期信号的频率分析。由于信号的频谱完全代表了信号，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表示信号的方法称为频域表示法。4.1.2

典型连续周期信号的傅里叶级数

1．连续周期矩形方波信号如图4-1-1所示的周期矩形方波信号，设脉冲宽度为，脉冲幅度为A，重复周期为T，主周期为T0。将展成指数形式的傅里叶级数：（4.1.2）其中：可见周期矩形脉冲信号x(t)的频谱图是采样函数Sa。例4-1-1周期矩形脉冲信号的频谱连续周期矩形脉冲信号如图4-1-2所示，用MATLAB求出该信号的频谱图。图4-1-2连续周期矩形脉冲信号解：由图可知，该信号脉宽为1，周期为8，幅度设A=4。在主周期内的解析式可表示如下：使用符号运算，根据傅里叶级数（4.1.2）式的定义，其程序代码如下：symstk;T=8;A=4;tao=1;x=A;w=2*pi/T;fe=x*exp(-j*k*w*t);X=int(fe,t,0,tao)./T;X=simple(X);k=[-20:-1,eps,1:20];X=subs(X,k,'k');subplot(3,1,1);stem(k,X,'.');title('频谱图');line([-20,20],[0,0]);xlabel('(k)');ylabel('X(k)');subplot(3,1,2);stem(k,abs(X),'.');title('幅度谱');xlabel('(k)');ylabel('|X(k)|');subplot(3,1,3);stem(k,angle(X),'.');title('相位谱');xlabel('(k)');ylabel('angle(X(k))');程序运行后生成连续时间信号周期性矩形脉冲信号的频谱图，如图4-1-3所示。2.连续周期三角波信号周期三角波信号如图4-1-4所示，傅里叶级数展开得：例4-1-2绘制出周期三角波信号的频谱图。解：绘制三角波信号频谱的MATLAB程序如下：N=8;n1=-N:-1;%计算n=-N到-1的Fourier系数

c1=-4*j*sin(n1*pi/2)/pi^2./n1.^2;c0=0;%计算n=0时的Fourier系数

n2=1:N;%计算n=1到N的Fourier系数

c2=-4*j*sin(n2*pi/2)/pi^2./n2.^2;cn=[c1c0c2];n=-N:N;subplot(2,1,1);stem(n,abs(cn));title('Cn的幅度');axis([-N,N,-0.2,0.5]);subplot(2,1,2);stem(n,angle(cn));title('Cn的相位');xlabel('\omega/\omega0');程序运行结果如图4-1-5所示。4.1.3连续周期信号的频谱分析1.连续周期信号频谱的特点根据（4.1.2）式的定义，也可以使用使用sinc()函数得到采样信号Sa()，绘制信号脉宽为tao=1，周期为T=8的频谱图，如图4-1-7所示。程序如下：T=8;A=4;tao=1;k=[-80:80]/T;X=A*tao/T*sinc(k*pi*tao/T);stem(k,X,'.');title('tao=1T=8');axis([-11,11,-0.2,0.6]);line([-12,4.4],[0,0],'Color','b','Marker','>',‘MarkerSize',10,'MarkerFaceColor','b');line([0,0],[-0.3,0.55],'Color','b','Marker','^',‘MarkerSize',10,'MarkerFaceColor','b');

图4-1-7脉宽为tao=1，周期为T=8的频谱图上述周期矩形信号频谱的特点，实际上也是所有周期信号频谱的普遍性质，这就是：（1）离散性。指频谱由频率离散而不连续的谱线组成，这种频谱称为离散频谱或线谱。谱线的间隔为：。（2）谐波性。指各次谐波分量的频率都是基波频率W的整数倍：nW，而且相邻谐波的频率间隔是均匀的，即谱线只在频率轴上W的整数倍位置出现。（3）收敛性。指谱线幅度随而衰减到零，因此这种频谱具有收敛性或衰减性。若信号时域波形变化越平缓，高次谐波成分就越少，幅度频谱衰减越快；若信号时域波形变化跳变越多，高次谐波成分就越多，幅度频谱衰减越慢。

2.单边谱、双边谱和复频谱周期信号的频谱图，有单边频谱图和双边频谱图。用三角函数级数展开的周期信号，为单边频谱图，即频谱线只出现在频率的正半轴，如图4-1-8所示。周期信号采用指数形式展开后的频谱，因Xn一般为复数，称为复数频谱。周期信号复数频谱图的特点如下：（1）用指数函数展开的周期信号，为双边频谱图，即频谱线左右对称于0频率（即直流分量），出现在频率的正负半轴。其双边频谱图，如图4-1-3和图4-1-7所示。（2）引入了负频率变量X-n，它没有物理意义，只是数学推导，负半轴上的谱线是复数共轭部分，与正半轴对应的谱线共同合成实际的频率。只有把正、负频率项成对地合并起来，才是实际的频谱函数。每个分量的幅度一分为二，在正、负频率相对应的位置上各为一半，即每个分量的幅度是正、负频率之和。（3）Cn是实函数，Xn一般是复函数，当Xn是实函数时，可用Xn的正负表示0和π相位，幅度谱和相位谱合一。3.脉宽与有效带宽在0～这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度，即：。信号的有效带宽与信号时域的持续时间（脉宽）

成反比。即

越大，其WB越小；反之，

越小，其WB

越大，而且幅度也越小，如图4-1-9所示为脉宽tao=0.5，周期为T=8的频谱图。有效带宽的物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。4.周期的影响信号周期T越大，就越小，则谱线越密。反之，T越小，W0越大，谱线则越疏。4.2连续非周期信号的频域分析4.2.1从傅里叶级数到傅里叶变换

周期信号通过傅里叶级数可以用正弦型或复指数型信号来表示。由（4.1.2）式可知，周期矩形脉冲信号离散频谱函数为：（4.2.1）

各谱线之间的间隔为：对持续时间有限的非周期信号，我们可以把它看作周期为无穷大的周期信号。当周期趋于无穷的极限情况，各谱线之间的间隔趋于零，则：，原为离散的频谱变成连续频谱，这时频谱的变化规律仍按包络线Sa()函数在变化，函数的展开式中求和变为求积分。

把连续时间函数变换为频率的连续函数，称这为信号x(t)的傅里叶变换。由于它在频域反映了信号的基本特征，因而是非周期信号进行频域分析的理论依据和最基本的公式。（4.2.2）4.2.2傅里叶变换对与“频谱密度函数”上面的式构成一对傅里叶变换，式中符号“F”代表傅里叶变换（CTFT：Continuous-TimeFourierTransform），“F-1”代表傅里叶反变换（ICTFT）。为了简便也可以采用下列符号表示傅里叶变换对，通常可记为

：

它与周期信号类似，通过傅里叶积分把信号分解成由无穷多的复指数或正弦信号的线性组合，以在时间域对信号进行分析。但在频率域它们却有明显的不同，这主要表现在周期信号的频谱是离散的复频谱，表示的是每个谐波分量（单一频率）的复振幅，而非周期信号的频谱是连续的频谱，表示的是每单位带宽内所有谐波分量合成的复振幅，不再具有离散性和谐波性。其模|X(jW)|称为幅度频谱，幅角f(W)称为相位频谱。但应注意它与周期信号的离散频谱X(nW)在内涵上有所差异，称为“频谱密度函数”。因此非周期信号进行频域分析的理论依据和最基本的公式是式（4.2.2）所表示的傅里叶变换（CTFT）与傅里叶反变换（ICTFT）构成的傅里叶变换对。在MATLAB中使用下列方法计算连续非周期信号的频谱：使用数值积分近似计算非周期信号频谱。在符号运算中，使用MATLAB函数傅立叶变换对fourier()、ifourier()，计算非周期信号频谱的解析式。在使用计算机处理信号时，实际使用FFT计算连续周期或非周期信号。1.使用数值积分方法计算非周期信号频谱

数值函数积分quadl（以前版本为quad8）可用来进行傅里叶变换，计算非周期信号的频谱，语法如下：

y=quadl('F',a,b)其中：F是一个字符串，它表示被积函数的文件名。a、b分别表示定积分的下限和上限。quadl返回的是用自适应Simpson算法得出的积分值。例4-2-1计算三角波信号的频谱如图4-2-1所示的三角波，用数值方法和符号运算近似计算出该三角波信号的频谱。解：（1）用数值积分近似计算三角波信号频谱该信号可以表示为：根据（4.2.2）式，定义一个三角波信号的积分函数如下：functionsf=xs(t,w)xt=(t>=-1&t<=1).*(1-abs(t));%三角波信号sf=xt.*exp(-j*w*t);%三角波信号的积分函数end%%保存文件名为‘xs’%调用该函数xs，用数值积分近似计算三角波信号频谱，程序如下：w=linspace(-6*pi,6*pi,512);N=length(w);F=zeros(1,N);fork=1:NF(k)=quadl('xs',-1,1,[],[],w(k));endplot(w,real(F));title('三角波信号频谱')xlabel('\omega');ylabel('F(j\omega)');程序绘制出三角波信号及频谱如图4-2-2所示。图4-2-1三角波信号图4-2-2绘制三角波频谱2.使用fourier()函数计算傅立叶变换

MATLAB中的符号算法工具箱（SymbolicMathToolbox）提供的专用函数fourier()、ifourier()直接求解傅里叶变换和傅里叶反变换，其语法如下：F=fourier(f)：对进行傅里叶变换，其结果为F(w)。f=ifourier(F)：对F(w)进行傅里叶反变换，其结果为f(t)。注意：（1）在调用函数fourier()及ifourier()函数之前，要用syms命令对所有需要用到的变量（如t,u,v,w）等进行说明，即要将这些变量说明成符号变量。对fourier()中的f及ifourier()中的F也要用符号定义符sym将其说明为符号表达式。（2）采用fourier()及fourier()得到的返回函数，仍然为符号表达式。在对其作图时要用ezplot()函数，而不能用plot()函数。（3）fourier()及fourier()函数的应用有很多局限性，如果在返回函数中含有δ(ω)等函数，则ezplot()函数也无法作出图来。另外，在用fourier()函数对某些信号进行变换时，其返回函数中如果包含一些不能直接表达的式子，就无法作图了。这是fourier()函数的一个局限。另一个局限是在很多场合，尽管原时间信号是连续的，但却不能表示成符号表达式，此时只能应用上面介绍的数值计算法来进行傅氏变换了，当然用数值计算法所求的频谱函数只是一种近似值。例4-2-2用符号法计算三角波信号的频谱是阶跃函数。

>>symstw;>>f=sym('(t+1)*heaviside(t+1)-2*t*heaviside(t)+(t-1)*heaviside(t-1)');>>y=fourier(f);>>Y=simplify(y)Y=(4*sin(w/2)^2)/w^2即三角波信号频谱的理论值为：下列程序绘制三角波信号及频谱>>subplot(211);ezplot(f)>>subplot(212);ezplot((sinc(w/2))^2)4.2.3傅里叶变换的性质

傅氏变换揭示了信号时间特性与频率特性之间的联系。信号可以在时域中用时间函数表示，亦可以在频域中用频谱密度函数表示；只要其中一个确定，另一个随之确定，两者是一一对应的。1.线性设a、b为常数，则（4.2.3）利用傅氏变换的线性特性，可以将待求信号分解为若干基本信号之和。2.时移（时延）时延（移）性说明波形在时间轴上的时延。设t0为实常数，则时移性质表明：当一个信号沿时间轴移动后，各频率成份的幅度大小不发生改变，即不改变频谱函数的形状；但相位发生了变化：使信号增加了w.t0的线性相位，即频谱函数的位置出现了w.t0的变化。3.频移特性（调制特性）设w0为实常数，则（4.2.5）频移（调制）性质用来进行频谱搬移，该特性表明信号在时域中与复因子相乘，则在频域中将使整个频谱搬移w0，这一技术在通信系统得到了广泛应用。调制：通信技术中的调制是将频谱在w=0附近的低频信号乘以，使其频谱搬移到w=w0附近。解调：反之，频谱在w=w0附近的高频信号乘以，其频谱被搬移到w=0附近，这就是解调。变频：是将频谱在w=wc附近的信号乘以，使其频谱搬移到w=wc-w0附近。实际的调制解调和变频的载波信号是正（余）弦信号，这些都是频移特性的应用。设两个信号为，其傅立叶变换CTFT均存在，且为4.尺度变换设a为非0实常数，傅里叶变换的尺度变换特性（也称为相似性质）表示为：（4.2.6）尺度特性说明，信号在时域中压缩（a>1），频域中就扩展；反之，信号在时域中扩展（a<1），在频域中就一定压缩；即信号的脉宽与频宽成反比。一般来说时宽有限的信号，其频宽无限，反之亦然。特别地，当（a=-1）时，得到x(t)的折叠函数x(-t)，其频谱亦为原频谱的折叠，即（4.2.7）在信号通讯应用中，为了迅速地传递信号，希望信号的脉冲宽度要小；为了有效地利用信道，希望信号的频带宽度要窄。相似性质表明这两者是矛盾的，因为同时压缩脉冲宽度和频带宽度是不可能的。5.微分特性傅里叶变换的时域微分特性表示为，（4.2.8）

式中jw是微分因子。同理，可得到像函数的导数公式（频域微分特性）：，（4.2.9）一般频域微分特性的实用形式为，，或（4.2.10）上式可很方便地用来求的Fourier变换。6.时域积分特性傅里叶变换的时域积分特性表示为（4.2.11）特别地，从时域上看，一般当y(t)是无限区间可积时，即，无直流分量，即当X(0)=0时，7.对偶性

傅里叶变换的对称特性（对偶性）表示为若，则，或（4.2.12）若x(t)是t的偶函数，则就是说，当x(t)是t的偶函数时，时域与频域是完全对称性关系，如果x(t)的频谱函数为，则频谱为x(w)的信号，其时域函数必为。

利用对称性可以由已知的一对傅氏变换对，方便的推出与之相关的另一对傅氏变换对，从而减少了大量的运算。利用对称性，我们还可以得到任意周期信号的傅氏变换。8.卷积定理（1）时域卷积定理：（4.2.13）符号表示线性卷积。两个时间信号在时域中进行的线性卷积运算，相当于在频域中两个对应频谱函数乘积运算的傅里叶逆变换。（2）频域卷积定理：（4.2.14）两个信号的频谱函数在频域中进行的线性卷积运算，相当于在时域中两个信号乘积运算的傅里叶变换的2p

倍。9.帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔（Parseval）定理反映了信号在一个域及其对应的变换域中的能量守恒：在时域中计算的信号总能量，等于在频域中计算的信号总能量。即：

（4.2.15）4.2.4几种典型非周期信号的频域分析

常见信号是组成复杂信号的基本信号，它们在信号理论和系统分析中占有重要地位。由于这些信号往往不完全满足狄里赫利条件，因此在信号分析理论中一般利用广义傅立叶变换，通过求极限的方法，最后得到常见信号的频谱密度函数。在MATLAB中，符号傅立叶变换对fourier()、ifourier()函数可实现对这些非周期信号的频域分析。1.单位冲激信号与单位直流信号

对单位冲激信号进行傅立叶变换：>>symsta;x=dirac(t)

;>>fourier(x)ans=1>>ifourier(sym(1),'t')ans=dirac(-t)>>x=dirac(t-a);>>fourier(x)ans=exp(-i*a*w)可见，单位冲激信号的频谱函数是一个常数1，d

函数是一个偶函数。即：

，（4.2.16）2.单位阶跃信号

对单位阶跃信号进行傅立叶变换：>>x=heaviside(t);>>X=fourier(x)X=pi*dirac(-w)-i/wd

函数是一个偶函数，上述结果可整理为常见的形式：即（4.2.17）可见，单位阶跃信号的幅频特性在ω=0有个冲激，说明主要成分为直流。由于t=0有突跳，所以在ω≠0还存在其它频率成分，随着频率的增加而较快衰减。如图4-2-4所示。3.指数信号

单边指数信号：，例4-2-3单边指数信号的频谱单边指数信号：求其频谱函数。解：>>symstwx;>>x=3*exp(-2*t)*sym(heaviside(t));>>X=fourier(x);subplot(211);ezplot(x);subplot(212);ezplot(abs(X));>>ezplot(abs(X));X结果为：X=3/(2+w*i)即单边指数信号x(t)的频谱函数为：，绘制出单边指数信号的频谱函数，如图4-2-5所示。4.单位矩形脉冲信号单位矩形脉冲信号（门信号）可以用单位阶跃信号表示。symst;x=heaviside(t+1/2)-heaviside(t-1/2);X=fourier(x);X=simple(X);Xsubplot(211);ezplot(x,[-2,2]);subplot(212);ezplot(abs(X),[-20,20]);结果为：X=(2*sin(w/2))/w,如图4-2-6所示。即单位矩形脉冲信号的频谱函数为：4.3连续信号的复频域分析

对信号用拉普拉斯变换进行分析，是信号的复频域分析，具有方便、快捷等优点，对于一些特殊信号，无法使用傅立叶变换，而只能使用拉普拉斯变换才能完成分析。4.3.1

拉普拉斯变换拉普拉斯变换的定义：在LTI连续时间系统分析中，拉普拉斯变换是一种非常重要的变换方法。与微分方程法相比，用拉普拉斯变换法求解电路在某些情况下较为方便。这是由于变换域电路方程为代数方程，电路的初始条件按附加电源处理，不需要专门求解t=0+时刻的初始值，而且全响应可一次求得，不必按强制响应和固有响应、零输入响应和零状态响应求解。根据傅里叶变换的定义可知：

（4.3.1）傅氏变换不存在的原因是，当时，一些类型的x(t)函数幅度不衰减，即不收敛。如果给信号x(t)乘以实指数函数（即衰减因子），再对其取傅里叶变换，并令s=s+jW，有

（4.3.2）根据式（4.3.1），则有（4.3.3）其中s为一常数，式（4.3.3）可认为是把信号分解为复指数函数est，它与式（4.3.2）构成了一组新的变换对，称为双边拉普拉斯（Laplace）变换。其中s为复数，s=s+jW称为复频率。对信号取拉普拉斯变换常常写作X(s)=L[]，取逆变换写作=L-1[X(s)]。双边拉普拉斯变换只有在式（4.3.2）存在时才成立，使该式存在的所有s值的集合称为拉普拉斯变换的收敛域（ROC）。

在连续时间系统分析中，往往分析开关动作后系统的响应，不失一般性，设开关在t=0时刻的动作，由此得出单边拉普拉斯变换对定义为：

（4.3.4）

式中，积分的下限取为t=0，因而X(s)与t≤0的x(t)无关。例如，与具有相同的变换结果。此外，积分下限取为t=0主要是为了能够计入信号x(t)在t=0处的冲激分量，故而在电路和系统分析中，不必专门求解t=0时刻的初始值。拉普拉斯变换的特点如下：由于是一个定积分，t将在新函数中消失。因此，X(s)只取决于s，它是复变数s的函数。拉氏变换将原来的实变量函数x(t)转化为复变量函数。拉氏变换是一种单值变换。x(t)和X(s)之间具有一一对应的关系。通常称x(t)为原函数，X(s)为象函数。单边拉普拉斯变换与双边拉普拉斯变换的收敛域不同，双边拉氏变换要和收敛域一起，才能和原函数一一对应。如果不特别强调，则讨论的都是单边拉氏变换。单边拉氏变换下限为0-，这样考虑到０时刻可能发生冲激。

对因果信号，单边拉普拉斯变换与双边拉普拉斯变换相同。3．收敛域的特点（1）收敛域为条状，平行于jW轴；（2）收敛域不包含拉氏变换有理式的极点；（3）x(t)为有限区间的函数，而且Ｓ平面中至少有一点使拉氏变换收敛，则收敛域为全平面；（4）x(t)为右边函数收敛域在s0的右边；（5）x(t)为左边函数收敛域在s0的左边；（6）x(t)为双边信号收敛域为条状。利用拉普拉斯变换可以将系统在时域内的微分与积分的运算转换为乘法与除法的运算，将微分积分方程转换为代数方程，从而使计算量大大减少。利用拉氏变换还可以将时域中两个信号的卷积运算转换为s域中的乘法运算。在此基础上建立了线性时不变电路s域分析的运算法，为线性系统的分析提供了便利。同时还引出了系统函数的概念。由于实际中双边拉普拉斯变换使用较少，以下只介绍单边拉普拉斯变换，并限于对因果系统的分析。4.3.2常见信号的拉普拉斯变换

1.单位阶跃信号根据拉普拉斯变换的定义：当s的实部s>0时，

，故：例4-3-1求信号的拉普拉斯变换已知信号x(t)=e(t)，求其拉普拉斯变换。解：>>symsut

yx;>>x=heaviside(t);>>Xs=laplace(x)得：单位阶跃信号的拉普拉斯变换为：Xs=1/s。

e(t)与1/s在时为一组变换对，可记作：

（4.3.5）由于单边拉普拉斯变换与信号在t≤0-部分的波形无关，因而常数1和阶跃信号具有相同的变换，即：（4.3.6）2.冲激函数例4-3-2

冲激函数的拉普拉斯变换求=d(t)的拉普拉斯变换。解：>>symst;>>x=dirac(t);>>Xs=laplace(x)结果为：Xs=1>>laplace(diff(x))ans=s>>ilaplace(s)ans=dirac(t,1)，在MATLAB中用dirac(t,1)表示。即：，（4.3.7）3.指数函数例4-3-3

指数函数的拉普拉斯变换求的拉普拉斯变换，其中a为任一实数或复数。解：>>symsta;>>x=exp(-a*t);>>Xs=laplace(x)结果为：Xs=1/(a+s)，即：（4.3.8）

4.3.4

拉普拉斯反变换应用拉普拉斯变换法求解系统的时域响应时，根据已知的激励信号求其像函数，实际应用中还需要把处理后的像函数再变换为时间信号函数，这就是拉普拉斯反变换。根据（4.3.4）式的定义有：

常用的拉普拉斯反变换方法有如下几种：（1）查表法。（2）利用拉氏变换的基本性质。（3）部分分式法。（4）留数法：回线积分法。（5）数值计算方法：使用计算机运算。1.利用查表法和拉氏变换的基本性质一般情况是上述方法的结合使用。利用查表法得出常用信号的拉氏变换式，再根据拉普拉斯变换的基本性质进行组合、变换或运算完成拉普拉斯反变换。例4-3-4求时间信号函数已知像函数，求时间信号函数x(t)。解：，根据拉普拉斯变换的时移特性，有MATLAB程序为：>>symsstXx;>>X=1/s^2+2*exp(-s)/s^2+exp(-2*s)/s^2;>>x=ilaplace(X)x=t+2*heaviside(t-1)*(t-1)+heaviside(t-2)*(t-2)2.部分分式法

上述这些方法仅适用于一些简单变换式，对于一些复杂的变换式，常使用部分分式法结合查表法和拉氏变换的基本性质。通常用部分分式展开法将复杂函数展开成简单的有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数。对于线性系统，像函数常X(s)具有有理分式的形式，可以表现为两个实系数的s的多项式之比：若，

且为真分式，即m、n均为正整数，且m<n。若D(s)=0的根为n个单实根，而无重根，p1、p2…pi，则可以展开为下列简单的部分分式之和：其中：应当指出，对于在分母中包含有较高阶次多项式的复杂函数时，用人工展开多项式则相当费力，采用MATLAB的residue()函数执行部分分式展开和多项式系数之间的转换就方便多了。例4-3-5求信号函数

已知信号的复频谱为：，求其逆变换，即信号x(t)。

解：（1）用部分分式展开法则可以展开为下列简单的部分分式之和：求出各分式的系数：展开为简单的部分分式之和：由拉氏变换表查出对应的反变换函数，得到所求的原函数：（2）用MATLAB的符号运算和residue()函数计算,使用expand()函数将符号表达式展开，对于该复频谱函数有：>>symsst;>>nums=expand(10*(s+4)*(s+6))>>dens=expand(s*(s+1)*(s+3))nums=10*s^2+100*s+240dens=s^3+4*s^2+3*s即

>>num=[0

10

100

240];

>>den=[1

4

3

0];命令

>>[r,p,k]=residue(num,den)得到如下结果：r=5-7580p=-3-10k=[]本例的余项k为零，所以可得：>>X=80/s-75/(s+1)+5/(s+3);>>x=ilaplace(X)x=5/exp(3*t)-75/exp(t)+804.3.5

拉普拉斯变换的性质

与傅里叶变换类似，拉普拉斯变换具有以下一些基本性质，利用这些性质可以求解其他一些信号的变换。1.线性设x1(t)和x2(t)的拉普拉斯变换分别为X1(s)和X2(s)，则有：

a1和a2是任意常数，与傅里叶变换的线性性质一样，拉普拉斯变换也包含齐次性与可加性。2.微分若（1）时域微分性质：

（4.3.11）同理可推出对t求n阶导数的拉普拉斯变换变换为：

其中，表示的k阶导数在t=0-处的值。微分性质的一个特征是把时域微分运算转换为s域的代数运算，这也是连续时间系统采用拉普拉斯变换分析的原因之一。（2）s域微分：

（4.3.13）重复运用上述结果，还可得（4.3.14）3.积分时域积分：若，则

（4.3.15）若为因果信号，则g(0-)=0，积分的拉普拉斯变换为（4.3.16）4.

移位

时域移位：其中t0>0

。（4.3.17）

s域移位：

（4.3.18）该性质说明，x(t)乘以的拉普拉斯变换，相当于把的变换的s置换为s+a。

拉普拉斯变换基本性质的应用例4-3-7线性性质应用应用线性性质求的拉普拉斯变换。解

：

由于根据欧拉公式，利用线性性质，得正弦函数的拉普拉斯变换为：（4.3.10）例4-3-8

微分性质应用应用微分性质求的拉普拉斯变换。解

：

例4-3-9移位性质应用求的拉普拉斯变换。解：

根据s域移位性质和正弦函数的拉普拉斯变换有：

（4.3.19）4.4连续信号的调制与解调4.4.1信号的调幅所谓调幅，就是载波信号的幅度被调制信号所调制，即载波信号的幅度按照调制信号的规律变化，根据调制的方法可分为普通调幅（DSB）、单边带调幅（SSB）和抑制载波调幅。1．一般调幅（DSB）模拟信号调制传输最常用的调制方式为一般调幅方式，也称“双边带调幅（DSB）”。设调制信号为：（4.4.1）载波信号为：（4.4.2）若调制信号与载波信号的初始相位φ都为0，则普通调幅信号的表示式为：

在上式中：称为调制度，常用百分比表示，其值介于0～1之间。调幅过程实际上是一个乘法运算过程，如图4-4-1所示。信号与频率较高的正弦或余弦载波信号相乘的过程称为调制，已调信号再次与正弦或余弦信号相乘的过程称为解调。频谱图如图4-4-2所示。

2.抑制载波调幅在实际应用中，由于一般的调幅波信息包含在上、下两个边带之中，调幅信号包含着不含信息内容的载波，而载波占有较大的能量（一般占用调幅波信号能量的2/3）。抑制掉载波，可使传送同样信息能量所需的功率大为减少，这种调幅波叫抑制载波调幅，也叫“平衡调幅”。在彩色电视系统中，把被色差信号调制的高频载波叫“色副载波”，在彩色电视信号传输过程中，抑制掉色副载波，既降低了对传输功率的要求，还能减少色副载波对亮度信号的干扰，提高图像的彩色清晰度。3.ammod()函数在MATLAB中可使用ammod()函数进行幅度调制，其语法如下：（1）y=ammod(x,Fc,Fs)：调制信号x对载波信号Fc进行幅度调制，Fs为抽样频率。已调制信号初始相位为0，并且载波幅度也为0，因此结果是抑制载波调幅。注意：x、Fc、Fs单位为Hz，输入参数必须满足，BW为调制信号x的带宽。（2）y=ammod(x,Fc,Fs,ini_phase)：以弧度单位指定已调信号y的初始相位ini_phase。（3）y=ammod(x,Fc,Fs,ini_phase,carramp)：普通调幅，不抑制载波，以弧度单位指定已调信号y的初始相位ini_phase，载波幅度是carramp。4．单边带调幅（SSB）与ssbmod()函数由于已调波频带宽为2Ω，而调幅信号的两个边带都包含调制信号全部信息，因此可以只传输一个边带。即压缩一个边带，保留一个边带和载频。将这种只保留载频和一个边带的调幅方式称为“单边带调幅（SSB）”方式。只保留上边带时单边带调幅信号的表示式为：

（4.4.4）在MATLAB中，可使用ssbmod()函数进行单边带幅度调制，其语法如下：（1）y=ssbmod(x,Fc,Fs)：仅使用下边带，其它与普通调幅相同。（2）y=ssbmod(x,Fc,Fs,ini_phase)：仅使用下边带，其它与普通调幅相同，以弧度单位指定已调信号y的初始相位ini_phase。（3）y=ssbmod(x,Fc,Fs,ini_phase,'upper')：仅使用上边带，其它与普通调幅相同。例4-4-1绘制调幅波和频谱图令调制信号：x=A*cos(w*t)，载波信号：xc=Ac*cos(wc*t)，根据调幅信号定义绘制调幅波和频谱图。解：根据调幅波定义信号为：y1=Ac*(1+m*cos(w*t)).*cos(wc*t)或y1=Ac*cos(wc*t)+Ac*0.5*m*cos((wc-w)*t)+Ac*0.5*m*cos((wc+w)*t);程序如下：fm=10;fc=100;fs=100*fm;%调制信号频率%载波频率%抽样信号频率N=1000;n=0:N-1;t=n/fs;%调制信号:x=A*sin(w*t);A=1;%调制信号幅度w=2*pi*fm;%调制信号频率

x=A*cos(w*t);%调制信号%载波：xc=Ac*sin(wc*t);Ac=2;%载波信号幅度wc=2*pi*fc;%载波信号频率xc=Ac*cos(wc*t);k=1;m=k*A/Ac;%'调制信号'%y1=modulate(x,fc,fs,‘amdsb-tc’);%用调制函数y1=Ac*(1+m*cos(w*t)).*cos(wc*t);%用调幅波定义subplot(2,2,1);plot(t(1:200),x(1:200));xlabel('(t)');title('调制信号');subplot(2,2,2);plot(t(1:200),xc(1:200));xlabel('(t)');title('调幅载波信号');subplot(2,2,3);plot(t(1:200),y1(1:200));xlabel(‘(t)’);title(‘调幅信号’);subplot(2,2,4);Y=abs(fft(y1,N));stem(Y(1:200),'.');xlabel('(Hz)');title('调幅信号频谱');4.4.3连续信号的调频、调相与解调1.信号的调频调频是载波信号的瞬时频率随调制信号的大小而线性地变化，载波的幅度不变。设调制信号为：载波信号为：若调制信号与载波信号的初始相位、都为0，则调频信号为：（4.4.5）式中：（4.4.6）

f为调制信号频率，；载波频率；△f规定为当调制信号为1Vpp时产生的最大频偏。其有效带宽：B=2(m+1)f。在MATLAB中可使用fmmod()函数进行频率调制，其语法如下：

y=fmmod(x,Fc,Fs,freqdev)。或y=fmmod(x,Fc,Fs,freqdev,ini_phase)。注意：调制信号x对载波信号Fc进行频率调制，Fs为抽样频率。参数freqdev是频偏，ini_phase是以弧度单位指定已调信号y的初始相位。x、Fc、Fs单位为Hz，Fs≥2*Fc。2.信号的调相调相是载波信号的瞬时相位随调制信号的大小而线性地变化，载波的幅度不变，在MATLAB中可使用pmmod()函数进行相位调制，其语法如下：

y=pmmod(x,Fc,Fs,phasedev)。或y=pmmod(x,Fc,Fs,phasedev,ini_phase)。调制信号x对载波信号Fc进行相位调制，Fs为抽样频率。参数phasedev是相偏，ini_phase是以弧度单位指定已调信号y的初始相位。3.调频、调相信号的解调调频、调相信号的解调使用fmdemod()和pmdemod()函数，其语法如下：

z=fmdemod(y,Fc,Fs,freqdev)。z=fmdemod(y,Fc,Fs,freqdev,ini_phase)。

z=pmdemod(y,Fc,Fs,phasedev)z=pmdemod(y,Fc,Fs,phasedev,ini_phase)

使用载波信号Fc对调频信号y进行解调，Fs为抽样频率。参数freqdev是频偏，phasedev是相偏，ini_phase是以弧度单位指定已调信号y的初始相位。注意：x、Fc、Fs单位为Hz，Fs≥2*Fc。4.4.4调制函数modulate()和解调函数demod()

1.调制函数modulate()

调制函数modulate()模块用于通讯仿真，可以用于调幅、调频或脉冲调制等。modulate()函数的语法如下：

y=modulate(x,fc,fs,'method')y=modulate(x,fc,fs,'method',opt)[y,t]

=

modulate(x,fc,fs)使用载波频率fc和抽样信号频率fs调制实信号x，使用“method”选项确定调制类型是调幅、调频或脉冲调制等，如果不指定method选项，modulate()默认是am，即调幅。一些调制方法接受选项opt，t为内部使用的时间向量。除了脉冲调制的pwm和ppm之外，y的长度与x相同，如果x是一个数组，modulate()按它的列调制。Method选项与opt的取值：（1）amdsb-sc或am：双边带、抑制载波幅度调制，x与频率为fc的正弦波点乘。例如：y=x.*cos(2*pi*fc*t)（2）amdsb-tc：双边带幅度调制（不抑制载波）。x减去一个标量opt，然后与频率为fc的正弦波点乘。例如：y=(x-opt).*cos(2*pi*fc*t)如果没有给出opt参数，就使用默认值min(min(x))作为该参数，因此信号(x-opt)是一个正值，最小值是0。（3）amssb：单边带幅度调制，其结果是两个项目相加，其中一项是x与频率为fc的正弦波相乘。另一项是x的Hilbert转换与频率为fc的有相位偏移的正弦波相乘。例如：y=x.*cos(2*pi*fc*t)+imag(hilbert(x)).*sin(2*pi*fc*t)

该结果是移除了上边带。（4）fm：频率调制。生成一个瞬间频率随信号x改变的正弦波。例如：y=cos(2*pi*fc*t+opt*cumsum(x))cumsum(x)是x的累计和，近似于x的积分值。modulate()函数把opt作为一个调频常数使用，如果opt不出现，modulate函数就使用默认值：opt=(fc/fs)*2*pi/(max(max(x)))（5）pm：相位调制。生成一个瞬间相位随信号x改变的正弦波。例如：y=cos(2*pi*fc*t+opt*x)modulate()函数把opt作为一个调相常数使用，如果opt不出现，modulate函数就使用默认值：opt=pi/(max(max(x)))（6）pwm：脉冲宽度调制。例如：y=modulate(x,fc,fs,'pwm')

：按信号x的脉宽生成一个脉宽调制信号。x的元素必须位于0、1之间，脉冲从每个周期开始，因此左边沿对齐，在每个信号周期中按调制系数确定每个脉冲宽度。y的长度是length(x)*fs/fc。y=modulate(x,fc,fs,'pwm','centered')：产生的脉冲中心位于每个信号周期的开始处，即脉冲中心与信号周期的左边沿对齐。（7）ppm：脉冲位置调制。例如：y=modulate(x,fc,fs,'ppm')：按信号x的脉冲位置生成一个脉冲位置调制信号。x的元素必须位于0、1之间，在每个信号周期中按调制系数确定每个脉冲的左边沿。

opt是位于0、1之间的标量，它在每个信号周期中按调制系数确定每个脉冲的长度。默认opt=0.1。y的长度是length(x)*fs/fc。（8）qam：积分调幅。根据信号x和opt选项生成一个积分调幅信号，opt的长度必须与x相同。例如：y=x.*cos(2*pi*fc*t)+opt.*sin(2*pi*fc*t)[y,t]=modulate(x,fc,fs)：返回调制所使用的内部时间向量t。在上例中将y1改为modulate(x,fc,fs,'fm')可得到同样的调频波，改为modulate(x,fc,fs,'am')可得到调幅波，改为modulate(x,fc,fs,'am')可得到调相波。2.解调函数demod()函数demod()解调由modulate()函数执行的调制。语法如下：x

=

demod(y,fc,fs,'method')x

=

demod(y,fc,fs,'method',opt)x

=

demod(y,fc,fs,'pwm','centered')各参数的意义与modulate()函数相同。4.5连续信号的采样4.5.1信号的采样在信号数字处理过程中，需要经过模数转换将模拟信号转换为数字信号，而信号采样是第一环节，最后经过数模转换将数字信号还原为模拟信号。1.模数(A/D)和数模(D/A)转换（1）模数(A/D)转换：需要经过离散、量化和编码等过程。采样：将模拟信号离散。量化：把采样信号经过舍入变为只有有限个有效数字的数，这一过程称为量化。编码：将经过量化的值变为二进制数字的过程。（2）数模(D/A)转换：D/A转换是把数字信号转换为模拟的电压或电流信号。需要经过D/A转换器将数字信号转换为连